最后更新: 2023-10-10 08:02 查看: 279 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数的周期性

在数学中，周期函数是独立变量$x$经过一个确定的周期$T$之后数值皆能重复的函数。我们日常所见的钟表指针以及月亮的月相都呈现出周期性的特点。

对于实数或者整数函数来说，周期性意味着按照一定的间隔重复一个特定部分就可以绘制出完整的函数图。如果在函数$f$中所有的位置$x$都满足

$$
f(x+T)=f(x)
$$

如下图
![图片](/uploads/2023-08/image_202308282415bec.png){width=400px}

那么， $f$ 就是周期为 $T$ 的周期函数。非周期函数就是没有类似周期 $T$ 的函数。

若 $T=1$ ，则 $f(x)=f(x+1)=f(x+2)=\cdots$ 。

## 正弦函数与余弦函数的周期性

关于正弦函数、余弦函数的详细介绍，请参考三角函数章节。下面给出了正弦和余弦函数的周期性图图形。

![图片](/uploads/2023-08/ecbd56.svg){width=400px}

### 周期函数的性质：

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x+a)=-f(x) \\
f(x+a)=\frac{1}{f(x)} \quad \Rightarrow T=2 a \\
f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}
\end{array} \right.
$$

证明：只以 $f(x+a)=\frac{1}{-f(x)}$ 为例

1. 将所有的 $x$ 换成 ${x}+{a}$ ，依然成立: $f(x+2 a)=\frac{1}{-f(x+a)}$ 与 $f(x+a)=\frac{1}{-f(x)}$ 结合，消去 $f(x+a)$ :

$$
f(x+2 a)=-\frac{1}{-\left(\frac{1}{-f(x)}\right)}=f(x)
$$

由此便证明了 $f(x)$ 的周期为 $2 \mathrm{a}$.

**例1:**  函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 都有 $f(x+2)=-f(x)$ 成立，且 $f(1)=8$ ，求 $f(2013)$ 的值.
分析：根据结论， $f(x+2)=-f(x)$ 就是在告诉我们，函数 $f(x)$ 的周期为 4 . 因此 $f(2013)=f(1)=8$ 。

**例2:**  奇函数 $f(x)$ 对任意的实数 $\mathrm{x}$ 都有 $f(x+2)=-f(x)$ ，且 $f(1)=8$ ，则 $f(2012)+f(2013)+f(2014)=$
分析： $f(x+2)=-f(x)$ 的意思是，函数 $f(x)$ 的周期为 4
所以 $f(2012)=f(0)=0, f(2013)=f(1)=8, f(2014)=f(2)$
对于 $f(2)$ 的求法，可令 $f(x+2)=-f(x)$ 中的 $\mathrm{x}=0$ ，结合 $f(0)=0$
就得 $f(2014)=f(2)=0$
因此最终答案为8

**例3**：函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 都有 $f(x+3)=\frac{1}{-f(x)}$ 成立, 且 $f(1)=\frac{1}{5}$, 求 $f(2017)$ 的值.
根据结论, $f(x+3)=\frac{1}{-f(x)}$ 告诉我们, 函数 $f(x)$ 的周期为 6 .
因此 $f(2017)=f(1)=\frac{1}{5}$

**例4**： 函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 都有 $f(x+2)=\frac{1}{-f(x)}$ 成立, 若 $f(1)=-5$, 则 $f(f(5))=$
根据结论, $f(x+2)=\frac{1}{-f(x)}$ 告诉我们, 函数 $f(x)$ 的周期为 4 . $f(f(5))=f(f(1))=f(-5)=f(3)=\frac{1}{f(1)}$

**例5**： 定义在R上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=-f\left(x+\frac{3}{2}\right)$, 且 $f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2$, 则 $f(2010)+f(2011)+f(2012)=$
$f(x)=-f\left(x+\frac{3}{2}\right)$ 的意思, 是函数 $f(x)$ 的周期为3 故 $f(2010)=f(0)=2, f(2011)=f(1)=f(-2)=-1, f(2012)=f(-1)=-1$ 因此最后答案为 $2-1-1=0$

**例6** ： 已知 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)$, 则 $f(1)+f(2)+\cdots+f(2023)$ 的值为
因为 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)=2 \sin \left[\left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{3}\right) \frac{\pi}{3}\right]=2 \sin \frac{\pi}{3}$ ，
所以 $f(x)$ 的周期为 $\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{3}}=6$,
因为 $f(1)=2 \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, f(2)=2 \sin \frac{2 \pi}{3}=\sqrt{3}, f(3)=2 \sin \frac{3 \pi}{3}=0$,
$f(4)=2 \sin \frac{4 \pi}{3}=-\sqrt{3}, \quad f(5)=2 \sin \frac{5 \pi}{3}=-\sqrt{3}, \quad f(6)=2 \sin \frac{6 \pi}{3}=0$,
所以 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0$,
所以 $f(1)+f(2)+\cdots+f(2016)=337 \times[f(1)+f(2)+\cdots+f(6)]+f(1)=\sqrt{3}$,

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