最后更新: 2025-06-30 15:41 查看: 595 次纠错评论(0) 课件开VIP

毕奥-萨伐尔定律

## 毕奥-萨伐尔定律介绍
在这一节中，我们将研究**在真空中电流与它在空间任一点所激发的磁场之间的定量关系**。正如在求解带电体的电场强度时常将带电体分割成许多小的电荷元 $d q$ ，把带电体的电场看作是各电荷元激发的电场强度的**矢量和**一样。为了求出任意形状的线电流所激发的磁场，我们可以把电流看作是无穷多小段电流的集合。各小段电流称为电流元，并用矢量 $I d l$ 来表示，其中 $d l$ 表示在载流导线上（沿电流方向）所取的线元，$I$ 为导线中的电流，电流元的方向规定为电流沿线元的流向。任意形状的线电流所激发的磁场等于各段电流元所激发磁场的矢量和．毕奥和萨伐尔做了一些载流导线对磁极作用的实验，拉普拉斯分析了他们的实验资料，找出了电流元 $I d l$ 在空间任一点 $P$ 处所激发的磁感应强度 $d B$ 的大小为

$$
d B=k \frac{I d l \sin \alpha}{r^2}   ...(8.19)
$$

式中的 $r$ 是从电流元所在处到场点 $P$ 的位矢 $r$ 的大小，$\alpha$ 为 $I d l$ 与 $r$ 之间小于 $180^{\circ}$的夹角． $d B$ 的方向垂直于 $I d l$ 与 $r$ 组成的平面，指向为由 $I d l$ 经 $\alpha$ 角转向 $r$ 时右螺旋前进的方向，如图8－12所示。在国际单位制中，式中 $k=\mu_0 / 4 \pi=10^{-7} T \cdot m / A$ ； $\mu_0=4 \pi \times 10^{-7} T \cdot m / A$ ，称为真空磁导率（permeability of vacuum）。把式（8－19）写成矢量式为

$$
\boxed{
d B =\dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{I d l \times e _r}{r^2}   
...(8.20)
}
$$

$e _r$ 是电流元指向场点的单位矢量．式（8－20）称为毕奥－萨伐尔定律（Biot－Savart law），是计算电流磁场的基本公式。任意线电流所激发的总磁感应强度为

$$
\boxed{
B =\int_L d B =\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_L \frac{I d l \times e _r}{r^2}
...(8.21)
}
$$

上式也是磁感应强度 $B$ 叠加原理的体现．

![图片](/uploads/2025-06/48d4c4.jpg)

在应用毕奥－萨伐尔定律计算载流导体的磁感应强度 $B$ 时，首先必须将载流导体分割成无限多个电流元 $I d l$ ，按式（8－20）写出电流元 $I d l$ 在所求点的磁感应强度 $d B$ ，然后按照式（8－21）的磁感应强度 $B$ 的叠加原理求出所有电流元在该点的磁感应强度的矢量和。由于式（8－21）是一矢量积分，各电流元在所求点的磁感应强度 $d B$ 的方向可能不同，所以我们还必须按所选取的坐标将 $d B$ 进行分解，例如在直角坐标系中可将 $d B$ 分解为

$$
d B =d B_x i +d B_y j +d B_z k
$$

然后对各分量进行积分

$$
B_x=\int d B_x, \quad B_y=\int d B_y, \quad B_z=\int d B_z
$$

最后得到所求点的磁感应强度

$$
B =B_x i+B_y j+B_z k
$$

下面应用毕奥－萨伐尔定律来计算一些常用的载流导体的磁感应强度．

## 毕奥-萨伐尔定律
电流元在空间任一点 $P$ 产生的磁感应强度 $\mathrm{d} \vec{B}$ 的大小与电流元 $I \mathrm{~d} \vec{l}$ 成正比, 与距离 $r$ 的平方成反比, 与 $\mathrm{d} \vec{l}$ 和电流元 $I \mathrm{~d} \vec{l}$ 到场点 $P$ 的位矢之间的夹角 $\theta$ 的正弦成正比。其方向与 $I \mathrm{~d} \vec{l} \times \vec{r}$ 一致。

$$
\mathrm{d} B=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^2}
$$

真空中的磁导率:

$$
\mu_0=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{A}^{-1}
$$

$$
\mathrm{d} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} \vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}
$$

