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阅读：函数的连续性

### 引言
在初中讨论平方根时, 我们曾用下面的想法初步地肯定 $\sqrt{2}$ 的 "存在性"：边长是 1 米的正方形面积是 1 平方米；边长是 2 米的正方形面积是 4平方米, 所以, 当一个正方形的边长逐渐增加时, 它的面积逐渐由 1 平方米增加到 4 平方米，中间应该会有那么一个 2 平方米的正方形。

上面这段话只是一个粗略的想法, 用数学语言来表达如下:
$y=f(x)=x^2$, 这个幂函数的函数值, 在 $x=1$ 时, $f(1)=1^2=1 ; x=2$时, $f(2)=2^2=4$; 当 $x$ 由 1 变到 2 时, $x$ 的值应该由 1 "连续地" 变到 4 , 所以 $x$ 应该能取一个值 $x_0$ 使 $f\left(x_0\right)=x_0^2=2$.

上面说的 "连续地" 这个术语究竟是什么意思呢？在这一节中，我们就是要把 "连续性"的涵意加以分析、确立. 并且, 把上面这个粗略的想法体现成一个明确有用的定理一一中间值定理。

## 一、连续函数的概念
从几何的直观来看, 连续与间断的意思是一目了然的, 一条曲线是连续的,指这条曲线没有间断点, 在上一节考察的函数, 展示了函数图象有间断点的情形, 函数 $f$ 在点 $x_0$ 是否连续只依赖于它在 $x_0$ 的一个（任意小的）邻域内的变化情况. 直观地看来，如果

1. $f$ 在其定义域的点 $x_0$ 的邻域 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内有定义;
2. 当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时, 函数值 $f(x)$ 同 $f\left(x_0\right)$ 相差任意小, 即自变量 $x$ 的微小变化只能引起函数值的微小变化, 从而排除了函数值的跳跃, 就函数的图象来看, 在这一点 $x_0$ 的邻近, 函数图象是由一条曲线组成的, 而没有在这一点断开成为两个分支, 那么称函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续.
"充分接近" 和 "相差任意小" 这两句话是不够明确的, 而必须用定量的术语给以严格的表述. 现在我们可以用[数列极限](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1505)的概念把 "当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时, $f(x)$ 与 $f\left(x_0\right)$ 相差任意小" 这句话定量地描述如下:

如果在函数定义域 $I$ 中, 自变量 $x$ 取任何一个收敛于 $x_0 \in I$ (即 $\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=$ $\left.x_0\right)$ 的数列 $\left\{x_i\right\}$ 的项 $x_i(i=1,2, \ldots)$, 那么对应的函数数列:

$$
f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \ldots, f\left(x_i\right), \ldots
$$

总有极限值 $f\left(x_0\right)$, 即

$$
\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=f\left(x_0\right)
$$

于是我们得到下述连续性的严格定义：
### 定义
定义在区间 $I$ 上的一个函数 $f$ 在点 $a \in I$ 称做连续, 如果
1. $f(a)$ 有一个确定值,
2. 对于 $I$ 中每一个收敛于 $a$ 的数列 $\left\{x_i\right\}$, 对应的函数数列 $\left\{f\left(x_i\right)\right\}$ 总以 $f(a)$ 为极限, 即有关系式: $\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=f(a)=f\left(\lim _{i \rightarrow \infty} x_i\right)$ 成立.

这个定义表明对于一个连续函数 $f$, 记号 $\lim$ 可以和记号 $f$ 互换.我们举几个例子说明如何用这个定义来验证函数 $f$ 在点 $a$ 处连续或间断.

**例8.16** 函数 $f(x)=\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}$ 在点 $x=1$ 处不连续, 因为 $f(1)$ 没有意义.

**例8.17** 函数 $f(x)=[x]$ 在整数点 $n$ 处不连续, 因为当 $x=n,(n \in Z )$ 时,函数 $f(x)=[x]$ 有确定值 $f(n)=[n]=n$. 虽然当 $x$ 取的数列 $\left\{x_i\right\}$ 的值, 从 $x=n$ 的右边趋于 $n$ 时, 有 $\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=\lim _{i \rightarrow \infty}\left[x_i\right]=n=f(n)$, 但是当 $x$ 取的数列 $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ 从 $x=n$ 的左边趋于 $n$ 时, 即当 $x_i^{\prime}$ 满足条件: $n-1 \leq x_i^{\prime}<m$, $\lim _{i \rightarrow \infty} x_i^{\prime}=n$ 时, 那么

$$
\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i^{\prime}\right)=\lim _{i \rightarrow \infty}\left[x_n^{\prime}\right]=n-1 \neq f(n)=n
$$

这就是说 $f(x)=[x]$ 的图象是在整数点具有跳跃性间断的曲线.
现在我们来考虑另一种间断性的曲线.

