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反函数和它的图象

## 反函数和它的图象
在研究一个问题的时候，不只是把两个变量之间的函数关系表示成 $y$ 是 $x$的函数, 有时也需要把 $x$ 表示为 $y$ 的函数, 例如, 在自由落体运动中, 如果想从已知的时间 $t$ 来确定路程 $s$, 则 $s$ 是 $t$ 的函数

$$
s=\frac{1}{2} g t^2  ...(8.5)
$$

如果反过来, 想从已知的路程 $s$ 来确定下落的时间 $t$, 则应从 (8.5) 式将 $t$ 解出:

$$
t=\sqrt{\frac{2 s}{g}}
$$

这时, $t$ 是 $s$ 的函数.
从这里看出, 这两个函数 $s=f(t)=\frac{1}{2} g t^2$ 和 $t=g(s)=\sqrt{\frac{2 s}{g}}$, 其实是同一种关系的两种表示法, 我们把这样的两个函数 $f$ 和 $g$ 叫做互为反函数.

> 反函数简单来说，它是将**原函数的输入和输出互换**得到的新函数

## 反函数的定义
**反函数的定义** 设函数 $ y = f(x) $ 的定义域为 $ D $，值域为 $ R $。如果对于每一个 $ y \in R $，都存在唯一的 $ x \in D $ 使得 $ f(x) = y $，那么我们可以定义一个从 $ R $ 到 $ D $ 的新函数：
$$
x = f^{-1}(y)
$$
这个新函数 $ f^{-1} $ 就叫做 $ f $ 的反函数。

**原函数**：你输入 $ x $，机器输出 $ y $。
**反函数**：你输入 $ y $，机器输出原来的 $ x $。

类比记忆：物体做自由落体运动，如果知道了$t=2s$下落$s=5m$,那么如果物体下落$s=5m$就需要$t=2s$，其中必须一一对应。

> **性质**：$ f^{-1}(f(x)) = x $ 且 $ f(f^{-1}(y)) = y $。也就是说，反函数能“抵消”原函数的运算。

##  反函数存在条件（难点）
并不是所有函数都有反函数。 一个函数要有反函数，必须满足一一对应。也就是满足**单调性**，函数必须在定义域内严格单调（要么一直递增，要么一直递减）。

例如：$ y = x^2 $ 在**全体实数**上没有反函数，因为 $ x=2 $ 和 $ x=-2 $ 都得到 $ y=4 $。这意味着，如果在反函数里取$y=4$将同时又两个数$x=\pm 2$ 和他对应，破坏了函数必须要求一对一的关系,从映射角度看，出现了二对一的情况。

![img-text](/uploads/2024-10/4e3f7f.jpg)

但是，如果限制定义域为 $ [0, +\infty) $，它的反函数就是 $ y = \sqrt{x} $

### 可逆函数
下面我们来说明具有怎样性质的函数才有反函数，这里引入一个新名词：可逆函数。

假如函数 $y=f(x)$ 具有这样的性质: "若 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$, 也就是说对于定义域 $X$ 中任意不同的 $x_1, x_2$, 它们在值域 $Y=f(X)$ 中的对应值 $f\left(x_1\right), f\left(x_2\right)$ 也不相同"。那么对于 $Y=f(X)$ 内任何一个 $y$, 通过函数 $f$,可以逆对应出一个且只有一个 $x$, 使得 $y$ 和这个 $x$ 对应, 这样一个函数叫做由 $X$ 到 $Y=f(X)$ 的一一对应函数, 或双射（满射且单射）, 简称这个函数是**可逆的**. 对于一个可逆函数 $f: x \mapsto f(x)$, 我们可以交换自变数与因变数的地位,

可逆函数的理解是：加入你从北京做火车能到上海，反过来，你从上海做火车逆着回去还能到北京。

## 求反函数的步骤
假设求 $ y = f(x) $ 的反函数：

1.  **求出函数x的表达式**：将原式中的解出 $ x = f(y) $。
2.  **互换变量**：因为我们总是使用$x$作为自变量，$y$作为因变量，所以交换$x,y$位置。
3.  **确定定义域**：反函数的定义域是原函数的值域。

`例` 求 $ y = 2x + 3 $ 的反函数。

-   解出$x$：$ x = \frac{y - 3}{2} $
-   互换变量：$ y = \frac{x - 3}{2} $
-   结果：$ f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} $
- 定义域： 定义域为 $R$