![图片](/uploads/2025-06/926d71.jpg){width=400px}

$$
\mathrm{d} \vec{E}=\frac{\mathrm{d} q}{4 \pi \varepsilon_o r^2} \vec{e}_r \quad d \vec{B}=\frac{\mu_o}{4 \pi} \frac{I d \vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}
$$

比较: 相同之处: 
(1) 都是元场源产生场的
(2) 场强都与 $r^2$ 成反比

不同之处: 方向不同

## 毕奥-萨伐尔定律的应用
任意线电流在场点处的磁感应强度 $B$ 等于构成线电流的所有电流元单独存在时在该点产生的磁感应强度之矢量和。

$$
\vec{B}=\int \mathrm{d} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{I \mathrm{~d} \vec{l} \times \vec{e}_r}{r^2}
$$

![图片](/uploads/2025-06/9fccaf.jpg){width=300px}
  
解题步骤:

1. 根据载流导体的对称性建立坐标。
2. 将载流导体分割成无限多个小电流元, 根据毕奥-萨伐尔定律写出某一电流元 $I \mathrm{~d} l$ 在 $\mathrm{P}$ 点产生的磁感应强度 $\mathrm{d} B$

$$
\begin{array}{ll}
\mathrm{d} B=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^2} & \mathrm{~d} B_x=\mathrm{d} B \cos \theta \\
\mathrm{d} B_y=\mathrm{d} B \sin \theta
\end{array}
$$

3. 分析 $B$ 的对称性。
4. 将所有电流元在 $P$ 点产生的磁感应强度 $\mathrm{d} B$ 求和:

$$
B_x=\int \mathrm{d} B \cos \theta \quad B_y=\int \mathrm{d} B \sin \theta
$$

`例` 一载流长直导线，电流强度为 $I, P$ 点到导线距离为 $a$ ，到导线两端连线的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 。求 $P$ 点的磁感应强度。
解：建立坐标，任取电流元 $I d x$

![图片](/uploads/2025-06/9c0663.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
d B & =\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I d x \sin \theta}{r^2} \\
x & =-a \cot \theta
\end{aligned}
$$

$$
\begin{array}{r}
d x=\frac{a d \theta}{\sin ^2 \theta} \quad r=\frac{a}{\sin \theta} \quad d B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \sin \theta d \theta \\
B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d \theta=\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}\left(\cos \theta_1-\cos \theta_2\right)
\end{array}
$$

即
$$
\boxed{
B= \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}\left(\cos \theta_1-\cos \theta_2\right)
}
$$

结论：
（1）无限长载流导线：$\theta_1=0, \theta_2=\pi \quad B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$
（2）半无限长载流导线：$\theta_1=0, \theta_2=\pi / 2$

$$
B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}
$$

（3）在导线延长上某一点：$B=0$

> 可见磁场大小与距离 $r$ 成反比，总是垂直于导线，且方向符合右手定则。
 
 
 
 
 
 
 
 
 ## 2
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011160556f1.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_202401113915519.png)

园电流的磁矩: $\vec{m}=I S \vec{e}_{\mathrm{n}}$
面积 $\vec{S}$ 的正法线方向与环电流的流向成右手螺旋关系, 其单位矢量 $\vec{e}_{\mathrm{n}}$用表示。
$N$ 匝园电流的磁矩: $\quad \vec{m}=N I S \vec{e}_{\mathrm{n}}$
园电流的磁感应强度: $\vec{B}=\frac{\mu_0 \vec{m}}{2 \pi x^3}$
![图片](/uploads/2024-01/image_20240111bd85846.png)

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