最后更新: 2025-04-14 19:06 查看: 210 次反馈同步训练

阅读：实数的完备性

实数是现实世界中最基本的数系，我们采用逼近法来研究实数，逼近法是一种原理简朴但是应用广泛的方法, 它将贯穿于本书的微积分学部分, 是一支主力军.

第一节 度量与实数
一般说来，常见的量可以归纳成两类：比如一堆蛋，一群牛，它们都具有天然的个别单元，对它们的处理方法是数一数它们的个数，用来数个数的数学体系就是 "自然数系"。另一类量如长度、重量、温度、压力这种量不具有天然不可分割的单元！我们处理这类量的办法是度量，由度量产生的数系就是"实数系"，换句话说，实数系乃是将常见的长度、重量等这一类量的通性加以抽象化、组织化所得出来的数学体系，它是用来表达、计算这一类连续变化的量的简洁，有效工具。

下面将以长度为例, 说明度量和实数的起源.

## 一、长度的度量
因为长度这种量并不是有天然不可分割的单位，所以我们只好选用人为的单位长, 设线段 $u$ 是所选用的单位长, 当我们要度量一个线段 $a$ 时, 我们所要去求的乃是 $a$ 与 $u$ 之间的 "比值", 这个比值是一个实数 $k$, 我们就说线段 $a$ 的长度是 $k$ 单位, 现在让我们耐心地分析一下, 在实践中这个 "比值" 是怎样求得的?

我们先拿一根尺 $u$, 用它去逐段比量线段 $a$, 假如 $a$ 恰好是 $n$ 个和 $u$ 等长的线段首尾连接而成，我们说 $u$ 恰好整量 $a, a$ 的长度是 $n$ 单位，但是假如 $u$不能整量 $a$, 例如在图 6.1 中的线段, $a$ 比 $4 u$ 要长些, 却比 $5 u$ 要短些.

试着去解决上述不能整量的矛盾的一个简朴想法是：把单位长 $u$ 适当地加
 ![图片](/uploads/2024-11/d0e065.jpg)
 
 以等分，希望分后的 "分单位" 能够整量 $a$ (比如上面的例子中， $\frac{1}{4} u$ 就可以整量 $a$, 即 $a=4 \frac{3}{4} u=\frac{19}{4} u$ ), 一般地, 假如 $a$ 能用 $\frac{1}{m} u$ 这个分单位整量, 譬如 $a=\frac{n}{m} u$ ，则 $a, u$ 之间的比值是个**有理数**（也称为比数）。在这儿，就自然地产生下述基本问题。

度量基本问题 任给两个量 $a, b$ 之间的比值是否一定是个有理数（比数）？换句话说，对于任给两个量 $a, b$ 是否存在一个同时整量 $a, b$ 的 $u$ ?

上面这个问题的重要性可以分别从正、反两面来分析：假如任何两个量的比值总是有理数，那么有理数全体就足够处理度量问题，这样度量问题就变得十分简单了. 从另一方面来看, 假如两个量之间的比值不一定是有理数, 则有理数全体（简称有理数系或比数系）就不足以处理度量问题，换句话说，我们就得学会一个不只包含有理数系的实数系，才能充分处理度量问题。总之，上述基本问题是必须实事求是地弄明白的！

> 正如测量长度需要一把尺子，测量重量需要一台天平，在后续《实变函数论》里，可以学到“测度论”，他用来测量**集合**，可以看到这个定义非常抽象，但是，作为类比，可以把集合想象为一个物体，要对他进行测量，就要有一个“尺子”，这就是“**测度论**”

## 二、无理数（非比实数）的存在

> 关于无理数并不表示他比有理数更有道理，这是数学翻译史上的一个失误，详见[有理数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=8)

不难给出，两个线段的比值不可能是有理数的一个简单例子，如图6.2所示, 各边为单位长度的正方形的对角线 $\ell$ 与边长之比就不能是个有理数.
 ![图片](/uploads/2024-11/d901cd.jpg)
 
 因为根据勾股定理, $\ell^2=2$, 所以, 如果 $\ell$ 是个有理数, 设其等于 $\frac{p}{q}$, 这里 $q$ 和 $p$ 是两个互质的正整数，我们将有

$$
p^2=2 q^2
$$

根据上述方程, $p$ 是偶数, 因此 $p$ 本身也必定是偶数, 譬如说, $p=2 p^{\prime}$, 用 $2 p^{\prime}$

代替 $p$, 我们得到

$$
4\left(p^{\prime 2}\right)=2 q^2
$$

或者，

$$
q^2=2\left(p^{\prime}\right)^2
$$

因而 $q^2$ 是偶数，于是 $q$ 也是偶数，然而这同我们所作的 $p$ 和 $q$ 没有公因子的约定相矛盾，这一矛盾是由假设对角线长能够表示为既约分数 $\frac{p}{q}$ 引起的，所以这一假设是错误的.

