最后更新: 2025-03-10 15:24 查看: 721 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

附录1：线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系

## 线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系

整个《线性代数》研究的是什么？说起来相当简单，就是**解方程**。而且只解决两类方程：一次方程和二次方程。一次方程引入了行列式、矩阵的秩、线性相关与线性无关、向量空间等概念，二次方程里引入了特征值、特征向量、正交矩阵、二次型、矩阵合同、矩阵相似等概念。

> 本篇介绍的是《线性代数》里的一次方程，对于解决二次方程请参考 [附录2：矩阵的等价、相似与合同](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

### 一次方程

典型的一次方程形式如下:
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
\vdots \\
a_{i 1} x_1+\cdots+a_{i i} x_i+\cdots+a_{i n} x_n=b_i \\
\vdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n
\end{array}\right.
$$

方程的解不外乎三种情况：（1）方程组无解 （2）方程组有唯一解 和 （3）方程组有无数解。

为了方便读者把 行列式、矩阵、方程组的解、向量空间联系起来，我们通过一个例子来逐层说明为什么要引入这些概念以使读者了然不惑。

## 方程的解与线性空间
在初中，我们就知道，方程的解可以表示用坐标系里直线的交线来表示，比如下面是一个比较简单的二元一次方程方程，他是否有解还是无解呢？
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$

最简单的方式是在直角坐标系里分别画出$x+y=3$和$2x+y=5$两条曲线（如下图）。如果两条直线有唯一的交点，则表示方程有唯一的解，如果两条直线平行（没有交点），则表示方程组无解，如果两条直线重合，则表示方程组有无穷多个解。

![图片](/uploads/2024-06/b65e88.jpg){width=300px}

**通过这种思想，我们把对方程解的研究转移到了对其所含直线位置的研究。**

再看三元一次方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=2\\
2x-y+2z=4
\end{array}\right.
$$

如果把 $x+y+z=2$ 和 $2x-y+2z=4$ 分别画出来，可以发现他们分别表示立体空间的两个曲面，如下图（黄色平面和蓝色平面），方程组的解是这两个平面的交线。而空间中，两个平面有3种情况：两个平面重合（代表方程有无数的解）。两个平面相交一条直线（方程也有无数的解），两个平面平行（代表方程组无解）。
如果再增加一个方程（相当于再增加一个曲面），三个平面相交于一点，则表示有唯一解
**至于有多少交点这不重要，重要的是我们能知道，对3元方程的解的研究转换为对3维空间里交线的研究就可以了。**

![图片](/uploads/2024-10/21db6e.jpg){width=300px}
 
实际上，对于3元方程，转换为3维空间里3个曲面的交线共有8种情况详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=485)

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \\
a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3\left(\Pi_3\right)
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2024-10/1a76a0.jpg){width=300px}

二元方程可以转换为二维坐标系里直线的交线，三元方程可以转换为三维坐标系里曲面的交线，以此类推，可以得出一个结论：**$n$元方程可以转换为$n$维坐标系里直线的交线。**

> 以上，当维数大于3时，已经画不出图形，只能靠想象了。但是不管怎么样，对于$n$维方程，我们可以建立$n$维空间，通过空间研究其解集。

## 引入矩阵
在二元一次方程里，可以发现方程的解只与方程的系数有关，而与变量无关，至于变量叫做$x,y$还是$m,n$影响并不大，所以对于方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+y=5
\end{array}\right.
$$

提取系数和变量，写成一个列表，并给他一个名字：**矩阵**，
$$
A= \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right] ,

X= \left[\begin{array}{ll}
x \\
y
\end{array}\right],

B= \left[\begin{array}{ll}
3 \\
5
\end{array}\right]
$$

这样二元一次方程就可以写成
$$
  \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
x \\
y 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
3\\
5
\end{array}\right] 
$$

我们初中学不是学过代数式
$ax=b$
来表示乘法吗，所以把上面的乘法写成矩阵形式就是
$AX=B$
如果仅从长相看，仅仅把小写字母转换为大写字母，初中里的实数乘法就转换为了矩阵乘法，因此非常容易记忆。

>一个常见的问题：为什么在矩阵方程里，要使用矩阵的左乘而不是右乘？因为只有左乘才符合我们传统的方程写法。稍后介绍向量为什么要按列化分矩阵，而不是按行划分矩阵，就是因为只有按列才能左乘导致的。