**例8.18** 函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $x=0$ 处不连续, 因为 $f(0)$ 不存在, 并且任何数列 $\left\{x_i\right\}$ 收敛于 0 时, 例如:

当 $x_i>0, x_i \rightarrow 0$ 时, 即 $x_i$ 从右边趋近于原点时, 有 $\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{1}{x_i}=+\infty$;
当 $x_i<0, x_i \rightarrow 0$ 时, 即 $x_i$ 从左边趋近于原点时, 有 $\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{1}{x_i}=-\infty$;

当 $\left\{x_i\right\}$ 是任意一个趋于 0 的数列时，则 $\lim _{i \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{x_i}\right|=\infty$.
无论哪种情形，数列 $\left\{\frac{1}{x_i}\right\}$ 趋向无穷大.
注意: 例 1 和例 3 的分母的零点都是函数的不连续点, 但是例 1 中的分式: $f(x)=\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}$, 当 $x=1$ 时, 代数恒等式

$$
\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{3}{4}(x+1)
$$

是成立的. 因此任何数列 $x_i(\neq 1)$ 趋于 1 时, 由于 $x_i \neq 1$,

$$
\begin{aligned}
\lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right) & =\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{3}{4} \cdot \frac{x_i^2-1}{x_i-1}=\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{3}{4}\left(x_i+1\right) \\
& =\frac{3}{4}(1+1)=\frac{3}{2}
\end{aligned}
$$

这就是说，对于任何收敛于 1 的数列 $\left\{x_i\right\}$ ，对应的函数数列 $\left\{f\left(x_i\right)\right\}$ 都以 $\frac{3}{2}$ 为极限。

如果我们定义一个新函数 $F$ :

$$
F(x)= \begin{cases}\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}, & x \neq 1 \\ \frac{3}{2}, & x=1\end{cases}
$$

那么 $F(x)$ 在点 $x=1$ 处就连续了.

### 可去间断点
如果对于任何收敛于 $a$ 的数列 $\left\{x_i\right\}, \lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)$ 存在, 并且彼此相等, 但不等于 $f(a)$, 或者 $f(a)$ 没有定义, 则称 $f$ 在 $a$ 处有可去间断点.

例 8.16 中的 $x=1$ 就是 $f$ 的可去间断点.
再如 $f$

再如 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$就是一个可去间断点，如下图所示。
 ![图片](/uploads/2024-11/6c709b.jpg)
 
### 连续函数
如果函数 $f$ 在定义域 $I$ 中每一点都连续, 就说 $f$ 是 $I$ 上的一个连续函数，或简称为连续函数.

## 二、连续函数的运算
由连续函数定义知道, 函数 $f$ 在 $a \in I$ 连续当且仅当: 若 $I$ 里的每个数列 $\left\{x_i\right\}$ 收敛于 $a$ 时, 数列 $\left\{f\left(x_i\right)\right\}$ 也收敛于 $f(a)$.

我们可以把上述条件：

$$
\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=a \quad \Longrightarrow \quad \lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x_i\right)=f(a)
$$

简写成：

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)=f\left(\lim _{x \rightarrow a} x\right)
$$

由数列极限运算定理直接得出下面定理.
### 定理 1
设 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处连续，即

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a), \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=g(a)
$$

则
**性质1.** $\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=f(a) \pm g(a)$, (即 $f \pm g$ 在 $a$ 处连续).
**性质2.** $\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot g(x)=f(a) \cdot g(a)$, (即 $f \cdot g$ 在 $a$ 处连续).
**性质3.** 若 $g(a) \neq 0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{g(x)}=\frac{1}{g(a)}$, (即 $1 / g$ 在 $a$ 处连续).

