最后更新: 2025-04-14 19:15 查看: 7 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数的对称性

对称在空间中的实质就是距离相等和图案相同。镜面对称的图形，它在对称轴左右两侧距离相等的位置，相同高度的图案相同。中心对称的图形，它在对称中心左右两侧距离相等的位置，相反高度的图案相同。对于函数图像，＂图案＂就是＂在该处有点＂和＂在该处没有点＂的区别。

偶函数和奇函数是函数的对称性中较简单的特殊情况。函数的对称轴除了可以是 $y$ 轴外，也可以是其他平行于 $y$ 轴的直线。函数的对称中心除了可以是原点外，也可以是其他平面内的点。本专题介绍更加一般的函数的镜面对称和中心对称的情况。

## 1．镜面对称
关于 $y$ 轴镜面对称
已知函数 $y=f(x)$ 是偶函数，其图像如下所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/313c95.jpg)
 
 结合函数图像理解：该函数的对称轴是 $y$ 轴。 $y$ 轴也可以表示为 $x=0$ ，即所有横坐标都为 0 ，纵坐标可以为任意值的点。

设函数上的任意两点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 关于 $x=0$ 镜面对称，那么 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 分别在 $x=0$ 的左右两侧，且它们到 $x=0$ 的横向距离相等，由此可得：

$$
\left|x_1-0\right|=\left|x_2-0\right|, \quad x_1<0, \quad x_2>0
$$

由上述关系可得：

$$
x_1=-x_2
$$

$\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 的高度应当相同，即函数值相等：

$$
y_1=y_2
$$

综上可得：$x_1=-x_2$ 且 $y_1=y_2$ 。这表明：如果函数 $y=f(x)$ 关于 $y$ 轴对称，那么恒有：如果 $(x, y)$ 是函数上的一点，那么 $(-x, y)$ 也是函数上的一点，即
$f(-x)=f(x)$ ，这就是偶函数的定义。

## 关于直线 $x=b$ 镜面对称
已知函数 $y=f(x)$ 关于直线 $x=b$ 镜面对称，其图像如下所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/33194d.jpg)
 
 设函数上的任意两点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 关于 $x=b$ 对称，那么 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 分别在 $x=b$ 的左右两侧，且它们到 $x=b$ 的横向距离相等，由此可得：

$$
\left|x_1-b\right|=\left|x_2-b\right|, \quad x_1<b, \quad x_2>b
$$

由上述关系可得：

$$
x_1+x_2=2 b
$$

$\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 的高度应当相同，即函数值相等：

$$
y_1=y_2
$$

综上可得：$x_1+x_2=2 b, y_1=y_2$ 。这表明：如果函数 $y=f(x)$ 关于 $x=b$ 对称，那么恒有：如果 $(x, y)$ 是函数上的一点，那么 $(2 b-x, y)$ 也是函数上的一点，即 $f(2 b-x)=f(x)$ ，这就是函数 $y=f(x)$ 关于直线 $x=b$ 镜面对称的定义式。特别

的，当 $b=0$ 时，$f(-x)=f(x)$ ，此时 $y=f(x)$ 是偶函数。

## 2．中心对称
关于原点中心对称
已知函数 $y=f(x)$ 是奇函数，其图像如下所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/c2f09f.jpg)
 
 函数的对称中心是原点 $(0,0)$ 。设函数上的任意两点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 关于原点中心对称，那么 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 到原点 $(0,0)$ 的横向距离和纵向距离应当分别相等，由此可得：

$\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 还应当分别在原点的上下两侧，左右两侧，所以 $x_1-0$ 与 $x_2-0$ 的正负号相反，$y_1-0$ 与 $y_2-0$ 的正负号相反，由此可得：

$$
x_1-0=-\left(x_2-0\right), \quad y_1-0=-\left(y_2-0\right)
$$

综上可得：$x_1=-x_2, \quad y_1=-y_2$ 。这表明：如果函数 $y=f(x)$ 关于原点中心对称，那么恒有：如果 $(x, y)$ 是函数上的一点，那么 $(-x,-y)$ 也是函数上的一点，即 $f(-x)=-f(x)$ ，这就是奇函数的定义。

## 关于点 $(a, b)$ 中心对称
设函数 $y=f(x)$ 关于点 $(a, b)$ 中心对称，其图像如下所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/59957b.jpg)
设函数上的任意一对点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 关于点 $(a, b)$ 中心对称，那么 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 到点 $(a, b)$ 的横向距离和纵向距离应当分别相等，由此可得：

$\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 应当在点 $(a, b)$ 的上下两侧，左右两侧，所以 $x_1-a$ 与 $x_2-a$ 的正负号相反，$y_1-b$ 与 $y_2-b$ 的正负号相反，由此可得：

$$
x_1-a=-\left(x_2-a\right), \quad y_1-b=-\left(y_2-b\right)
$$

综上可得：$x_1+x_2=2 a, y_1+y_2=2 b$ 。这表明：如果函数 $y=f(x)$ 关于点 $(a, b)$ 中心对称，那么恒有：如果 $(x, y)$ 是函数上的一点，那么 $(2 a-x, 2 b-y)$ 也是函数上的一点，即 $f(x)+f(2 a-x)=2 b$ 。当 $a=0, b=0$ 时，$f(x)+f(-x)=0$ ， $y=f(x)$ 是奇函数。

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