原来的一次方程的解，转换为了矩阵乘法：即
$$
  \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
x \\
y 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
3\\
5
\end{array}\right] 
$$
转换为
$AX=B$
要求$X$,只要左乘$A^{-1}$ 即可，即
$X=A^{-1} B$

>这里引入了 **[矩阵的逆](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=463)** 的概念，而为了求逆矩阵，又引入了[伴随矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=474) 得概念

这里稍微提一下矩阵的“秩”，比如下面方程，看似2个，因为第二个可以用第一个代替，所以，矩阵的秩本质就是反应方程独立的个数。
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3\\
2x+2y=6
\end{array}\right.
$$

## 引入向量
上面说过，一次方程写成矩阵
$$
  \left[\begin{array}{ll}
1 &  1 \\
2 &  1 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
x \\
y 
\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ll}
3\\
5
\end{array}\right] 
$$

我们需要进一步抽象，把矩阵按列划分：
$\vec{a_1}=(1,2)$
$\vec{a_2}=(1,1)$
形成一个个向量，那么怎么通过向量来研究方程的解呢？

还记得最开始$ax=b$代数式吗？$ax=b$的解是其实就是$x$的坐标值，以此类推，方程$AX=B$的解，应该也是$X$的坐标值。
但是，当我们说“坐标值”的时候，得有一个参照物：坐标系。最常见的平面坐标系是笛卡尔坐标系$x_1=(1,0),x_2=(0,1)$， 我们需要对平面坐标系进行扩展：**两个不重合的向量，就可以构成一个坐标系**。因此上面
$\vec{a_1}=(1,2) ,\vec{a_2}=(1,1)$ 这两个向量所构成的坐标系我们给他一个更专业的名字叫做：**基**（下图红色和绿色两个向量构成了一个基坐标）[详见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=488)。
 ![图片](/uploads/2024-10/0c001f.jpg)

有了基坐标后，方程的解$X$就成了$X$在基坐标系里的坐标值。

![图片](/uploads/2024-10/cf951c.jpg)

更一般的，方程的解可以可以看成$X$在各个坐标轴投影的分量。把矩阵方程改写一下：$X$的解就是$X$在各个坐标轴上的投影$x_1,x_2,x_3...x_n$

$$
\begin{aligned}
&A x=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} &a_{12} &\cdots &\varepsilon_{1 n} \\
a_{21} &a_{22} &\cdots &\varepsilon_{2 n} \\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
a_{n 1} &a_{n 2} &\cdots &a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
s_{n 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{2 c} \\
\vdots \\
s_{n 2}
\end{array}\right]+\cdots 
&+x_n\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

### 阶梯形矩阵与行最简形
在解决方程时，比如方程
$$
\left\{ \begin{aligned}
x_1+x_2 & =1 \\
x_1-x_2 & =3 \\
-x_1+2 x_2 & =-2
\end{aligned} \right.
$$
通过矩阵的初等变换可以化为阶梯行和行最简形
$$
\left[\begin{array}{rr|r}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 3 \\
-1 & 2 & -2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rr|r}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]  
$$

**通过引入阶梯形矩阵可以迅速判断方程是否有解**，根据化简后矩阵的最后一行可知该方程组无解（如下图）
 ![图片](/uploads/2024-10/173b86.jpg)
而且通过阶梯形矩阵，可以直接得出矩阵的秩。
行阶梯形继续化简，就可以得到“**行最简形矩阵**”

$$
\left[\begin{array}{rr|r}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]  
\rightarrow
\left[\begin{array}{rr|r}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]  
$$
> 鲁迅说过，地上本没有路，走的人多了便有了路。本来没有行阶梯形矩阵的，都是人为定义的，因为通过行阶梯形矩阵可以快速查看方程组的秩（判断方程是否有解），如果你不怕麻烦，还可以继续化成行最简形，把$x_1,x_2,x_n$ 带入最简形，他就是方程组的解。

学习一次线性方程，必须熟悉一个方程的“**三种叫法**”
$$
\left(b_1, b_2, \cdots, b_l\right)=\left( a _1, a _2, \cdots, a _m\right) K _{m \times l} = B = A K
$$

**矩阵语言：** $B$ 是 $A$ 与 $K$ 的乘积矩阵；
**方程语言：** 矩阵方程 $A X = B$ 有解 $K$;
**几何语言:** 向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示， $K$ 是这一表示的系数矩阵.

