最后更新: 2025-04-14 19:05 查看: 259 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阅读：函数的连续性

### 引言
在初中讨论平方根时, 我们曾用下面的想法初步地肯定 $\sqrt{2}$ 的 "存在性"：边长是 1 米的正方形面积是 1 平方米；边长是 2 米的正方形面积是 4平方米, 所以, 当一个正方形的边长逐渐增加时, 它的面积逐渐由 1 平方米增加到 4 平方米，中间应该会有那么一个 2 平方米的正方形。

上面这段话只是一个粗略的想法, 用数学语言来表达如下:
$y=f(x)=x^2$, 这个幂函数的函数值, 在 $x=1$ 时, $f(1)=1^2=1 ; x=2$时, $f(2)=2^2=4$; 当 $x$ 由 1 变到 2 时, $x$ 的值应该由 1 "连续地" 变到 4 , 所以 $x$ 应该能取一个值 $x_0$ 使 $f\left(x_0\right)=x_0^2=2$.

上面说的 "连续地" 这个术语究竟是什么意思呢？在这一节中，我们就是要把 "连续性"的涵意加以分析、确立. 并且, 把上面这个粗略的想法体现成一个明确有用的定理一一中间值定理。

## 一、连续函数的概念
从几何的直观来看, 连续与间断的意思是一目了然的, 一条曲线是连续的,指这条曲线没有间断点, 在上一节考察的函数, 展示了函数图象有间断点的情形, 函数 $f$ 在点 $x_0$ 是否连续只依赖于它在 $x_0$ 的一个（任意小的）邻域内的变化情况. 直观地看来，如果

1. $f$ 在其定义域的点 $x_0$ 的邻域 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内有定义;
2. 当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时, 函数值 $f(x)$ 同 $f\left(x_0\right)$ 相差任意小, 即自变量 $x$ 的微小变化只能引起函数值的微小变化, 从而排除了函数值的跳跃, 就函数的图象来看, 在这一点 $x_0$ 的邻近, 函数图象是由一条曲线组成的, 而没有在这一点断开成为两个分支, 那么称函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续.
"充分接近" 和 "相差任意小" 这两句话是不够明确的, 而必须用定量的术语给以严格的表述. 现在我们可以用[数列极限](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1505)的概念把 "当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时, $f(x)$ 与 $f\left(x_0\right)$ 相差任意小" 这句话定量地描述如下:

如果在函数定义域 $I$ 中, 自变量 $x$ 取任何一个收敛于 $x_0 \in I$ (即 $\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=$ $\left.x_0\right)$ 的数列 $\left\{x_i\right\}$ 的项 $x_i(i=1,2, \ldots)$, 那么对应的函数数列:

$$
f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \ldots, f\left(x_i\right), \ldots
$$

总有极限值 $f\left(x_0\right)$, 即

$$
\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=f\left(x_0\right)
$$

于是我们得到下述连续性的严格定义：
### 定义
定义在区间 $I$ 上的一个函数 $f$ 在点 $a \in I$ 称做连续, 如果
1. $f(a)$ 有一个确定值,
2. 对于 $I$ 中每一个收敛于 $a$ 的数列 $\left\{x_i\right\}$, 对应的函数数列 $\left\{f\left(x_i\right)\right\}$ 总以 $f(a)$ 为极限, 即有关系式: $\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=f(a)=f\left(\lim _{i \rightarrow \infty} x_i\right)$ 成立.

这个定义表明对于一个连续函数 $f$, 记号 $\lim$ 可以和记号 $f$ 互换.我们举几个例子说明如何用这个定义来验证函数 $f$ 在点 $a$ 处连续或间断.

**例8.16** 函数 $f(x)=\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}$ 在点 $x=1$ 处不连续, 因为 $f(1)$ 没有意义.

**例8.17** 函数 $f(x)=[x]$ 在整数点 $n$ 处不连续, 因为当 $x=n,(n \in Z )$ 时,函数 $f(x)=[x]$ 有确定值 $f(n)=[n]=n$. 虽然当 $x$ 取的数列 $\left\{x_i\right\}$ 的值, 从 $x=n$ 的右边趋于 $n$ 时, 有 $\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=\lim _{i \rightarrow \infty}\left[x_i\right]=n=f(n)$, 但是当 $x$ 取的数列 $\left\{x_n^{\pri

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