最后更新: 2025-04-12 17:38 查看: 237 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

反函数和它的图象

## 反函数和它的图象
在研究一个问题的时候，不只是把两个变量之间的函数关系表示成 $y$ 是 $x$的函数, 有时也需要把 $x$ 表示为 $y$ 的函数, 例如, 在自由落体运动中, 如果想从已知的时间 $t$ 来确定路程 $s$, 则 $s$ 是 $t$ 的函数

$$
s=\frac{1}{2} g t^2  ...(8.5)
$$

如果反过来, 想从已知的路程 $s$ 来确定下落的时间 $t$, 则应从 (8.5) 式将 $t$ 解出:

$$
t=\sqrt{\frac{2 s}{g}}
$$

这时, $t$ 是 $s$ 的函数.
从这里看出, 这两个函数 $s=f(t)=\frac{1}{2} g t^2$ 和 $t=g(s)=\sqrt{\frac{2 s}{g}}$, 其实是同一种关系的两种表示法, 我们把这样的两个函数 $f$ 和 $g$ 叫做互为反函数.

例 8.20 若 $x \in R , y \in R$, 那么, 函数

$$
f: y=f(x)=2 x+3, \quad g: x=g(y)=\frac{y-3}{2}
$$
互为反函数 .
> 反函数通常使用$f^{-1}(x)$标记。

例如上面的函数 $f: y=f(x)=2 x+3$的反函数通常写为 $ f^{-1}(x)=\frac{y-3}{2}$

> 要计算一个函数的反函数，只要把原函数里，$x$替换为$y$, $y$替换为$x$即可，然后整理为 $y=f(x)$ 注意定义域和值域。但是要注意其定义域和值域的范围，具体见下面例子

例8.21 若 $x \in X=\{x \mid 0 \leq x \leq 1\}, y \in Y=\{y \mid 0 \leq y \leq 1\}$ ，而 $x, y$ 之间的关系是 $x^2+y^2=1$, 则函数

$$
\begin{aligned}
& f: y=f(x)=\sqrt{1-x^2} \\
& g: x=g(y)=\sqrt{1-y^2}
\end{aligned}
$$

互为反函数，因为在上述关系 $x^2+y^2=1$ 中， $x, y$ 是对称的，所以 $f$ 和 $g$ 是同一形式的函数。在一般情况下 $f$ 和 $g$ 是不同形式的函数.

必须注意, 不能认为从每一个函数 $y=f(x)$ 都能解得一个反函数 $x=g(y)$.

例如，如果两个变数 $x, y$ 之间的关系是 $y=x$ ，定义域 $X=\{x \mid x \in R \} ，$ 值域 $Y=\{y \mid y \geq 0\}$ ，那么： $f: y=x, x \in(-\infty,+\infty)$ 是 $X \mapsto Y$ 的函数。但是，如果不对自变数 $x$ 加以限制, 这个函数 $f$ 是不可逆的, 也就是由它不能得到一个新函数 $g: Y \mapsto X$ 。 因为，对于每个 $y(\neq 0) \in Y$ ，将有 $X$ 中两个数值 $x=\sqrt{y}$和 $x=-\sqrt{y}$ 和 $y$ 对应, 如下图所示：
 ![图片](/uploads/2024-10/4e3f7f.jpg)
 
 下面我们来说明具有怎样性质的函数才有反函数.
假如函数 $y=f(x)$ 具有这样的性质: "若 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$, 也就是说对于定义域 $X$ 中任意不同的 $x_1, x_2$, 它们在值域 $Y=f(X)$ 中的对应值 $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right)$ 也不相同"。那么对于 $Y=f(X)$ 内任何一个 $y$, 通过函数 $f$,可以逆对应出一个且只有一个 $x$, 使得 $y$ 和这个 $x$ 对应, 这样一个函数叫做由 $X$ 到 $Y=f(X)$ 的一一对应函数, 或双射（满射且单射）, 简称这个函数是**可逆的**. 对于一个可逆函数 $f: x \mapsto f(x)$, 我们可以交换自变数与因变数的地位,

于是对于 $Y=f(X)$ 的每一个 $y$ 就有 $X$ 内唯一一个逆象 $x$, 这就是说我们得到了一个新函数:

$$
g: Y=f(X) \mapsto X, \quad \text { 使得 } y \mapsto x=g(y)
$$

假如 $y=f(x)$.
新函数和原来函数的这种关系可以用下图来说明:

$$
x-f \quad y=f(x)-g
$$

根据上面的分析, 我们得到反函数的一般定

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