最后更新: 2025-04-12 17:38 查看: 94 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

反函数和它的图象

## 反函数和它的图象
在研究一个问题的时候，不只是把两个变量之间的函数关系表示成 $y$ 是 $x$的函数, 有时也需要把 $x$ 表示为 $y$ 的函数, 例如, 在自由落体运动中, 如果想从已知的时间 $t$ 来确定路程 $s$, 则 $s$ 是 $t$ 的函数

$$
s=\frac{1}{2} g t^2  ...(8.5)
$$

如果反过来, 想从已知的路程 $s$ 来确定下落的时间 $t$, 则应从 (8.5) 式将 $t$ 解出:

$$
t=\sqrt{\frac{2 s}{g}}
$$

这时, $t$ 是 $s$ 的函数.
从这里看出, 这两个函数 $s=f(t)=\frac{1}{2} g t^2$ 和 $t=g(s)=\sqrt{\frac{2 s}{g}}$, 其实是同一种关系的两种表示法, 我们把这样的两个函数 $f$ 和 $g$ 叫做互为反函数.

例 8.20 若 $x \in R , y \in R$, 那么, 函数

$$
f: y=f(x)=2 x+3, \quad g: x=g(y)=\frac{y-3}{2}
$$
互为反函数 .
> 反函数通常使用$f^{-1}(x)$标记。

例如上面的函数 $f: y=f(x)=2 x+3$的反函数通常写为 $ f^{-1}(x)=\frac{y-3}{2}$

> 要计算一个函数的反函数，只要把原函数里，$x$替换为$y$, $y$替换为$x$即可，然后整理为 $y=f(x)$ 注意定义域和值域。但是要注意其定义域和值域的范围，具体见下面例子

例8.21 若 $x \in X=\{x \mid 0 \leq x \leq 1\}, y \in Y=\{y \mid 0 \leq y \leq 1\}$ ，而 $x, y$ 之间的关系是 $x^2+y^2=1$, 则函数

$$
\begin{aligned}
& f: y=f(x)=\sqrt{1-x^2} \\
& g: x=g(y)=\sqrt{1-y^2}
\end{aligned}
$$

互为反函数，因为在上述关系 $x^2+y^2=1$ 中， $x, y$ 是对称的，所以 $f$ 和 $g$ 是同一形式的函数。在一般情况下 $f$ 和 $g$ 是不同形式的函数.

必须注意, 不能认为从每一个函数 $y=f(x)$ 都能解得一个反函数 $x=g(y)$.

例如，如果两个变数 $x, y$ 之间的关系是 $y=x$ ，定义域 $X=\{x \mid x \in R \} ，$ 值域 $Y=\{y \mid y \geq 0\}$ ，那么： $f: y=x, x \in(-\infty,+\infty)$ 是 $X \mapsto Y$ 的函数。但是，如果不对自变数 $x$ 加以限制, 这个函数 $f$ 是不可逆的, 也就是由它不能得到一个新函数 $g: Y \mapsto X$ 。 因为，对于每个 $y(\neq 0) \in Y$ ，将有 $X$ 中两个数值 $x=\sqrt{y}$和 $x=-\sqrt{y}$ 和 $y$ 对应, 如下图所示：
 ![图片](/uploads/2024-10/4e3f7f.jpg)
 
 下面我们来说明具有怎样性质的函数才有反函数.
假如函数 $y=f(x)$ 具有这样的性质: "若 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$, 也就是说对于定义域 $X$ 中任意不同的 $x_1, x_2$, 它们在值域 $Y=f(X)$ 中的对应值 $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right)$ 也不相同"。那么对于 $Y=f(X)$ 内任何一个 $y$, 通过函数 $f$,可以逆对应出一个且只有一个 $x$, 使得 $y$ 和这个 $x$ 对应, 这样一个函数叫做由 $X$ 到 $Y=f(X)$ 的一一对应函数, 或双射（满射且单射）, 简称这个函数是**可逆的**. 对于一个可逆函数 $f: x \mapsto f(x)$, 我们可以交换自变数与因变数的地位,

于是对于 $Y=f(X)$ 的每一个 $y$ 就有 $X$ 内唯一一个逆象 $x$, 这就是说我们得到了一个新函数:

$$
g: Y=f(X) \mapsto X, \quad \text { 使得 } y \mapsto x=g(y)
$$

假如 $y=f(x)$.
新函数和原来函数的这种关系可以用下图来说明:

$$
x-f \quad y=f(x)-g
$$

根据上面的分析, 我们得到反函数的一般定义如下:

## 定义
设给了一个函数 $y=f(x)$, 其定义域为 $X$, 值域为 $Y=f(X)$, 如果对于 $Y=f(X)$ 中每一个 $y$ 值, 都可以从关系式 $y=f(x)$ 确定唯一的一个 $x$值, 则得到一个定义在 $Y=f(X)$ 上而且把 $f(X)=Y$ 映射到 $X$ 上的以 $y$ 为自变数的新函数 $x=g(y)$, 这个函数称为函数 $y=f(x)$ 的反函数.

