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玻尔的氢原子理论

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二、数值计算法

1. 组合常数的引入

$$
\begin{aligned}
& \hbar c=197 \mathrm{fm} \cdot \mathrm{MeV}=197 \mathrm{~nm} \cdot \mathrm{eV} \\
& h c=12.4 \dot{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{keV}=1.24 \mathrm{~nm} \cdot \mathrm{keV} \\
& e^2 / 4 \pi \varepsilon_0=1.44 \mathrm{fm} \cdot \mathrm{MeV}=1.44 \mathrm{~nm} \cdot \mathrm{eV} \\
& m_e c^2=0.511 \mathrm{MeV}=511 \mathrm{keV} \\
& \alpha=\frac{e^2 / 4 \pi \varepsilon_0}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}
\end{aligned}
$$

2. 数据计算

1) 氢原子玻尔第一半径 $r_1$

$$
\begin{aligned}
r_1 & =\frac{\hbar^2}{m_e e^2 / 4 \pi \varepsilon_0}=\frac{1}{e^2 / 4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\hbar c)^2}{m_e c^2} \\
& =\frac{1}{1.44} \cdot \frac{197^2}{0.511 \times 10^6} \approx 0.0529 \mathrm{~nm}=0.529 \dot{\mathrm{A}}
\end{aligned}
$$

2) 氢原子玻尔第一速度 $v_1$

$$
\begin{aligned}
& \frac{m_e v_1^2}{r_1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_1^2} \\
& v_1=\sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{m_e r_1}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{\hbar}=\alpha c
\end{aligned}
$$

3) 氢原子基态能量 $E_1$

$$
\begin{aligned}
E_1 & =-\frac{1}{2} m_e(\alpha c)^2=-\frac{1}{2} \times 0.511 \times 10^6 \times \frac{1}{137^2} \\
& \approx-13.6 \mathrm{eV} \\
E_{\infty} & =0
\end{aligned}
$$

电离能: $E_{\text {ion }}=E_{\infty}-E_1 \approx 13.6 \mathrm{eV}$
第一激发能: $E_{\mathrm{ex1}}=E_2-E_1=\left(\frac{1}{2^2}-1\right) \times-13.6$

$$
=10.2 \mathrm{eV}

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