最后更新: 2025-07-20 08:54 查看: 2090 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录2：矩阵的等价、相似与合同意义

整个《线性代数》研究的是什么？说起来相当简单，就是**解方程**。而且只解决两类方程：一次方程和二次方程。一次方程引入了行列式、矩阵的秩、线性相关与线性无关、向量空间等概念，二次方程里引入了特征值、特征向量、正交矩阵、合同、相似等概念。

>本篇介绍的是《线性代数》里的二次方程，对于解决一次方程请参考 [附录1：方程组的解、矩阵、行列式、与向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234)

## 为什么要引入特征向量与特征值

> 以下内容节选自 [特征值与特征向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1393)

我们在研究线性变换时. 特别关心这样一个问题：对给定线性空间 $R^n$ 上的线性变换，能否找到 $R^n$ 的一组基，使得该线性变换在这组基下的表示矩阵**具有特别简单的形状**. 比如, 若我们能找到 $R^n$ 的一组基 $\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\}$, 使线性变换 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为对角阵:

$$
\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & a_n
\end{array}\right) .
$$

这时, 若 $\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{e}_1+k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{e}_n$, 则

$$
\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha})=a_1 k_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+a_n k_n \boldsymbol{e}_n
$$

线性变换 $\varphi$ 的表达式非常简单. 线性变换 $\varphi$ 的许多性质也变得一目了然.

我们已经知道, 一个线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的. 因此用矩阵的语言重述上面提到的问题就是: 能否找到一类特别简单的矩阵, 使任一矩阵与这类矩阵中的某一个相似？比如，我们可以问：是否所有的矩阵都相似于对角阵? 若不然, 哪一类矩阵可以相似于对角阵?

在分块矩阵里，我们曾经学过，每一个矩阵都可以按列进行分块，我们自然想到：我们提取矩阵的某一列作为行向量$\alpha$,上述的问题可以表述为：我们希望找到一个矩阵$A$和一个向量$\lambda$,使得$A \alpha= \lambda \alpha$ ，这样就相当于通过一个矩阵转换，把一个行向量转换为了一个数，这是最原始的想法。

## 从线性空间角度理解坐标

以经典的 $A x=b$ 为例，假设 $A$ 是一个 $\mathrm{n} \times n$ 的矩阵， $x$ 和 $b$ 都是 $\mathrm{n} \times 1$ 的向量

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

不难看出，矩阵就是由一列列向量组成的，所以在说矩阵之前我们再来简单说一下向量。
向量有长度有方向，但这个长度方向要有意义，或者说可度量，这就必须要有参考系，也就是坐标系。坐标系不是唯一的，但我们有一个标准坐标，叫笛卡尔坐标，简称 $I$ 坐标。那由一系列向量组成的矩阵到底代表什么意思呢? 可以从 2 个角度理解矩阵:

(1)**矩阵是一个变换**，仔细盯着$A x=b$多看几次，这个等式表明，经过变换$A$，向量 $x$ 变成了向量 $b$ （在这里，$b$坐标终是隐含着使用$I$坐标）。你可以把$A$想象成一个传送门，任何向量经过这个传送门，嗖的一下就被瞬间传送到了另一个点成为另一个向量，而你到底能被传送到哪跟你本身的位置有关，也跟这个传送门的性能有关，换句话说同一个传送门，不同的向量被传送到不同的位置，同一个向量，换一个传送门，也会被传送到不同的位置。

(2)**矩阵本身就是一个坐标系**。这个不难理解，我们常见的 $I$ 坐标系，比如二维坐标，他的两个坐标轴就是 $(1,0) ，(0,1)$ 两个向量，把这两个向量按列排列就是一个矩阵，所以矩阵就代表了坐标系，每一个列向量就是他的一个坐标轴。

