最后更新: 2026-03-17 16:28 查看: 969 次纠错评论(0) 课件开VIP

比较大小-万能公式法

## 比较大小
比较大小的专题近几年出现的次数是逐渐增多，无论在真题卷还是在模拟卷当中。本篇文章就大小比 较问题进行讲解，把常规的、常见的解题手法给运用一遍 . 当然，那些不常见的譬如帕德逼近，长相刁钻的不 等式咱们就省去了，介绍的时候倒是可以说说 .

> 比较大小是高考里，比较难的一块，因为涉及到知识点非常多。

## 泰勒展开
(1) $\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}$ (建议记忆)
(2) $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}$
(3) $\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}+\cdots+(-1)^m \frac{x^{2 m}}{(2 m) !}$
(4) $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$ (建议记忆 )
(5) $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^n$ ( $\alpha$ 为正整数时就是二项式定理 )
(6) $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n$ (建议记忆 )
(7) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n$ (建议记忆 )
(8) $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$

上面的展开最好记住。
> $\pi=3.14, e=2.71828$ 有时候死算，看似是最笨的方法，却是最简单的方法，整个高中阶段，不管多复杂的函数都可以有上面几个函数得到。

`例` $e^{0.1}$
带入
$$
e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} + \frac{0.0001}{24} + \dots=1.10517
$$

`例` $sin 0.1$
带入
$$
\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} + \frac{0.00001}{120} - \dots=0.0998
$$

`例` $ln 1.1$
带入
$$
\ln(1.1) = 0.1 - \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{3} - \frac{0.0001}{4} + \dots=0.0953
$$

`例` $1.1^{0.1}$
这里 $x = 0.1$，$a = 0.1$：
拆开
$$
1 + 0.1 \times 0.1 + \frac{0.1 \times (-0.9)}{2} \times 0.01 + \dots=1.00958
$$

`例`设 $a=\cos 0.1, b=10 \sin 0.1, c=\frac{1}{10 \tan 0.1}$, 则 
A. $a<b<c$
B. $c<b<a$
C. $c<a<b$
D. $a<c<b$

答案选D，有兴趣可以手动算一下。 比构造函数，单调性要简单的多。

## 记住常见的数据
很多时候，直接死算会比较简单。下面列出常见的一些数：

#### 平方数
主要是 $1 \sim 20$ 的平方: $1 \sim 10$ 就不用说了, 说说 $11 \sim 20$ 的, 即
$$
\begin{aligned}
& 11^2=121,12^2=144,13^2=169,14^2=196,15^2=225,16^2=256,17^2=289, \\
& 18^2=324,19^2=361,20^2=400
\end{aligned}
$$

#### 开方数

主要是 $1 \sim 10$ 的平方根: $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732 \sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{6} \approx 2.450, \sqrt{7} \approx 2.646, \sqrt{10} \approx 3.162$.

> 注意：对于$\sqrt{6}$ 记不住没关系，因为 $\sqrt{6}=\sqrt{2} \times \sqrt{3}$

#### 关于立方根

主要是 $1 \sim 10$ 的立方根: $\sqrt[3]{2} \approx 1.260, \sqrt[3]{3} \approx 1.442, \sqrt[3]{4} \approx 1.587$, $\sqrt[3]{5} \approx 1.710, \sqrt[3]{6} \approx 1.817, \sqrt[3]{7} \approx 1.913, \sqrt[3]{9} \approx 2.080, \sqrt[3]{10} \approx 2.154$

#### 关于 $\pi$ 与 $e$
$ \pi \approx 3.14 $  和 $  \mathrm{e} \approx 2.718 $

#### 关于 $\ln$ 的
$$
\ln 2 \approx 0.693, \ln 3 \approx 1.098, \ln 5 \approx 1.609, \ln 7 \approx 1.945, \ln 10 \approx 2.302
$$

> 注意：可以通过 $\ln 10= ln2 + ln5 $ 计算

####  关于三角的
$$
\begin{aligned}
& \sin \frac{\pi}{5} \approx 0.588, \sin \frac{\pi}{8} \approx 0.383, \cos \frac{\pi}{5} \approx 0.809 \\
& , \cos \frac{\pi}{8} \approx 0.924, \tan \frac{\pi}{5} \approx 0.727, \tan \frac{\pi}{8} \approx 0.414
\end{aligned}
$$

#### 关于 $\lg$ 的
$$
\lg 2 \approx 0.301, \lg 3 \approx 0.477, \lg 7 \approx 0.845
$$

注意： $ln2$ 可以通过前面换底公式推导

#### 常见的放缩式
(1) $\mathrm{e}^x \geqslant x+1$
(2) $\ln x \leqslant x-1, x>0$
(3) $\sin x<x<\tan x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