这一用反证法推导的例子，表明符号 $\sqrt{2}$ 不能对应于任何有理数。另一例子是 $\pi$ ——圆的周长与直径的比, 证明 $\pi$ 不是有理数要复杂得多, 并且直到近代才做到. 不属于有理数系的实数有很多, 所以在某种意义上远比有理数更为普遍，因此，从几何度量的客观实际需要出发，我们不得不增添一类新数，这一类新数叫无理数. **有理数和无理数的全体统称为实数系**. 当我们面对着实数系中还存在着许多 "无理数" 这一事实时, 怎样去有系统地学习实数系的性质并充分掌握其用法，这便成为我们的一个迫切的基本课题。下面所要谈的逼近法, 就是一种有效地利用熟知的有理数系作为桥梁, 向实数系进军的捷径.

## 三、逼近法
通过已知的有理数系去了解实数系的可能性基于下述基本事实, 那就是：任何无理数都可以用有理数去逼近它！现在我们用数轴来图解有理数系与实数系间的关系. 如图 6.3 所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/565d59.jpg)
 在上面坐标系中, 所有以整数为坐标的点, 在直线 $\ell$ 上成一均匀分布的点集，其相邻两点间的距离都是 1 单位；同样的，所有坐标是 $\frac{p}{2},(p=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$的点，在直线上成一均匀分布的点集，其相邻两点间的距离都是 $\frac{1}{2}$ 单位；设 $q$为一指定的自然数，则所有坐标是 $\frac{p}{q}, p \in Z$ 的点在直线上成一均匀分布的点集, 其相邻两点间的距离是 $\frac{1}{q}$ 单位. 只要将 $q$ 取成足够大的自然数, 则能使数 $\frac{1}{q}$ 想要多么小就可以多么小. 这个现象说明在直线上任何一段很短的线段中,都有坐标是有理数的点, 也就是任何两个有理数点之间都有有理数点, 这就是 **有理数点集稠密性**, 但是这个现象并不表示有理点就可以填满整个直线, 例如长度为 $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 的线段, 若将它的一个端点放在数轴的原点, 则另一端点在直线的坐标就不是有理数. 现在我们的问题是如何说明实数同原来熟悉的有理数,因而最终同整数的关系。让我们再回到图 6.3 的数轴 $\ell$ 上，显然 $\ell$ 上面的每一个点或者是坐标为 $\frac{p}{q}$ 的有理点, 或者处于两个相邻的有理点 $\frac{p}{q}$ 和 $\frac{p+1}{q}$ 之间,换言之，给了任何自然数 $q$ 之后，对于每一个实数 $x$ ，一定有一整数 $p$ ，使得

$$
\frac{p}{q} \leq x<\frac{p+1}{q}
$$

即

$$
\frac{p}{q} \leq x<\frac{p}{q}+\frac{1}{q}
$$

从这三个数各减去 $\frac{p}{q}$ ，得到

$$
0 \leq x-\frac{p}{q}<\frac{1}{q}
$$

于是

$$
\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q}
$$

这个不等式说明，只要将 $q$ 取成足够大的自然数，每一个实数 $x$ 与有理数 $\frac{p}{q}$的误差想要多么小就可以多么小。

下面我们来说明每一个无理数如何通过越来越逼近它的有理数数列来描述它.
## （一）二分逼近法
现在让我们用二分逼近法来说明任何无理数都可以用有理数数列去逼近它，使得误差小到任意小。

设某无理数 $x$ 位于线段 $A_0 B_0=\left[a_0, b_0\right]$ 内（亦即 $a_0<x<b_0, a_0, b_0$ 均为有理数), 见图6.4.

