最后更新: 2024-11-03 10:29 查看: 346 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数的零点与二分法

## 函数的零点
一般地, 如果函数 $y=f(x)$ 在实数 $\alpha$ 处的函数值等于零, 即 $f(\alpha)=0$,则称 $\alpha$ 为函数 $y=f(x)$ 的零点.
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不难看出, $\alpha$ 是函数 $f(x)$ 零点的充分必要条件是, $(\alpha, 0)$ 是函数图象与 $x$ 轴的公共点. 因此, 由函数的图象可以方便地看出函数值等于 0 的方程的解集, 以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集.

**函数零点存在定理**

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如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是连续不断的, 并且 $f(a) f(b)<0$ (即在区间两个端点处的函数值异号), 则函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 中至少有一个零点, 即 $\exists x_0 \in(a, b), f\left(x_0\right)=0$.

## 零点存在性与不等式的解
在上面令$c=0$，即$y=0$这是多项式方程。一般地, 如果函数 $y=f(x)$ 在实数 $\alpha$ 处的函数值等于零, 即 $f(\alpha)=0$,则称 $\alpha$ 为函数 $y=f(x)$ 的**零点**.

不难看出， $\alpha$ 是函数 $f(x)$ 零点的充分必要条件是， $(\alpha, 0)$ 是函数图象与 $x$ 轴的公共点. 因此, 由函数的图象可以方便地看出函数值等于 0 的方程的解集, 以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集.

依照零点的定义可知, 求函数 $y=f(x)$ 的零点, 实质上就是要解方程 $f(x)=0$, 而且只要得到了这个方程的解集, 就可以知道函数图象与 $x$ 轴的交点, 再根据函数的性质等, 就能得到类似 $f(x)>0$ 等不等式的解集.

`例` 求证: 函数 $f(x)=x^3-2 x+2$ 至少有一个零点.
证明 因为

$$
f(0)=2>0, f(-2)=-8+4+2=-2<0,
$$

所以 $f(-2) f(0)<0$, 因此 $\exists x_0 \in(-2,0), f\left(x_0\right)=0$, 即结论成立.

### 二分法
上例中的函数在区间 $(-2,0)$ 中存在零点 $x_0$, 但是不难看出, 求出 $x_0$ 的精确值并不容易, 那么, 能不能想办法得到这个零点的近似值呢? 比如, 能否求出一个 $x_1$, 使得 $\left|x_1-x_0\right|<\frac{1}{8}$ ?

如果在区间 $(-2,0)$ 中任取一个数作为 $x_0$ 的近似值, 误差小于 2 ;如果取区间 $(-2,0)$ 的中点作为 $x_0$ 的近似值, 误差小于 1 .

一般地, 求 $x_0$ 的近似值, 可以通过计算区间中点函数值, 从而不断缩小零点所在的区间来实现, 具体计算过程可用如下表格表示.

![图片](/uploads/2024-11/6d1f37.jpg)
 
 其中第 2 行的区间是 $(-2,-1)$, 这是因为 $f(-2) f(-1)<0$, 其他区间都是用类似方式得到的. 最后一行的函数值没有计算, 是因为不管 $x_0 \in\left(-2,-\frac{15}{8}\right]$, 还是 $x_0 \in\left[-\frac{15}{8},-\frac{7}{4}\right)$, 我们都可以将 $-\frac{15}{8}$ 看成 $x_0$ 的近似值, 而且误差小于 $\frac{1}{8}$.
 
当然, 按照类似的方式继续算下去, 可以得到精确度更高的近似值.
上述这种求函数零点近似值的方法称为**二分法**.

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