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附录1：线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系

## 线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系

整个《线性代数》研究的是什么？说起来相当简单，就是**解方程**。而且只解决两类方程：一次方程和二次方程。一次方程引入了行列式、矩阵的秩、线性相关与线性无关、向量空间等概念，二次方程里引入了特征值、特征向量、正交矩阵、二次型、矩阵合同、矩阵相似等概念。

> 本篇介绍的是《线性代数》里的一次方程，对于解决二次方程请参考 [附录2：矩阵的等价、相似与合同](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

### 一次方程

典型的一次方程形式如下:
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
\vdots \\
a_{i 1} x_1+\cdots+a_{i i} x_i+\cdots+a_{i n} x_n=b_i \\
\vdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n
\end{array}\right.
$$

方程的解不外乎三种情况：（1）方程组无解 （2）方程组有唯一解 和 （3）方程组有无数解。

为了方便读者把 行列式、矩阵、方程组的解、向量空间联系起来，我们通过一个例子来逐层说明为什么要引入这些概念以使读者了然不惑。

## 方程的解与线性空间
在初中，我们就知道，方程的解可以表示用坐标系里直线的交线来表示，比如下面是一个比较简单的二元一次方程方程，他是否有解还是无解呢？
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$

最简单的方式是在直角坐标系里分别画出$x+y=3$和$2x+y=5$两条曲线（如下图）。如果两条直线有唯一的交点，则表示方程有唯一的解，如果两条直线平行（没有交点），则表示方程组无解，如果两条直线重合，则表示方程组有无穷多个解。

![图片](/uploads/2024-06/b65e88.jpg){width=300px}

**通过这种思想，我们把对方程解的研究转移到了对其所含直线位置的研究。**

再看三元一次方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=2\\
2x-y+2z=4
\end{array}\right.
$$

如果把 $x+y+z=2$ 和 $2x-y+2z=4$ 分别画出来，可以发现他们分别表示立体空间的两个曲面，如下图（黄色平面和蓝色平面），方程组的解是这两个平面的交线。而空间中，两个平面有3种情况：两个平面重合（代表方程有无数的解）。两个平面相交一条直线（方程也有无数的解），两个平面平行（代表方程组无解）。
如果再增加一个方程（相当于再增加一个曲面），三个平面相交于一点，则表示有唯一解
**至于有多少交点这不重要，重要的是我们能知道，对3元方程的解的研究转换为对3维空间里交线的研究就可以了。**

![图片](/uploads/2024-10/21db6e.jpg){width=300px}
 
实际上，对于3元方程，转换为3维空间里3个曲面的交线共有8种情况详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=485)

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \\
a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3\left(\Pi_3\right)
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2024-10/1a76a0.jpg){width=300px}

二元方程可以转换为二维坐标系里直线的交线，三元方程可以转换为三维坐标系里曲面的交线，以此类推，可以得出一个结论：**$n$元方程可以转换为$n$维坐标系里直线的交线。**

> 以上，当维数大于3时，已经画不出图形，只能靠想象了。但是不管怎么样，对于$n$维方程，我们可以建立$n$维空间，通过空间研究其解集。

## 引入矩阵
在二元一次方程里，可以发现方程的解只与方程的系数有关，而与变量无关，至于变量叫做$x,y$还是$m,n$影响并不大，所以对于方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$

提取系数和变量，写成一个列表，并给他一个名字：**矩阵**，
$$
A= \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right] ,

X= \left[\begin{array}{ll}
x \\
y
\end{array}\right],

B= \left[\begin{array}{ll}
3 \\
5
\end{array}\right]
$$

这样二元一次方程就可以写成
$$
  \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
x \\
y 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
3\\
5
\end{array}\right] 
$$

我们初中学不是学过代数式
$ax=b$
来表示乘法吗，所以把上面的乘法写成矩阵形式就是
$AX=B$
如果仅从长相看，仅仅把小写字母转换为大写字母，初中里的实数乘法就转换为了矩阵乘法，因此非常容易记忆。

>一个常见的问题：为什么在矩阵方程里，要使用矩阵的左乘而不是右乘？因为只有左乘才符合我们传统的方程写法。稍后介绍向量为什么要按列化分矩阵，而不是按行划分矩阵，就是因为只有按列才能左乘导致的。

原来的一次方程的解，转换为了矩阵乘法：即
$$
  \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
x \\
y 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
3\\
5
\end{array}\right] 
$$
转换为
$AX=B$
要求$X$,只要左乘$A^{-1}$ 即可，即
$X=A^{-1} B$

>这里引入了 **[矩阵的逆](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=463)** 的概念，而为了求逆矩阵，又引入了[伴随矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=474) 得概念

这里稍微提一下矩阵的“秩”，比如下面方程，看似2个，因为第二个可以用第一个代替，所以，矩阵的秩本质就是反应方程独立的个数。
$$
\left\{\be

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