#### 以直代曲 (估值)

在某一阶段函数图像与其在某一点处的切线增量极为接近，这样的函数有 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=16$ 处的切线它们的增量接近，那我们在求 $\sqrt{16.5}$ 的估值就方便多了，怎么算呢?
$$
\begin{aligned}
& f(16.5)=f(16+0.5) \approx f(16)+f^{\prime}(16) \times 0.5 \\
& =4+\frac{1}{2 \sqrt{16}} \times 0.5=\frac{65}{16} \approx 4.063 .
\end{aligned}
$$

其实就是: $f($ 整数 + 增量 $) \approx f($ 整数 $)+$ 在整数这一点处的原函数的切线的斜率 $\times$ 增量. 看上去好像抽象，其实自己动笔算一下就知道是怎么回事了! 比如说 $y=2 x+1$ ，现在 $x=1.02$ ，那 $y=3.04$. 如果我不这么做，而是用刚才的形式来做，不就是:
$y=\left.y\right|_{x=1}+2 \times 0.02=3.04$ ， 就是这个意思!
注意: 此类函数，譬如 $\ln x, \sqrt{x}$ 之类的，它们在 $x$ 取值大的时候用这个方法 (增量较小) 时可行的，但是在 $x$ 取值小的时候就不建议用，你自己画一下函数图像就知道了，增量变化很大，这里建议你还是选择放缩 更为妥当一点!

#### 函数构造

很多比较大小的题目是需要构造函数来着的, 这里提供一下 8 个基础函数
(1) $f(x)=x \ln x$ 在 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时取得最小值为 $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(2) $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 在 $x=\mathrm{e}$ 时取得最大值为 $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(3) $f(x)=\frac{\frac{x}{x}}{\ln x}$ 在 $x=\mathrm{e}$ 时取得最小值为 $\mathrm{e}, x>1$.
(4) $f(x)=x-1-\ln x$ 在 $x=1$ 时取得最小值为 0 .
(5) $f(x)=x \mathrm{e}^x$ 在 $x=-1$ 时取得最小值为 $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(6) $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}$ 在 $x=1$ 时取得最小值为 $\mathrm{e}, x>0$
(7) $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x}$ 在 $x=1$ 时取得最大值为 $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(8) $f(x)=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $x=0$ 时取得最小值为 0 .

#### 常见的代数变形
(1) 指对互换: $\log _a M=x \Leftrightarrow a^x=M(a>0, a \neq 1, M>0)$
(2) 对数恒等式: $a^{\log _a x}=a(a>0, a \neq 1)$
(3) 换底公式: $\log _a b \cdot \log _b a=1 ; \log _a b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\lg b}{\lg a}=\frac{\log _c b}{\log _c a}$ $(a>0, a \neq 1, b>0, b \neq 1, c>0, c \neq 1)$
(4) 对数运算: $\log _a M+\log _a N=\log _a M N ; \log _a M-\log _a N=\log _a \frac{M}{N}$

####  函数图像

一些初等函数图像一定牢记于心，尤其是指数函数与对数函数图像的走势，如下图
  ![图片](/uploads/2024-04/a731f7.jpg)
注意这里面的 $a, b, c, d$ 指的是指数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$.你要是觉得不妥,或者不相信，你可以自己画条直线看一下，稍加计算便可得出结论.

![图片](/uploads/2024-04/ac92ff.jpg)
 上面的 $a, b, c, d$ 指的是对数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$ ，如果你觉得不相信，自己在 $(1,+\infty)$ 画一条坚线就行了，自我判别一下.

## 典型例题
#### 例题1
比较 $a=\ln \sqrt[3]{3}, b=\mathrm{e}^{-1}, c=\frac{\sqrt{5} \ln \sqrt{20}}{10}$ 的大小关系.

解析：这个就是看你的化简能力了，看能不能化简成一个形式. 因为 $a=\ln \sqrt[3]{3}=\ln 3^{\frac{1}{3}}=\frac{\ln 3}{3}, b=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}=\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}, c=\frac{\sqrt{5} \ln \sqrt{20}}{10}=\frac{\ln (2 \sqrt{5})}{2 \sqrt{5}}$ ，那么此时就一目了然了，我们可以构造函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ，然后我们根据其性 质就可以搞定了，因为 $\mathrm{e}<3<2 \sqrt{5}$ ，所以就可以得到 $b>a>c$.