这三个概念本质是一样的，所以，一个概念得到的结论可以用在另外一个概念上，《线性代数》难就难在真的解题时，这些概念变来变去，非常灵活，

比如下面最简单的二元一次方程。
①方程的叫法是 $AX=B$ （方程有解，意味着矩阵的秩和增广矩阵的秩相等）

$$
\left\{\begin{array} 
2x_1+3x_2=5 \\
2x_1-3x_2=1
\end{array}
\right.
$$

②矩阵的的叫法是矩阵$A$乘以矩阵$X$ 等于矩阵 $B$ (矩阵可以乘法，意味着矩阵A可逆，进一步，就是说A的行列式不等于零)
$$
\left[\begin{array}{cc} 
1 & 3 \\
2 & -3
\end{array}
\right]

\left[\begin{array}{cc} 
x_1 \\
x_2
\end{array}
\right]=

\left[\begin{array}{cc} 
5 \\
1
\end{array}
\right]
$$

③写成向量是$\alpha,x$可以线性表示向量$\beta$ (a,x,$\beta$ 是线性相关)。

$$
x_1  \left[\begin{array}{c} 
1 \\
2
\end{array}
\right] +

x_2  \left[\begin{array}{c} 
3 \\
-3
\end{array}
\right] 
=  \left[\begin{array}{c} 
5 \\
-1
\end{array}
\right] 
$$

### 线性相关与线性无关
当通过向量坐标系研究方程解的时候，有一个核心问题：就是2个向量能否扩张成一个向量空间。比如上面
$\vec{a_1}=(1,2) ,\vec{a_2}=(1,1)$
是可以扩张成整个平面的，但是
$\vec{a_1}=(1,2) ,\vec{a_2}=(2,4)$ 则无法扩张成整个向量空间，这是因为后者和前者在一条直线上。为此，引入了**线性相关与线性无关**。
通过线性相关与线性无关可以判断向量能否张成向量空。
当向量比较简单时，可以通过观察两个向量是否共线来判断他们能否张成向量空间，但是如果向量很多怎么办？再引入一个定义：行列式

## 行列式

以二阶行列式为例[详见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=812)， $\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|$ 的几何意义是 $x o y$ 平面上以行向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right)$ 为邻边的平行四边形的有向面积。

![图片](/uploads/2024-10/e27124.jpg){width=300px}

所以，通过行列式$|A|$是否为零，就可以判定两个向量能否扩张为整个平面。**当两个向量共线时，其面积为零，自然行列式的值也为零，矩阵不可逆，进而线性相关，向量空间无法扩张。**

通过上面可以看到，方程组的解-坐标空间-向量-行列式是息息相关的。比如方程组有一个解，意味着直线有一个交点，进而是线性相关。同样，如果向量线性无关，则表示曲线无交点，方程组无解。如果再把$AX=B$理解为矩阵乘法，那这四者的关系犹如红楼梦里的四大家族，一损俱损一荣俱荣。

## 举列
下面举一例，问向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,3,-1), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,2,0), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,1)$ 是否线性相关。
求解分析: 要解决一个具体的向量组是否线性相关, 常用的方法是定义法。即是要考察,是否存在一组不全为 0 的数 $k_1 、 k_2 、 k_3$, 使得

$$
k_1\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
-1
\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
0
\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
$$

这是一个向量的线性组合式, 会感到有点不适应, 但如果改写成线性方程组的形式就习惯了:

$$
\left\{\begin{array}{l}
k_1+2 k_2+k_3=0 \\
3 k_1+2 k_2-k_3=0 \\
-k_1+k_3=0
\end{array}\right.
$$

即是要考察该齐次线性方程组是否有非零解。如果改写成矩阵方程的形式

$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
3 & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
$$

问题就变成考察系数矩阵的秩是否小于未知量的个数。这样, 从线性方程组的解和矩阵的秩都很容易得到向量组 $\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3$ 是线性相关的。从这个分析过程可以看出, 我们可以把线性方程组、线性组合、矩阵及其矩阵方程, 从形式到内容都统一起来作思考。

## 矩阵的秩的作用

在线性代数课程中, 秩的概念很重要, 下面以线性方程组为基础, 总结下矩阵的秩和向量组的秩。对于一般的线性方程组:

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\vdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m
\end{array}\right.
$$