![图片](/uploads/2024-11/ae2225.jpg)
 
我们将线段 $A_0 B_0=\left[a_0, b_0\right]$ 等分为两段, 亦即 $\left[a_0, \frac{a_0+b_0}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a_0+b_0}{2}, b_0\right]$;而把 $x$ 所在的那一段叫做 $A_1 B_1=\left[a_1, b_1\right]$, 换句话说, 当 $a_0<x<\frac{a_0+b_0}{2}$ 时,$a_1=a_0, b_1=\frac{a_0+b_0}{2}$; 当 $\frac{a_0+b_0}{2}<x<b_0, a_1=\frac{a_0+b_0}{2}, b_1=b_0$. 这样逐次二等分, 由 $A_1 B_1$ 求得 $A_2 B_2, \cdots \cdots$, 由 $A_{n-1} B_{n-1}$ 求得 $A_n B_n$, 永远无休止地二等分下去，因为每次二等分后，分段长度减半，所以 $x$ 所在的线段就可以小到任何需要的程度. 现在把上面的二分逼近过程写下来, 就得到 $a_n, b_n, x$ 的下列关系：
1. $A_0 B_0=\left[a_0, b_0\right] \supseteq A_1 B_1=\left[a_1, b_1\right] \supseteq \cdots \supseteq A_n B_n=\left[a_n, b_n\right] \supseteq A_{n+1} B_{n+1}=$ $\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] \supseteq \cdots \supseteq\{x\}$ ，即：

$$
a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots<x<\cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1 \leq b_0
$$

2. $b_n-a_n=\frac{1}{2}\left(b_{n-1}-a_{n-1}\right)=\cdots=\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right)$, 这就保证了 $a_n$ 或 $b_n$ 和 $x$ 之间的误差小于 $\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right)$, 即 $\left|x-a_n\right|<\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right)$ 或 $\left|x-b_n\right|<$ $\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right)$, 只要 $n$ 够大, 上述误差就可以小到任意小.
3. 实数 $x$ 由它的夹逼数列：

$$
a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots<x<\cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1 \leq b_0
$$

其中: $b_n-a_n=\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right)$ 唯一确定, 即没有另一点能够处在所有的线段 $A_n B_n$ 之中.

要证明这个数的唯一性, 我们假定另有第二个数 $y$ 也属于一切线段 $A_n B_n$之中, 于是这些线段的每一个长 $b_n-a_n$ 都应不小于 $|x-y|$, 但是, 因为线段 $A_n B_n$ 可以任意小, 只要 $n$ 足够大, $A_n B_n$ 的长就会小于 $x$ 和 $y$ 之间的距离,这就得出矛盾. 所以实数 $x$ 能由它的夹逼数列唯一确定。

现在以 $x=\sqrt{2}, a_0=1, b_0=2$ 为例来说明如何用二分逼近法求 $\sqrt{2}$ 的近似值, 如图 6.5 所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/93af92.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-11/74539a.jpg)
 
 这时, $\frac{181}{128}<\sqrt{2}<\frac{91}{64}$, 把 $\frac{181}{128}$ 作为 $\sqrt{2}$ 的不足近似值，其误差小于 $\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$.

照这样逐步计算，每次只要检验 $\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)$ 的平方和 2 之间的大小次序关系，就能确定 $\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)$ 应该是 $a_n$ 还是 $b_n$ ，显然的，这样所求得的 $a_n, b_n$ 和 $\sqrt{2}$ 有下列关系:

$$
a_n<\sqrt{2}<b_n, \quad b_n-a_n=\frac{1}{2^n},(n=1,2,3, \ldots)
$$
我们可以把 $a_n$ 叫做 $\sqrt{2}$ 的一个 " $n$ 阶不足近似值". $b_n$ 叫做 $\sqrt{2}$ 的一个 " $n$ 阶过剩近似值", 它们和 $\sqrt{2}$ 的差的绝对值小于 $\frac{1}{2^n}$.