**当然实际题目不可能像上面这么简单，见下面例题，最难的是确定定义域**。

`例`求 $\displaystyle y=\frac{2x+1}{x-1}\ (x\neq1)$ 的反函数

**1. 去分母**

$$
y(x-1)=2x+1
$$
$$
yx-y=2x+1
$$

**2. 把含 $x$ 放一边**

$$
yx-2x=y+1
$$
$$
x(y-2)=y+1
$$

**3. 解出 $x$**

$$
x=\frac{y+1}{y-2}
$$

**4. 互换 $x,y$**

$$
y=\frac{x+1}{x-2}
$$

**答案**：$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-2}\ (x\neq2)$

`例`求 $y=2^x+1$ 的反函数
1. 移项
$$
y-1=2^x
$$
2. 取对数
$$
x=\log_2(y-1)
$$
3. 互换
$$
y=\log_2(x-1)
$$
**答案**：$f^{-1}(x)=\log_2(x-1)\ (x>1)$

`例`求 $y=x^2+1,\ x\ge0$ 的反函数
1. 解 $x$
$$
y-1=x^2
$$
因 $x\ge0$，取正根：
$$
x=\sqrt{y-1}
$$
2. 互换
$$
y=\sqrt{x-1}
$$
**答案**：$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}\ (x\ge1)$

## 含有定义域的反函数

`例`设 $y=2x+1,\ x\in[0,2]$，求反函数。

1. 解 $x$
$y-1=2x \Rightarrow \displaystyle x=\frac{y-1}{2}$

2. 求原函数值域（即反函数定义域）
$x\in[0,2]$
$y\in[1,5]$

3. 互换 $x,y$
$\displaystyle y=\frac{x-1}{2}$

**反函数：**
$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2},\ x\in[1,5]$

`例`设 $y=x^2,\ x\in[-2,0]$，求反函数。

1. 解 $x$
$x^2=y \Rightarrow x=\pm\sqrt{y}$

2. 由定义域 $x\in[-2,0]$ 取负根
$x=-\sqrt{y}$

3. 求值域
$y\in[0,4]$

**反函数：**
$f^{-1}(x)=-\sqrt{x},\ x\in[0,4]$

`例`设 $\displaystyle y=\frac{x}{x+1},\ x>0$，求反函数。

1. 解 $x$
$y(x+1)=x$
$yx+y=x$
$x-yx=y$
$x(1-y)=y$
$\displaystyle x=\frac{y}{1-y}$

2. 求值域
$x>0 \Rightarrow 0<y<1$

**反函数：**
$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x},\ x\in(0,1)$

## 反函数的图像
因为反函数就是把 $x$ 和 $y$ 互换了，所以图像自然关于 $y=x$ 对称。 比如自由落体，$2s$下落$5m$的坐标是$(2,5)$，反函数表示的是下落$5m$需要$2s$时间，画出来点就是$(5,2)$，可以看到他们坐标正好相反。事实上，如果你学习了解析几何，可以根据 [中点坐标公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1856) 得到。

**1. 从一个点看为什么对称**
原函数上有一点：
$$
(a,\ b)
$$
意思是：输入 $a$，得到 $b$，即 $f(a)=b$。

反函数要做的事是：
输入 $b$，还原出 $a$，即 $f^{-1}(b)=a$。

所以反函数上对应的点是：
$$
(b,\ a)
$$

而**点 $(a,b)$ 和点 $(b,a)$ 本身就关于直线 $y=x$ 对称**，这是坐标对称的基本结论。
 
**2. 从整个图像看**
- 原函数图像：所有 $(x,\ y)$
- 反函数图像：所有 $(y,\ x)$

相当于把整个坐标系**沿对角线 $y=x$ 对折**，
x 轴和 y 轴互换了位置，图像自然就对称了。

**3. 几何上的直观理解**
直线 $y=x$ 是一、三象限的角平分线。
对任意一点 $(a,b)$：
- 作它到 $y=x$ 的垂线
- 垂足是中点
- 对面就是 $(b,a)$

所以：
**每一组点都对称 ⇒ 整条图像都对称。**

下图显示了2个函数的图像，由此有2个结论：

> 互为反函数的两函数的图像关于直线 $y=x$ 成轴对称.
> 若点 $(a, b)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上, 那么点 $(b, a)$ 就在曲线 $y=f^{-1}(x)$ 上.

![img-text](/uploads/2024-10/da4e40.jpg)

## 反函数的单调性

**原函数与它的反函数，单调性完全相同**

1. 若函数$y=f(x)$在区间上 **单调递增**
   ⇒ 它的反函数$y=f^{-1}(x)$在对应区间上也 **单调递增**

2. 若函数$y=f(x)$在区间上 **单调递减**
   ⇒ 它的反函数$y=f^{-1}(x)$在对应区间上也 **单调递减**

### 简单理解
- 单调函数才存在反函数（不单调的函数没有反函数）
- 反函数图像是原函数关于直线$y=x$对称
- 对称后增减性不会改变，只会把定义域和值域互换

因此
-$y=e^x$递增 ⇒$y=\ln x$递增
-$y=x^3$递增 ⇒$y=\sqrt[3]{x}$递增
-$y=-x$递减 ⇒ 反函数还是$y=-x\)，同样递减

