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线性代数
第五篇 线性空间与线性变换
向量组的秩和极大无关组的几何意义
日期:
2024-01-12 16:56
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向量组的秩和极大无关组的几何意义
4.1.4 向量组的秩和极大无关组的几何意义 向量空间中的向量无穷多, 因此, 可以有无数个向量组等价, 而且等价的向量组中的向量个数也不尽相同。 从前面的罗列中, 还可以看出最短的等价向量组是只有一个向量元素的向量组; 长的等价向量组的元素可以无穷多。这里, 最短的向量组实际上就是极大无关组, 极大无关组的元素的个数就是等价向量组的秩。如果等价向量组最小只有一个向量, 则等价向量组的秩等于 1 。 我们可以这样理解极大无关组: 从原来的较长的向量组中挑出一部分向量组成了一个新的向量组, 这个新的向量组在某种意义下可以代表原来的向量组 (因为两者等价, 可以互相表出);同时这个新的向量组很纯净, 没有躲在别人后面滥笔充数的向量, 多余的向量被剔出了, 向量之间互相独立, 个顶个, 既不代表谁也不被代表 (任一个向量都不能被其他向量线性表示)。这些个顶个的向量个数就是这些互相等价的向量组的秩。 从几何意义上讲, 在一个向量组里, 如果有多个向量在一条直线上, 那么直线上这些向量只要一个向量就可以了, 其他的同直线的向量可以被代表了。这个向量代表可以是直线上任意一个非零向量; 进而, 如果向量组里还有多个向量构成或存在于一个平面上, 那么只要有两个非零非共线的向量就可以代表其他的共面向量了; 继续, 如果向量组里还有多个向量构成或存在于一个立体空间里, 那么只要有三个非零非共线非共面的向量就可以代表其他的同立体向量了...... 所以, 一个 $n$ 维向量组可以通过几何意义上笕选得到一个极大无关向量组, 篮选的过程可以这样: (1)把共线的向量全部找出来; 然后对每一个直线, 各留一个向量代表, 线上其余向量删除。 (2) 把上述精简后的向量组里所有共面的向量全部找出来, 然后对一个平面, 各留两个向量, 面上其余的向量删除; (3)把上述精简后的向量组里所有共立方体的向量全部找出来, 然后对每一个立方体, 各留三个向量, 立方体内其余的向量删除; (4) 把上述精简后的向量组里所有共超立方体 ( $n-1$ 维) 的向量全部找出来, 然后对每一个超立方体, 各留 $n-1$ 个向量, 超立方体内其余的向量删除; (5) 留下的向量数小于等于 $n$, 篮选结束, 剩下的向量则为极大无关向量组。 注意: 最后精简后的向量的个数就是原 $n$ 维向量组的秩。在整个精简过程中, 每一步留下的向量组虽然个数逐步减少, 但每一步向量组的秩却一直没有变。秩是一个不变量。 作为例子, 我们把图 4-12 中的向量组进行笕选操作, 首先一根直线留一个向量 (可任意),见图 4-13 (a), 得到了一个向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\gamma}_1\right\}$; 然后把共面的向量留两个向量 (可任意),得到了包含三个向量的向量组 $\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\gamma}_1\right\}$, 如图 4-13 (b), 篮选过程结束。 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240112b61561a.png) 总结一下, 采用向量空间的概念, 我们可有一个更全面的关于线性相关的几何意义的结论: - 一个向量空间中,一个向量组线性相关的话,那么这个向量组的全部向量会张成向量空间上的一个子向量空间,且子空间的维数小于向量组元素的个数 ; - 一个向量空间中,一个向量组线性无关的话,那么这个向量组的全部向量会张成向量空间上的一个子向量空间,且子空间的维数等于向量组元素的个数 ; (在理想情况下, 如果向量组里的元素没有冗余, 一个向量组可以张成一个和向量组元素个数相同的子空间, 一个向量张成一维的子空间, 两个向量张成二维的子空间……但残酷的现实是向量世界也有多余的有裙带关系的混子, 有关系的㫕余存在, 向量组的作用效率就低。所以, 如果一个向量组 $n$ 个元素张成一个小于 $n$ 的子空间, 那么这个向量组就线性相关; 如果总是张成一个 $n$ 维的子空间, 那么这个向量组就线性无关。) - 线性相关或无关的向量组的秩就是该向量组可以张成的最大子空间的维数 ; - 两个向量组等价,就是两个向量组张成的向量子空间相同或重合。 4.1.5 向量组例题的图解 下面介绍两个容易搞错的命题, 以加深印象。 例 4. 1 错误命题 1: 若向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 中的向量两两线性无关, 则 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 线性无关。用二维空间的向量即可证明。 如图 4-14 所示, 向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 的向量定义如下: $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(3,3), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,2)$,显然 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2, \alpha_1$ 和 $\alpha_3, \alpha_2$ 和 $\alpha_3$ 线性无关 (不在一条直线上), 但 $\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$, 所以向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 线性相关。 ![图片](/uploads/2024-01/image_202401124d1f87a.png) 这个例题说明, 向量 $\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3$ 属于二维的平面向量空间, 而向量组的元素个数是 3, 超过了向量空间的维数 2 , 因而线性相关。一般的结论是, $n$ 维向量空间里 $n+1$ 个以上的向量必线性相关。 例 4.2 错误命题 2: 若 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关, $\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\beta}_2$ 也线性相关, 那么, $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$ 也线性相关。 也用二维空间的向量证明。 如图 4-15 所示, 向量定义如下: $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,-1), \boldsymbol{\beta}_1=(-1,2), \boldsymbol{\beta}_2=(-2,4)$,则有 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1=(1,3), \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2=(-4,3) ; \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$ 不在一条直线上, 因而 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$线性无关。 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240112f4df7a1.png) 这个例题说明, $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 在空间 $V_1$ (直线) 上, $\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\beta}_2$ 在空间 $V_2$ (直线) 上, 两个不同空间上的向量 (零向量除外) 相加, 必然会进入第三个空间(直线)、第四个空间(直线)……以致布满整个二维空间 (平面), 显然 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$ 绝大部分线性无关。
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