## （二）十分逼近法

上面所讨论的二分逼近法只不过是逼近法的一种，譬如，对于任何大于 1的整数 $q$ ，我们可以仿照上法用逐次 $q$ 等分而得到 " $q$ 分逼近法"，但是实用起来， $q$ 愈大则每次要去确定 $x$ 属于 $q$ 个分段中的哪一段时所需做计算也就愈繁，所以二分逼近法比较简便，再者，在 $q$ 分逼近法中，用来逼近的数 $a_n, b_n$ 都是那些分母是 $q$ 的方幂的分数；而常用的 "十进小数" 也就是分母是 10 的方幂的分数, 例如,

$$
1.4=\frac{14}{10}, \quad 1.41=\frac{141}{100}=\frac{141}{10^2}, \quad \ldots
$$

所以十分逼近法也就是用小数去逼近的方法，现在再以 $\sqrt{2}$ 为例，简要地说明十分逼近法如下：

将线段 $[1,2]$ 十等分, 其分点分别是 $1.1,1.2, \ldots, 1.9$, 看看哪些分点的平方小于 2 , 哪些大于 2 , 算一下就得出:

$$
(1.1)^2,(1.2)^2,(1.3)^2,(1.4)^2=1.96<2<2.25=(1.5)^2,(1.6)^2, \ldots,(1.9)^2 .
$$

所以 $1.4<\sqrt{2}<1.5, \sqrt{2}$ 属于分段 $[1.4,1.5]$;
再把 $[1.4,1.5]$ 十等分, 分点分别是 $1.41,1.42, \ldots, 1.49$, 再算一下, 由 $(1.41)^2=$ $1.9891<2<2.0164=(1.42)^2,(1.43)^2, \ldots,(1.49)^2$, 就得出 $\sqrt{2}$ 属于分段 $[1.41,1.42]$, 再一次十等分, 然后再由计算可以确定 $\sqrt{2}$ 属于分段 [1.414, 1.415],这样逐次十等分, 就可以求得一个 $n$ 位小数 $a_n$ 使得

$$
a_n<\sqrt{2}<b_n=a_n+\left(\frac{1}{10}\right)^n
$$

在实用时，我们按照实际问题所需要的精确度，求到足够位数（即 $\left(\frac{1}{10}\right)^n$小于许可误差）。这里我们用普通的算术法则对 2 作开方运算将得到一个足够精确的小数. 例如, 求 $\sqrt{2}$ 的不足近似值和过剩近似值, 精确到 $\frac{1}{10^4}$. 计算如下：
 ![图片](/uploads/2024-11/783f96.jpg)
 
 从计算中知道

$$
\begin{gathered}
1.4142<\sqrt{2}<1.4143 \\
|\sqrt{2}-1.4142|<\frac{1}{10^4}, \quad|\sqrt{2}-1.4143|<\frac{1}{10^4}
\end{gathered}
$$

因此，1.4142，1.4143 分别是 $\sqrt{2}$ 的精确到 $\frac{1}{10^4}$ 的不足近似值与过剩近似值.

总结上面对于逼近法的讨论, 我们得到了下列几点简要的初步认识:
1. 实数系, 有理数系, 整数系, 自然数系的包含关系是这样的:

![图片](/uploads/2024-11/31f27b.jpg)

实数系还包括无理数, 任何无理数都可以用有理数去逼近它！二分逼近法和 $q$ 分逼近法是各种逼近法中最常用的几种.
2. 一般说来, 逼近法就是对于某一给定实数 $x$ 逐步地去求它的近似值 $a_n$,使得误差 $\left|x-a_n\right|$ 可以小到任意小. 在 $q$ 分法中, 使得误差小到任意小的办法是用逐次 $q$ 等分同时求出一个 "不足近似值" $a_n$ 和一个 "过剩近似值" $b_n$, 它们把所要逼近的实数 $x$ 夹逼在当中, 即 $a_n<x<b_n$. 因为当 $n$ 逐步增大时, $b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{q^n}$ 是显然可以小到任意小! 这也就是说,给定实数 $x$ 由它的不足近似值数列 $\left\{a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\right\}$ 和过剩近似值数列 $\left\{b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots\right\}$ 唯一确定。

3. 更普遍地, 对给定的实数 $x$, 用某种方法得到两个无穷数列 $\left\{a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\right\}$和 $\left\{b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots\right\}$, 它们和 $x$ 之间满足下列关系:

$$
a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots<x<\cdots \leq b_n

其他版本
【数学分析】构造实数系模型的方法【数学分析】实数系的完备性【数学分析】实数及其连续性

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：反函数和它的图象

下一篇：阅读：函数的连续性

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)