那一个矩阵乘以一个向量，比如 $A x$ 代表什么意思呢？我们说一个向量单看是没有意义的，你要放在一个坐标系下才能度量，而左乘一个矩阵$A$就代表它的坐标系是$A$，这个向量在$A$坐标系下的坐标为 $x$ ，也就是这个向量投影到 $A$ 的各个坐标轴的长度为 $x$ 。

$$
\begin{aligned}
& A x=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \varepsilon_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & \varepsilon_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
s_{n 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{2 c} \\
\vdots \\
s_{n 2}
\end{array}\right]+\cdots 
& +x_n\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

我们再来看 $A x=b$ ，发现什么了吗？上面说一个向量单看是没有意义的，你要放在一个坐标系下才能度量， $b$ 前面没有任何矩阵，但它也需要坐标系，没有指定坐标系的时候坐标系是 $I$ ，所以 $b$ 前面其实被略去了一个 $I$ ，也就是 $A x=I b$ 。 $A x$ 描述的是一个向量，它在$A$坐标系下的坐标是 $x ， I b$ 描述的也是一个向量，它在 $I$ 坐标系下的坐标是 $b$ ，二者相等，说明 $x$ 和 $b$ 其实是一个向量，他们只不过是在不同坐标系下的不同表示而已。
你可以理解为这个点从来没动过，它只是换了一个坐标系来看这个点而已。就好像拍照，你从正面拍侧面拍，仰拍俯拍，你拍的都是一个对象，但拍照角度不一样，你会得到不同的照片。

来看个数学上的例子

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right], I=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}
1 \\
3
\end{array}\right]
$$

如果你计算，你会发现上面这个矩阵乘法 $Ax=Ib=b$, 换句话说，$(2,1)$ 和 $(1,3)$ 就是同一个向量，只不过前者是在$A$下的表示，后者是在 $I$ 下的表示。
 ![图片](/uploads/2024-09/ce9ae4.jpg)

### 通过物理对上面进行解释
 在高中学过运动，比如：甲在路边，乙在飞船上，一辆汽车以$v_汽$行驶，汽车里$A$质点在运动，问甲乙看到的$v_A$的速度是多少？当看到这个问题时，我们第一反应就是：你要以什么为参照物，同样一个汽车运动，选择的参照系不同，会有不同的运动速度。比如甲在地面上，以地面为参照物，$v_A=v_\text{汽} +v_{A-\text{汽}}$ ，也就是汽车的速度加上A点相对汽车的速度就是甲看到的速度。但是乙因为在飞船里，飞船也在运行，因此他看到的速度$v_A=v_{\text{飞船}} + v_\text{汽-船} +v_{A-\text{汽}}$
这样他们看到的速度是不同的。

![图片](/uploads/2024-09/725561.jpg){width=380px}
 
 再仔细的盯着上面这张图（如下）
 ![图片](/uploads/2024-09/ce9ae4.jpg)
 现在把上图想象为物体的运动：蓝色单位坐标系$\left(\begin{array}{cc}1,0 \\0,1\end{array} \right)$ 相当于禁止的地面，甲在蓝色坐标系里，橙色坐标系相当于宇宙飞船，他的单位坐标系是$\left(\begin{array}{cc}1,-1 \\1,1\end{array} \right)$ ，乙在宇宙飞船里，这样甲看到的汽车运动速度$(1,3)$ 和乙在宇宙飞船里的看到的$(2,1)$是一样的。

现在的问题是：我们能否把乙坐标系里的运动，都用类甲坐标系表示，为何？因为简单，比如上图里，假设甲看到的汽车速度为(5,7),我们就可以立刻知道，汽车速度相当于沿着$x$轴为5，而沿着$y$轴为7. 这对后续的计算非常简单。

### 再看特征向量
在上面坐标变换里（参考上图蓝色坐标系和橙色坐标系），这里的坐标系除了进行了**缩放**，还进行了**旋转**，我们自然想简化设计，能否只进行缩放而不进行旋转？请看下面的定义：

数学上定义当 $A x=\lambda x$ 时 $x$ 是 $A$ 的特征向量， $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。事实上，这里的$x$可以成为“测量的基准单位”。就像数组我们用1表示基准单位一样。