#### 例题2
比较 $\log _2 3$ 和 $\log _3 4$的大小

这个我们可以先扩大一倍看看，即 $2 \log _2 3=\log _2 3^2=\log _2 9>\log _2 8=3$ ，那么 $2 \log _3 4=\log _3 4^2=\log _3 16<\log _3 27=3$ ，那么就有因为 $\log _2 9>\log _3 27 \Leftrightarrow \log _2 3>\log _3 4$.

再来看一道: 比较 $\log _3 4$ 和 $\log _4 5$ 的大小. 这时候你在扩大一倍就不好使了, 其实我们可以尝试着多扩大几倍看看，比如说这里直接就是扩大三倍，即 $4 \log _3 4=\log _3 256>\log _3 243=5$ ，与此同时 $4 \log _4 5=\log _4 625<\log _4 4^5=5$ ，所以 $\log _3 4>\log _4 5$.

其实对于 $\log _2 3$ 和 $\log _3 4$ 的大小还有其它方法，你令 $a=\log _3 4, b=\log _2 3$ ，所以 $\frac{b}{a}=\frac{\log _3 4}{\log _2 3}=\log _3 4 . \log _3 2<\left(\frac{\log _3 4+\log _3 2}{2}\right)^2=\left(\frac{\log _3 8}{2}\right)^2<1$.

#### 例题3
比较 $a=\frac{1}{\ln 1.8}, b=\ln 0.5, c=2.8^{-\frac{1}{2}}$ 大小
解析：
$$
\begin{aligned}
& 0=\ln 1<\ln 1.8<\ln e(e \approx 2.718) \Rightarrow 0<\ln 1.8<1 \Rightarrow a=\frac{1}{\ln 1.8}>1, b= \\
& \ln 0.5<\ln 1=0,0<2.8^{-\frac{1}{2}}<2.8^0=1 \Rightarrow 0<c<1, \text { 所以可以得到 } a>c>b \\
& a=0.2^{0.3}, b=0.3^{0.3}, c=0.2^{-0.2}
\end{aligned}
$$

发现什么了? 这里可以看做是函数 $y=a^x(0<a<1)$, 是减函数且 $a$ 越小图象越靠近两坐标轴，所以 $0.2^{0.3}<0.3^{0.3}$ 即 $a<b$, 又 $0.2^{-0.2}>1,0.2^{0.3}<0.3^{0.3}<1$ ，所以 $c>b>a$

上面的这个还算比较简单了, 如果遇到点难的题目了呢? 比如下面这个
$$
a=0.4^{0.6}, b=0.6^{0.4}
$$

这里面有点问题了，按照以往的方法搞不出来. 其实我们只要自己带一个中间值进去就好了，让 $0.4^{0.6}, 0.6^{0.4}$ 和这个中间值进行比较大小不就行了吗? 由 $a=0.4^{0.6}<0.6^{0.6}$, 由 $0.6^{0.4}>0.6^{0.6}$ ，所以 $a<b$.
$$
\begin{aligned}
& a=\ln \sqrt[5]{5}, b=\mathrm{e}^{-1}, c=\frac{3 \ln 2}{8} \\
& \text { 对式子化简一下 } a=\ln \sqrt[5]{5}=\frac{\ln 5}{5}, b=\mathrm{e}^{-1}=\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}, c=\frac{\ln 8}{8} \text { ，一眼就可以识别出 }
\end{aligned}
$$

`例` 单选题 设 $a=\frac{2}{7}, b=\ln 1.4, c= e ^{0.4}-1.32$, 则下列关系正确的是 ( ).
A. $a>b>c$
B. $c>a>b$
C. $c>b>a$
D. $b>a>c$

【答案】D
【分析】构造函数 $f(x)=\ln x-\left(1-\frac{1}{x}\right)$, 利用导数求出函数的单调区间, 即可比较 $a, b$, 再构造函数 $g(x)= e ^x-\frac{1}{1-x}(0<x<1)$, 判断函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上的单调性, 即可比较 $a, c$, 从而可得出答案.