例 8.19 函数 $f(x)=x^k(k$ 是一个正整数, $x \in R )$ 到处连续, 即 $\lim _{x \rightarrow a} x^k=$ $a^k,(a \in R )$ 。

证明：对 $k$ 用数学归纳法来证明，设 $a$ 是 $f$ 的定义域 $R$ 中任何一点.
当 $k=1$ 时, 显然, $\lim _{x \rightarrow a} x=a$, 命题成立.
假设当 $k=i(i \in N )$ 时, 有

$$
\lim _{x \rightarrow a} x^i=a^i \quad(i \in N )
$$

那么, 当 $k=i+1$ 时, 有

$$
\lim _{x \rightarrow a} x^{i+1}=\lim _{x \rightarrow a} x^i \cdot x=\lim _{x \rightarrow a} x^i \cdot \lim _{x \rightarrow a} x=a^i \cdot a=a^{i+1}
$$

于是, 对于所有正整数 $k, f(x)=x$ 在任何一点 $a$ 连续, 也即 $f(x)=x$ 到处连续。

由定理1和 $f(x)=x^k(k \in N )$, 及常数函数 $g(x)=c(c$ 是常数) 的到处连续性，我们可以证明下面的命题成立。

#### 命题 1
任何多项式函数到处连续.
进一步推得下面命题：
#### 命题 2
若 $f$ 和 $g$ 是两个多项式, $g \neq 0$, 那么有理函数 $r=f / g$, 除去 $g$ 的零点集合，函数 $r$ 是有定义的而且是连续的.

#### 命题 3
$f(x)=\sqrt[n]{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续, 即

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{x_0} \quad(x \in[0,+\infty))
$$

证明: 设 $x_0$ 是一个任给正数, 数列 $\left\{x_i\right\}$ 是在 $[0,+\infty)$ 内任何一个收玫到 $x_0$ 的数列, 即 $\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=x_0$. 我们要证明, 当 $\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=x_0$ 时, $\lim _{i \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}\right)=0$.在代数恒等式:

$$
(A-B)\left(A^{n-1}+A^{n-2} B+\cdots+A B^{n-2}+B^{n-1}\right)=A^n-B^n
$$

中, 以 $A=x_i^{\frac{1}{n}}, B=x_0^{\frac{1}{n}}$ 代人, 即得:

$$
\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}=\frac{x_i-x_0}{x_i^{\frac{n-1}{n}}+x_i^{\frac{n-2}{n}} \cdot x_0^{\frac{1}{n}}+\cdots+x_i^{\frac{1}{n}} \cdot x_0^{\frac{n-2}{n}}+x_0^{\frac{n-1}{n}}}  ....(8.2)
$$

由于 $\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=x_0$, 根据数列极限定义, 取 $\varepsilon=\frac{x_0}{2}$, 则存在正整数 $N$, 使得当 $i>N$ 时，有

$$
x_i>x_0-\frac{x_0}{2}=\frac{x_0}{2}
$$

从而，当 $i>N$ 时，有

$$
\left(x_i\right)^{\frac{1}{n}}=\left(\frac{x_0}{2}\right)^{\frac{1}{n}} ...(8.3)
$$

此外, 显然有

$$
\left(x_0\right)^{\frac{1}{n}}=\left(\frac{x_0}{2}\right)^{\frac{1}{n}} ...(8.4)
$$

由 (8.2)-(8.4) 立即得

$$
\left|\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}\right|<\frac{\left|x_i-x_0\right|}{n\left(\sqrt[n]{\frac{x_0}{2}}\right)^{n-1}}
$$

当 $i \rightarrow \infty$ 时, $\left|x_i-x 0\right| \rightarrow 0$, 又因为 $n\left(\sqrt[n]{\frac{x_0}{2}}\right)^{n-1}$ 是一个和 $i$ 无关的常数, 所以

$$
\left|\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}\right| \rightarrow 0
$$

即

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{x_0}
$$

这也就证明了 $f(x)=\sqrt[n]{x}$ 在区间 $[0, \infty)$ 上到处连续.
我们在这里介绍了函数连续性的严格定义，对于初学者只要能够正确理解这一分析定义的涵义就可以了，以后在第六册微积分中，我们还要对它进行研究。

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