最后更新: 2024-04-15 15:26 查看: 361 次反馈刷题

函数的图像与作图

## 函数图像的平移变换
 I、水平平移: 函数 $y=f(x+a)$ 的图像可以把函数 $y=f(x)$ 的图像沿 $x$ 轴方向向左 $(a>0)$ 或向右 $(a<0)$ 平移 $|a|$ 个单位即可得到:

II、坚直平移: 函数 $y=f(x)+a$ 的图像可以把函数 $y=f(x)$ 的图像沿 $x$ 轴方向向上 $(a>0)$ 或向下 $(a<0)$ 平移 $|a|$ 个单位即可得到:

通常记为：左加右减，上加下减。

#### 对称变换:

I 、函数 $y=f(-x)$ 的图像可以将函数 $y=f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称即可得到

II、函数 $y=-f(x)$ 的图像可以将函数 $y=f(x)$ 的图像关于 $x$ 轴对称即可得到

III、函数 $y=-f(-x)$ 的图像可以将函数 $y=f(x)$ 的图像关于原点对称即可得到

IV 、函数 $x=f(y)$ 的图像可以将函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称得到。 $\mathrm{V}$ 、函数 $y=f(2 a-x)$ 的图像可以将 $y=f(x)$ 的图像关于 $x=a$ 对称可得到: $y=f$

#### 伸缩变换:
1、函数 $y=a f(x)(a>0)$ 的图像可以将函数 $y=f(x)$ 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 $(a>1)$ 或压缩 $(0<a<1)$ 为原来的 $a$ 倍得到: $y=f(x) \xrightarrow{y \times a} \rightarrow y=a f(x)$

II 、函数 $y=f(a x)(a>0)$ 的图像可以将函数 $y=f(x)$ 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 $(a>1)$ 或压缩 $(0<a<1)$ 为原来的 $\frac{1}{-}$ 倍得到。 $f(x), y=f(x) \xrightarrow{x \times a} \rightarrow y=f(a x)$

## 典型例题

已知函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)\left(A>0, \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图像如图所示, 将 $f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个 单位长度, 再向上平移 1 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图像, 则
 
  ![图片](/uploads/2024-04/e75815.jpg)
  
  A:$f(x)=2 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
  B：$g(x)=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+1$
  C: $g(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 对称
  D: $g(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{12}+k \pi, \frac{5 \pi}{12}+k \pi\right](k \in \mathrm{Z})$ 上单调递减
  
  
  【详解】由图像可知函数 $f(x)$ 的最大值为 2 , 最小值为 -2 , 所以 $A=2$,
$$
\frac{T}{2}=\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, \Rightarrow T=\pi \text {, 又 } T=\frac{2 \pi}{\omega} \Rightarrow \omega=2 \text {, 又 } f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2 \Rightarrow 2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}+\varphi\right)=2
$$
所以 $\frac{\pi}{3}+\varphi=2 k \pi(k \in Z) \Rightarrow \varphi=2 k \pi-\frac{\pi}{3}(k \in Z)$, 又 $\mid \varphi k \frac{\pi}{2}$, 所以 $\varphi=-\frac{\pi}{3}$
所以 $f(x)=2 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$, 故 A 正确,
将 $f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度后得
$g(x)=2 \cos \left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{3}\right]+1=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+1$, 故 B 选项正确,
由 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z) \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in Z)$
所以 $g(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$ 对称, 故 C 错误.
由 $2 k \pi \leq 2 x+\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\pi(k \in \mathrm{Z})$
即 $-\frac{\pi}{12}+k \pi \leq x \leq \frac{5 \pi}{12}+k \pi(k \in Z)$
所以选项 D 正确
故选: ABD.

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