【详解】令 $f(x)=\ln x-\left(1-\frac{1}{x}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x^2}(x>0)$,当 $0<x<1$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>1$ 时, $f^{\prime}(x)<0$,

所以函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减, 在 $(1,+\infty)$ 上递增,
所以 $f(1,4)>f(1)=0$, 即 $\ln 1.4>1-\frac{1}{1.4}=\frac{2}{7}$,
所以 $b>a$,
令 $g(x)= e ^x-\frac{1}{1-x}(0<x<1)$, 则 $g^{\prime}(x)= e ^x-\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{(1-x)^2 e ^x-1}{(1-x)^2}(0<x<1)$,
令 $h(x)=(1-x)^2 e ^x-1(0<x<1)$,
则 $h^{\prime}(x)=\left(x^2-1\right) e ^x<0(0<x<1)$,
所以 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减,

所以 $h(x)<h(0)=0$, 所以 $g^{\prime}(x)<0(0<x<1)$,
所以 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减,

所以 $g(x)<g(0)=0(0<x<1)$,
即当 $x \in(0,1)$ 时, $e ^x<\frac{1}{1-x}$,

所以 $c= e ^{0.4}-1.32=\left( e ^{0.2}\right)^2-1.32<\left(\frac{1}{1-0.2}\right)^2-1.32=0.2425<\frac{2}{7}$,
即 $c<a$,
所以 $b>a>c$.
故选: D.
【点睛】关键点点睛: 解决本题的关键在于构造函数 $f(x)=\ln x-\left(1-\frac{1}{x}\right)$ 和 $g(x)= e ^x-\frac{1}{1-x}(0<x<1)$, 即 $\ln x \leq 1-\frac{1}{x}$, 当且仅当 $x=1$ 时, 取等号, 当 $x \in(0,1)$ 时, $e ^x<\frac{1}{1-x}$.

### 例2 
单选题  已知 $a \ln a=1, m= e ^{\frac{1}{2}+a}, e ^n=3^a, a^p=2^{ e }$, 则（）
A. $n<p<m$
B. $p<n<m$
C. $n<m<p$
D. $m<p<n$

【答案】A
【分析】对 $f(x)$ 求导, 得出 $f(x)$ 的单调性, 可知 $a \in(1, e )$, 可求出 $m, n$ 的大小, 对 $a^p=2^{ e }$ 两边取对数, 则 $p=a e \ln 2$, 可得 $p>n$, 最后比较 $e ^{\frac{1}{2}+a}$ 与 $a e \ln 2$ 大小, 即可得出答案.

【详解】 $f(x)=x \ln x, f^{\prime}(x)=\ln x+1=0, x=\frac{1}{ e }$,
令 $f^{\prime}(x)>0$, 解得: $x>\frac{1}{ e }$; 令 $f^{\prime}(x)<0$, 解得: $0<x<\frac{1}{ e }$,
所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{ e }\right)$ 上单调递减, 在 $\left(\frac{1}{ e },+\infty\right)$ 上单调递增,
$f(1)=0<1, f( e )= e >1, a \ln a=1$, 则 $a \in(1, e ), m= e ^{\frac{1}{2}+a} \in\left( e ^{\frac{3}{2}}, e ^{\frac{1}{2}+ e }\right)$,
$n=a \ln 3 \in(\ln 3, e \ln 3), e ^{\frac{3}{2}}> e \ln 3, \therefore m>n$, 排除 D.
$p \ln a= e \ln 2$, 则 $\frac{p}{a}= e \ln 2, p=a e \ln 2, e \ln 2>\ln 3, \therefore p>n$, 排除 B.比较 $e ^{\frac{1}{2}+a}$ 与 $a e \ln 2$ 大小, 先比较 $e ^{a-\frac{1}{2}}$ 与 $a \ln 2$ 大小,

$$
f(x)=e^{x-\frac{1}{2}}-x-\frac{1}{2}, x \in(1, e), f^{\prime}(x)=e^{x-\frac{1}{2}}-1, x \in(1, e),
$$

因为 $x \in(1, e )$, 所以 $f^{\prime}(x)= e ^{x-\frac{1}{2}}-1>0$
所以 $f(x)$ 在 $(1, e )$ 上单调递增, $f(x)_{\min }>f(1)= e ^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}>0$,所以 $e ^{a-\frac{1}{2}}>a+\frac{1}{2}$, 所以 $e ^{a-\frac{1}{2}}>a+\frac{1}{2}>a \ln 2+\frac{1}{2}>a \ln 2$,

$\therefore m>p$, 综上 $m>p>n$ 。
故选: A.
【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数 $f(x)=x \ln x$ ，运用函数的单调性可求出 $a$ 的大小, 即可判断 $m, n$ 的大小, $p, n$ 的大小, 最后构造函数 $f(x)= e ^{x-\frac{1}{2}}-x-\frac{1}{2}, x \in(1, e )$, 比较 $p$ 与 $m$ 的大小即可得出答案.

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：函数的图像与作图

下一篇：反函数和它的图象

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)