**方程组的秩反映的是方程独立的个数。**

我们再看矩阵的秩:
**矩阵的秩一般是用矩阵中不等于 0 的子式的最大阶数来定义的,** 如果令矩阵的每行对应一个方程, 那么一个矩阵就可对应一个方程组, 由前面的讨论可知, 矩阵的秩实际上就是它所对应的线性方程组的秩; 同时, 可由矩阵的初等行变换求矩阵的秩。

**向量组的秩定义是: 一个 $n$ 维向量组, 它的极大线性无关组所含有的向量个数相同, 这个数即为此向量组的秩。** 一个向量组即对应一个方程组, 这个方程组中通过消元所剩下的方程的最少个数(这个数是固定的), 即为方程组的秩(记为 $r$ ), 即在方程组中存在 $r$ 个方程, 这 $r$ 个方程所对应的部分向量组就是该向量组的极大线性无关组。

综上所述, 秩、维数等, 在某种意义上说都是实质相同的概念, 极大线性无关组本质是一样的

> 我们先把大结论说出来：**矩阵的秩**反应的是方程组有效的方程的个数，而**向量组的秩**，反应的是向量组成的空间，一组含有$n$个向量的向量组，如果秩为1，表示这些向量共线， 如果秩为2表示这些向量共面，如果秩为3表示这些向量共体，以此类推

举例，如下一个方程组
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 +x_2= 0 \\
2x_2+2 x_2=0
\end{array}
\right.
$$
①写出他的系数矩阵，可以得到他的秩为1.
而如果我们从方程看，虽然这里有2个方程，但是第二个方程是第一个方程的2倍，所以，第二个方程是滥竽充数的。因此方程有效的个数是1.
因此，我们得到一个结论：矩阵的秩，本质上反映的是有效方程的个数。详见[矩阵的秩](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1863)

②仍然以上面方程为例，写出向量为 $(1,1)$ 和$(2,2)$ ，虽然这里有2个向量，但是他们是共线的，因此是线性相关，这2个向量组成向量组的秩为1. 因此，对于向量组含有n个向量，如果秩等于1表示这n个向量共线；如果秩等于2，表示这n个向量组共面；如果秩等于3，表示这n个向量组共体，一次类推，详见 [向量组的等价](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=478)

## 考研实战
`例`若向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 中的向量两两线性无关, 则 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 线性无关，是否正确？
解：这个说法是错误的。比如向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 的向量定义如下: $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(3,3), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,2)$, $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 要能张成向量空间，除了3个向量不同线，还要2个向量不共面。 同样的对于4维，要张成4维空间，还要3个向量不共体。

`例`在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，三张平面$\pi_i: a_i x+b_i y+c_i z=d_i(i=1,2,3)$ 的位置关系如下图所示.
 ![图片](/uploads/2024-10/902d4d.jpg)
记 $\alpha_i=\left(a_i, b_i, c_i\right), \beta_i=\left(a_i, b_i, c_i, d_i\right)$ ，若 $r\left(\begin{array}{l}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{array}\right)=m, r\left(\begin{array}{l}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3\end{array}\right)=n$ ，求$m,n$
解：这是2024年硕士研究生考试里一道选择题，
记 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{l}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}\mathrm{d}_1 \\ \mathrm{~d}_2 \\ \mathrm{~d}_3\end{array}\right)$ ，由于三个平面交于一条直线，也即方程组 $A x=\mathrm{d}$ 有无穷多解，故根据线性方程组解存在的条件可知 $r(A)=r(A, b)<3$. 又三个平面不平行，故必有

$$
r(A)=r(A, b)>1
$$

所以 $r(A)=r(A, b)=2$ ，所以，$m=n=2$

## 矩阵的作用
矩阵在很多方面有重要作用，特别是计算机方面，比如下面是一个黑白照片
 ![图片](/uploads/2024-11/a0a111.jpg){width=200px}
 
 如果用1表示黑色，0表示白色，则下图大部分是黑色，使用 $6*6$的正方形分割图片，然后存放每个方块的颜色，则其中一个方块可能为

$$
A=\left[\begin{array}{llllll}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$

当我们学了矩阵的乘法后，上式可以写成矩阵乘法
$$
A=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llllll}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$

可见图片存储的点数从36个数字变成 12个数字，这可以简单理解图片压缩。比如windows的BPM格式图片采用“点式”存储，而JPG格式采用压缩式存储，点式存储是图片每个点存储一个位置，导致图片非常大，而压缩存储在导致精度有点失真的情况下，能大幅度减少存储空间。

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