我们用坐标系的角度来理解，那么 $A x=\lambda x$ 代表的意思是有一个向量，在$A$坐标下是 $x$ ，我换 $I$ 坐标去看它，发现它看着还是 $x$ 这个方向，只不过伸缩了 $\lambda$ 倍。

为了使得例子更有意义，先来看一个矩阵:

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 10
\end{array}\right]
$$

它互相独立的标准化特征向量有 2 个，

$$
x_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right], x_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

他们的特征值分别是 $2$ 和 $10$ 。
如下图，在上面说过，一个矩阵就相当于一个坐标系单位（注意不是坐标系里向量的值），既然 笛卡尔坐标系  $\left(\begin{array}{cc}1,0 \\0,1\end{array} \right)$ 是最方便的，我们能否把这个矩阵“压缩”为笛卡尔坐标系？这张图和上面相比，最主要是去除了“旋转”，直接把橙色坐标系转换为笛卡尔坐标系。要转换为笛卡尔坐标系
要么把橙色矩阵压缩为单位矩阵，要么是把单位矩阵扩大为橙色矩阵。但是，我们知道单位矩阵相当于数学里的“1”，因此以单位矩阵为基础“伸缩”为橙色矩阵更方便。

![图片](/uploads/2024-09/92c1bd.jpg)

那一个向量它在 $A$ 坐标系下的坐标是 $(1,1)$ ，在 $I$ 坐标系下的坐标是 $(2,10)$ ，怎么从 $(1, 1）$变成 $(2,10)$ 的呢?

我们把$(1,1)$想象为速度，把他分解为水平方向的$(1,0)$和垂直方向上的$(0,1)$  同时，把$(2,10)$ 坐标也分解为水平方向的$(2,0)$和垂直方向上的$(0,10)$

这样，只要把水平方向扩大2倍，垂直方向扩大10倍，就可以把 $(1,1)$ 向量转换为$(2,10)$向量。

因此，这里2和10分别叫做矩阵A的特征值，而对应的$(1,0)$ 和$(0,1)$ 就叫做对应特征值的特征向量。

上面介绍的是二维矩阵，现在我们明白，2维矩阵通常有2个特征值，他们分别对向量的$(1,0)$,$(0,1)$ 进行变换，同样的，如果有一个3维矩阵，理论上，他应该有3个特征值，他会把一个向量A的三个分量，分别映射为$(1,0,0)$,$(0,1,0)$和$(0,0,1)$

到这里我们似乎还可以得出一个不是很准确的结论：一个n维矩阵，他应该有n个特征值，这n个特征值分别把一个n维向量的各个坐标分解为单位矩阵。

而且还可以得到一个结论：所有特征值的和正好是主对角线元素的和，我们把这个和称作矩阵的“**迹**”，比如上面X轴放大2被，Y轴放大10被，而矩阵主对角线正好也是[2,10] 所以，矩阵所有特征值的和为2+10=12

但是，也不是每个矩阵都可以伸缩为单位矩阵I，这是矩阵特征值和特征向量要进一步解决的问题。

> 我们都背过一个结论：一个n维矩阵有n个特征值，如果这些特征值不同一定线性无关，但是如果特征值有重根就需要注意：有可能线性相关也可能线性无关，为什么呢？因为特征值不同可以认为有n个不同的特征向量，因此可以张成向量空间。但是如果有重根则不一定能长成向量空间，举一个简单反例， 考虑矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$  计算  $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 = 0$
解得特征值为 $\lambda = 2$（重根）。 现在，我们有两个“看似不同”的特征向量，例如$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$和$v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ 但实际上，它们是线性相关的，因为 $v_2 = 2v_1$，他们无法张成向量空间，详见[特征值子空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1870)

![图片](/uploads/2025-01/5eba69.jpg)

### 再看矩阵相似
上面得到的一个向量，在A里他的向量$(2,10)$和在I里的$(1,1)$ 本质上是一个向量，这是我们从向量的角度看，现在我们就转换一个视角：从矩阵的角度看向量，同一个向量， 从飞船看时的矩阵是$A=\left[\b

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