最后更新: 2024-11-03 11:13 查看: 752 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

比较大小

比较大小的专题近几年出现的次数是逐渐增多，无论在真题卷还是在模拟卷当中。本篇文章就大小比 较问题进行讲解，把常规的、常见的解题手法给运用一遍 . 当然，那些不常见的譬如帕德逼近，长相刁钻的不 等式咱们就省去了，介绍的时候倒是可以说说 .

## 记住常见的数据
很多时候，直接死算会比较简单。下面列出常见的一些数：

#### 平方数
主要是 $1 \sim 20$ 的平方: $1 \sim 10$ 就不用说了, 说说 $11 \sim 20$ 的, 即
$$
\begin{aligned}
& 11^2=121,12^2=144,13^2=169,14^2=196,15^2=225,16^2=256,17^2=289, \\
& 18^2=324,19^2=361,20^2=400
\end{aligned}
$$

#### 开方数

主要是 $1 \sim 10$ 的平方根: $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732 \sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{6} \approx 2.450, \sqrt{7} \approx 2.646, \sqrt{10} \approx 3.162$.

> 注意：对于$\sqrt{6}$ 记不住没关系，因为 $\sqrt{6}=\sqrt{2} \times \sqrt{3}$

#### 关于立方根

主要是 $1 \sim 10$ 的立方根: $\sqrt[3]{2} \approx 1.260, \sqrt[3]{3} \approx 1.442, \sqrt[3]{4} \approx 1.587$, $\sqrt[3]{5} \approx 1.710, \sqrt[3]{6} \approx 1.817, \sqrt[3]{7} \approx 1.913, \sqrt[3]{9} \approx 2.080, \sqrt[3]{10} \approx 2.154$

#### 关于 $\pi$ 与 $e$
$ \pi \approx 3.14 $  和 $  \mathrm{e} \approx 2.718 $

#### 关于 $\ln$ 的
$$
\ln 2 \approx 0.693, \ln 3 \approx 1.098, \ln 5 \approx 1.609, \ln 7 \approx 1.945, \ln 10 \approx 2.302
$$

> 注意：可以通过 $\ln 10= ln2 + ln5 $ 计算

####  关于三角的
$$
\begin{aligned}
& \sin \frac{\pi}{5} \approx 0.588, \sin \frac{\pi}{8} \approx 0.383, \cos \frac{\pi}{5} \approx 0.809 \\
& , \cos \frac{\pi}{8} \approx 0.924, \tan \frac{\pi}{5} \approx 0.727, \tan \frac{\pi}{8} \approx 0.414
\end{aligned}
$$

#### 关于 $\lg$ 的
$$
\lg 2 \approx 0.301, \lg 3 \approx 0.477, \lg 7 \approx 0.845
$$

注意： $ln2$ 可以通过前面换底公式推导

#### 常见的放缩式
(1) $\mathrm{e}^x \geqslant x+1$
(2) $\ln x \leqslant x-1, x>0$
(3) $\sin x<x<\tan x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

#### 泰勒展开
(1) $\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}$ (建议记忆)
(2) $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}$
(3) $\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}+\cdots+(-1)^m \frac{x^{2 m}}{(2 m) !}$
(4) $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$ (建议记忆 )
(5) $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^n$ ( $\alpha$ 为正整数时就是二项式定理 )
(6) $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n$ (建议记忆 )
(7) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n$ (建议记忆 )
(8) $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$

#### 以直代曲 (估值)

在某一阶段函数图像与其在某一点处的切线增量极为接近，这样的函数有 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=16$ 处的切线它们的增量接近，那我们在求 $\sqrt{16.5}$ 的估值就方便多了，怎么算呢?
$$
\begin{aligned}
& f(16.5)=f(16+0.5) \approx f(16)+f^{\prime}(16) \times 0.5 \\
& =4+\frac{1}{2 \sqrt{16}} \times 0.5=\frac{65}{16} \approx 4.063 .
\end{aligned}
$$

其实就是: $f($ 整数 + 增量 $) \approx f($ 整数 $)+$ 在整数这一点处的原函数的切线的斜率 $\times$ 增量. 看上去好像抽象，其实自己动笔算一下就知道是怎么回事了! 比如说 $y=2 x+1$ ，现在 $x=1.02$ ，那 $y=3.04$. 如果我不这么做，而是用刚才的形式来做

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