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高中数学
第二章：函数
函数的零点与二分法
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2024-11-03 10:29
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函数的零点与二分法
## 函数的零点 一般地, 如果函数 $y=f(x)$ 在实数 $\alpha$ 处的函数值等于零, 即 $f(\alpha)=0$,则称 $\alpha$ 为函数 $y=f(x)$ 的零点.  不难看出, $\alpha$ 是函数 $f(x)$ 零点的充分必要条件是, $(\alpha, 0)$ 是函数图象与 $x$ 轴的公共点. 因此, 由函数的图象可以方便地看出函数值等于 0 的方程的解集, 以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集. **函数零点存在定理**  如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是连续不断的, 并且 $f(a) f(b)<0$ (即在区间两个端点处的函数值异号), 则函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 中至少有一个零点, 即 $\exists x_0 \in(a, b), f\left(x_0\right)=0$. ## 零点存在性与不等式的解 在上面令$c=0$，即$y=0$这是多项式方程。一般地, 如果函数 $y=f(x)$ 在实数 $\alpha$ 处的函数值等于零, 即 $f(\alpha)=0$,则称 $\alpha$ 为函数 $y=f(x)$ 的**零点**. 不难看出， $\alpha$ 是函数 $f(x)$ 零点的充分必要条件是， $(\alpha, 0)$ 是函数图象与 $x$ 轴的公共点. 因此, 由函数的图象可以方便地看出函数值等于 0 的方程的解集, 以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集. 依照零点的定义可知, 求函数 $y=f(x)$ 的零点, 实质上就是要解方程 $f(x)=0$, 而且只要得到了这个方程的解集, 就可以知道函数图象与 $x$ 轴的交点, 再根据函数的性质等, 就能得到类似 $f(x)>0$ 等不等式的解集. `例` 求证: 函数 $f(x)=x^3-2 x+2$ 至少有一个零点. 证明 因
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