**举个生活化例子**
原函数：
你越努力（x变大），分数越高（y变大）→ **递增**

反函数：
分数越高（x变大），说明你越努力（y变大）→ **还是递增**

原函数：
你越玩手机（x变大），成绩越低（y变小）→ **递减**

反函数：
成绩越低（x变大），说明你玩手机越多（y变大）→ **还是递减**

下面是严格的证明（无需掌握）

`例`设 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上严格递增（递减）且连续，又 $f(a)=\alpha$ ， $f(b)=\beta$, 则在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上存在着 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$,又 $x=f^{-1}(y)$ 在 $[\alpha, \beta]$ （或 $[\beta, \alpha]$ ）上也是严格递增（或递减）且连续的.
 
 
 证明:
1. 先证 $y=f(x)$ 的值域是闭区间 $[\alpha, \beta]$, 设 $y$ 是 $[\alpha, \beta]$ 中任意一点, 如果 $y=\alpha$ 或 $\beta$, 那么相应的 $x=a$ 或 $b$, 即有 $f(a)=\alpha$ 或 $f(b)=\beta$, 换言之, $\alpha, \beta$ 在 $f(x)$ 的值域中. 又如果 $\alpha=f(a)<y_0<f(b)=\beta$, 由连续函数中间值定理, 在 $[a, b]$ 之间必存在一点 $x_0$ 满足 $f\left(x_0\right)=y_0$, 即 $[\alpha, \beta]$ 内任一点都属于值域 $f([a, b])$, 又如果 $y_0 \notin[\alpha, \beta]$, 那么由严格递增性得出, 它不可能是任一点 $x \in[a, b]$ 的象, 这就证明了 $f(x)$ 的值域是 $[\alpha, \beta]$, 因此,连续递增函数 $f:[a, b] \mapsto[\alpha, \beta]$ 是满射的.
2. 再证 $f$ 是单射的, 因为一个严格递增函数 $f$ 满足条件:

$$
x_1<x_2 \quad \Rightarrow \quad f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)
$$

即自变数的值与函数值是一对一的, 所以 $f$ 是单射的.
由上可知函数 $f$ 是可逆的, 因此存在一个反函数 $f^{-1}:[\alpha, \beta] \mapsto[a, b]$, 其中 $x=f^{-1}(y)$.
3. 证明 $f^{-1}$ 的递增性.

假设 $y_1, y_2$ 是 $[\alpha, \beta]$ 内的两个数, 并且 $y_1<y_2$, 又设 $x=f^{-1}\left(y_1\right), x_2=$ $f^{-1}\left(y_2\right)$, 对于这两数 $x_1$ 和 $x_2$ 只有三种可能: $x_1<x_2, x_1=x_2, x_1>x_2$.如果 $x_1 \geq x_2$, 由于 $f$ 的递增性质, 知道

$$
y_1=f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)=y_2
$$

这与 $y_1<y_2$ 的假设矛盾, 因此, $x_1<x_2$, 即

$$
y_1<y_2 \quad \Rightarrow \quad f^{-1}\left(y_1\right)=x_1<x_2=f^{-1}\left(y_2\right)
$$

这就证明了 $x=f^{-1}(y)$ 是 $[\alpha, \beta]$ 上的递增函数.
4. 最后还应证明 $x=f^{-1}(y)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续, 但是在高中阶段, 我们不深究，同学只要知道结论就可以了.
 
 
 `例`
`例` 若 $f(x)=\log _3 x$, 并设 $y=f^{-1}(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数, 求 $f^{-1}(2), f^{-1}(a)$.

解 设 $f^{-1}(2)=t$, 根据反函数的定义, 可得 $f(t)=2$, 即 $\log _3 t=2$, 因此 $t=9$, 即 $f^{-1}(2)=9$.

类似地，设 $f^{-1}(a)=b$ ，可得 $f(b)=\log _3 b=a$ ，即 $b=3^a$ ，因此 $f^{-1}(a)=3^a$ 。

`例`设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，且存在反函数 $f^{-1}(x)$。
若 $f(m)<f(n)$，比较 $f^{-1}(m)$ 与 $f^{-1}(n)$ 的大小。

解：
$f$ 递增 ⇒ $f^{-1}$ 递增
由 $f(m)<f(n)$ 得 $m<n$
故 $f^{-1}(m)<f^{-1}(n)$

`例`已知 $f(x)=x^3+x$，判断其反函数单调性。
解：
$f'(x)=3x^2+1>0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上**严格递增**
⇒ 反函数在定义域上也**严格递增**

关于反三角函数，请参考 [反三角函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1423)

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