最后更新: 2024-01-11 02:49 查看: 329 次反馈刷题

毕奥-萨伐尔定律

一、毕奥-萨伐尔定律
电流元在空间任一点 $P$ 产生的磁感应强度 $\mathrm{d} \vec{B}$ 的大小与电流元 $I \mathrm{~d} \vec{l}$ 成正比, 与距离 $r$ 的平方成反比, 与 $\mathrm{d} \vec{l}$ 和电流元 $I \mathrm{~d} \vec{l}$ 到场点 $P$ 的位矢之间的夹角 $\theta$ 的正弦成正比。其方向与 $I \mathrm{~d} \vec{l} \times \vec{r}$ 一致。

$$
\mathrm{d} B=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^2}
$$

真空中的磁导率:

$$
\mu_0=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{A}^{-1}
$$

$$
\mathrm{d} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} \vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240111e41a406.png)

$$
\mathrm{d} \vec{E}=\frac{\mathrm{d} q}{4 \pi \varepsilon_o r^2} \vec{e}_r \quad d \vec{B}=\frac{\mu_o}{4 \pi} \frac{I d \vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}
$$

比较: 相同之处: (1) 都是元场源产生场的
(2) 场强都与 $r^2$ 成反比不同之处: 方向不同

二、毕奥-萨伐尔定律的应用
任意线电流在场点处的磁感应强度 $B$ 等于构成线电流的所有电流元单独存在时在该点产生的磁感应强度之矢量和。

$$
\vec{B}=\int \mathrm{d} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{I \mathrm{~d} \vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_202401110f4ed76.png)

步骤:

1. 根据载流导体的对称性建立坐标。
2. 将载流导体分割成无限多个小电流元, 根据毕奥-萨伐尔定律写出某一电流元 $I \mathrm{~d} l$ 在 $\mathrm{P}$ 点产生的磁感应强度 $\mathrm{d} B$

$$
\begin{array}{ll}
\mathrm{d} B=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^2} & \mathrm{~d} B_x=\mathrm{d} B \cos \theta \\
\mathrm{d} B_y=\mathrm{d} B \sin \theta
\end{array}
$$

3. 分析 $B$ 的对称性。
4. 将所有电流元在 $P$ 点产生的磁感应强度 $\mathrm{d} B$ 求和:

$$
B_x=\int \mathrm{d} B \cos \theta \quad B_y=\int \mathrm{d} B \sin \theta
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240111cbe6017.png)

$ B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}\left(\cos \theta_1-\cos \theta_2\right) $

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![图片](/uploads/2024-01/image_2024011160556f1.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_202401113915519.png)

园电流的磁矩: $\vec{m}=I S \vec{e}_{\mathrm{n}}$
面积 $\vec{S}$ 的正法线方向与环电流的流向成右手螺旋关系, 其单位矢量 $\vec{e}_{\mathrm{n}}$用表示。
$N$ 匝园电流的磁矩: $\quad \vec{m}=N I S \vec{e}_{\mathrm{n}}$
园电流的磁感应强度: $\vec{B}=\frac{\mu_0 \vec{m}}{2 \pi x^3}$
![图片](/uploads/2024-01/image_20240111bd85846.png)

![图片](/uploads/2024-01/image_202401112317ae5.png)
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