不难理解 $f$ 也是 $g$ 的反函数, 并且函数 $y=f(x)$ 与它的反函数 $x=g(y)$组成的复合函数一定是一个恒等函数，即

$$
g(f(x))=x, \quad f(g(y))=y
$$

有时用符号 $f^{-1}$ 表示反函数比较方便, 如

$$
f^{-1}(f(x))=x, \quad f\left(f^{-1}(y)\right)=y
$$

按照函数 $y=f(x)$ 的图象容易判断函数 $y=f(x)$ 是否有反函数存在, 就是在值域 $Y=f(X)$ 内, 任意给一个值 $y_0$, 作和 $x$ 轴平行的直线 $y=y_0$ 。如果函数 $y=f(x), x \in X$ 的图象和直线 $y=y_0$ 的交点多于一个, 那么这个函数的反函数就不存在. 如果只有一个交点, 那么这个函数就有反函数. 如图 8.22所示.
 ![图片](/uploads/2024-10/2cfabe.jpg)
 
现在我们来研究互为反函数的图象的关系, 因为互为反函数的两个函数 $y=f(x)$ 和 $x=g(y)$ 事实上就是同一个关系, 在几何上就是同一条曲线. 例如函数 $y=2 x+3$ 的图象和它的反函数 $x=\frac{1}{2}(y-3)$ 的图象就是通过两个点 $\left(-\frac{3}{2}, 0\right),(0,3)$ 的同一条直线 $2 x-y+3=0$, 只是就函数 $y=f(x)=2 x+3$的图象去看, 横轴是自变量轴, 而就反函数 $x=g(y)=\frac{1}{2}(y-3)$ 的图象来看,

![图片](/uploads/2024-10/2cfabe.jpg)
 
 
 纵轴是自变量轴, 但是在同一个坐标系内,一般我们总规定用横坐标 $x$ 表示自变数, 纵坐标 $y$ 表示因变数, 所以我们还需要把反函数关系式 $x=g(y)$ 的 $x, y$对调一下, 得到习惯上的反函数 $y=g(x)$. 我们也称 $y=g(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数, 当然反过来 $y=f(x)$ 也是 $y=g(x)$ 的反函数, 例如函数 $y=2 x+3$和 $y=\frac{1}{2}(x-3)$ 互为反函数.

函数 $y=f(x)$ 和它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象之间有如下关系:

> 若点 $(a, b)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上, 那么点 $(b, a)$ 就在曲线 $y=f^{-1}(x)$ 上.

事实上, 因为点 $(a, b)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上, 所以 $b=f(a)$ 成立, 此等式也可以写成 $a=f^{-1}(b)$, 这表示点 $(b, a)$ 在曲线 $y=f^{-1}(x)$ 上, 于是当点 $(a, b)$走遍曲线 $y=f(x)$ 时, 点 $(b, a)$ 就走遍曲线 $y=f^{-1}(x)$. 通过初等几何的方法可以证明点 $(a, b)$ 和 $(b, a)$ 关于第一象限角和第三象限角的平分线 $y=x$ 对称.因此, 为了得到反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象, 我们只要把 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 反射过来就可以.
> 互为反函数的两函数的图像关于直线 $y=x$ 成轴对称.

如图 8.23 所示.
![图片](/uploads/2024-10/da4e40.jpg)

## 反函数单调性定理
最后, 我们给出一个反函数定理:
设 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上严格递增（递减）且连续，又 $f(a)=\alpha$ ， $f(b)=\beta$, 则在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上存在着 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$,又 $x=f^{-1}(y)$ 在 $[\alpha, \beta]$ （或 $[\beta, \alpha]$ ）上也是严格递增（或递减）且连续的.
 
 
 证明:
1. 先证 $y=f(x)$ 的值域是闭区间 $[\alpha, \beta]$, 设 $y$ 是 $[\alpha, \beta]$ 中任意一点, 如果 $y=\alpha$ 或 $\beta$, 那么相应的 $x=a$ 或 $b$, 即有 $f(a)=\alpha$ 或 $f(b)=\beta$, 换言之, $\alpha, \beta$ 在 $f(x)$ 的值域中. 又如果 $\alpha=f(a)<y_0<f(b)=\beta$, 由连续函数中间值定理, 在 $[a, b]$ 之间必存在一点 $x_0$ 满足 $f\left(x_0\right)=y_0$, 即 $[\alpha, \beta]$ 内任一点都属于值域 $f([a, b])$, 又如果 $y_0 \notin[\alpha, \beta]$, 那么由严格递增性得出, 它不可能是任一点 $x \in[a, b]$ 的象, 这就证明了 $f(x)$ 的值域是 $[\alpha, \beta]$, 因此,连续递增函数 $f:[a, b] \mapsto[\alpha, \beta]$ 是满射的.
2. 再证 $f$ 是单射的, 因为一个严格递增函数 $f$ 满足条件:

$$
x_1<x_2 \quad \Rightarrow \quad f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)
$$

即自变数的值与函数值是一对一的, 所以 $f$ 是单射的.
由上可知函数 $f$ 是可逆的, 因此存在一个反函数 $f^{-1}:[\alpha, \beta] \mapsto[a, b]$, 其中 $x=f^{-1}(y)$.
3. 证明 $f^{-1}$ 的递增性.

假设 $y_1, y_2$ 是 $[\alpha, \beta]$ 内的两个数, 并且 $y_1<y_2$, 又设 $x=f^{-1}\left(y_1\right), x_2=$ $f^{-1}\left(y_2\right)$, 对于这两数 $x_1$ 和 $x_2$ 只有三种可能: $x_1<x_2, x_1=x_2, x_1>x_2$.如果 $x_1 \geq x_2$, 由于 $f$ 的递增性质, 知道

$$
y_1=f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)=y_2
$$

这与 $y_1<y_2$ 的假设矛盾, 因此, $x_1<x_2$, 即

$$
y_1<y_2 \quad \Rightarrow \quad f^{-1}\left(y_1\right)=x_1<x_2=f^{-1}\left(y_2\right)
$$

这就证明了 $x=f^{-1}(y)$ 是 $[\alpha, \beta]$ 上的递增函数.
4. 最后还应证明 $x=f^{-1}(y)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续, 但是在高中阶段, 我们不深究，同学只要知道结论就可以了.

一般来说，一个函数可以分成分段单调的几支，对于每一支得一反函数.
例如，函数 $y=f(x)=x^2, x \in R$ 在区间 $[0,+\infty)$ 或 $(-\infty, 0]$ 上连续和严格单调. 因为 $[0, b] \subset[0,+\infty)$ 和 $[-b, 0] \subset(-\infty, 0]$ ，这个 $b$ 是任意大的正数，因此 $y=x^2 ， x \in R$ 的两个分段 $y=f_1(x)=x^2, x \in[0, b]$ 和 $y=f_2(x)=x^2, x \in[-b, 0)$ 根据反函数存在定理, 分别有反函数:

$$
\begin{aligned}
& x=f_1^{-1}(y)=\sqrt{y}, \quad y \in\left[0, b^2\right] \\
& x=f_2^{-1}(y)=-\sqrt{y}, \quad y \in\left[0, b^2\right]
\end{aligned}
$$

但是当 $b \rightarrow+\infty$ 时,$b^2 \rightarrow+\infty$, 所以,
- 连续和递增的一段 $y=f_1(x)=x^2, x \in[0,+\infty)$ 的反函数是 $x=$ $f_1^{-1}(y)=\sqrt{y}, y \in[0,+\infty)$, 它是连续的和严格递增的；
- 连续和递减的一段 $y=f_2(x)=x^2, x \in(-\infty, 0]$ 的反函数是 $x=$ $f_2^{-1}(y)=-\sqrt{y}, y \in[0,+\infty)$, 它是连续的和严格递减的.
将 $f_1^{-1}$ 和 $f_2^{-1}$ 中的 $x$ 和 $y$ 对调后，便得到 $f_1$ 和 $f_2$ 的矫形的反函数，（见图8.24).
 ![图片](/uploads/2024-10/414d0c.jpg)

$$
\begin{array}{lr}
y=f_1^{-1}(x)=\sqrt{x}, & y \in[0,+\infty) \\
y=f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x}, & y \in[0,+\infty)
\end{array}
$$

一般地, 函数 $y=f(x)=x^n,(n \in N )$ 在半开区间 $[0,+\infty)$ 上连续和严格递增, 函数 $f$ 有反函数

$$
x=f^{-1}(y)=\sqrt[n]{y}=y^{\frac{1}{n}}, \quad y \in[0,+\infty)
$$

它是连续的和严格递增的.
在图 8.25 中, 我们画出几个幂函数和它们的反函数的图象:
 ![图片](/uploads/2024-10/6d5da9.jpg)
 
 
`例` 若 $f(x)=\log _3 x$, 并设 $y=f^{-1}(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数, 求 $f^{-1}(2), f^{-1}(a)$.

解 设 $f^{-1}(2)=t$, 根据反函数的定义, 可得 $f(t)=2$, 即 $\log _3 t=2$, 因此 $t=9$, 即 $f^{-1}(2)=9$.

类似地，设 $f^{-1}(a)=b$ ，可得 $f(b)=\log _3 b=a$ ，即 $b=3^a$ ，因此 $f^{-1}(a)=3^a$ 。

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