最后更新: 2025-07-20 08:32 查看: 419 次反馈同步训练

线性变换的矩阵表示式

## 线性变换的矩阵表示式
线性变换是一个很抽象的概念，如何将它具体化呢? 我们发现，如果给定线性空间 $V_n$ 的 一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 则对 $V_n$ 中任意向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 有

$$
\alpha=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n,
$$

由线性变换的性质得:

$$
T(\boldsymbol{\alpha})=k_1 T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2 T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right) .
$$

于是 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $T$ 下的像就由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 所唯一确定. 而 $T(\boldsymbol{\alpha}) \in V(i=1,2, \cdots, n)$, 所以 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right) \in V(i=1,2, \cdots, n)$ 也可由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 来线性表示，即有

$$
\left\{\begin{array}{l}
T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{21} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_n, \\
T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{22} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_n, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)=a_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n n} \boldsymbol{\alpha}_n .
\end{array}\right.
$$

由上式得: $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}$ 其中

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵.
显然，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 唯一确定.
反之，如果给定一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作为某个线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的矩阵，也就是给出了
这个基在变换下的像，根据变换 $T$ 保持线性关系的特性， 我们来推导变换 $T$ 必须满足的关系式.
$V_n$ 中的任意向量记为 $\alpha=\sum_{i=1}^n x_i \alpha_l$ 有

$$
T \boldsymbol{\alpha}=T\left(\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_i\right)=\sum_{i=1}^n x_i T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \text {, }
$$

即 $T\left(\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$.

## 定理1
定理 1 设线性变换 $T$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的矩阵是 $A$ ，向量 $\alpha$ 与 $T( \alpha )$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的坐标分别为 $\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)$ ，

则有

$$
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)= A \left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) .
$$

按坐标表示，有

$$
T( \alpha )= A \alpha .
$$

`例`在 $P[x]_3$ 中取基 $p_1=1, p_2=x, p_3=x^2, p_4=x^3$ 求微分运算 $D$ 的矩阵．

解

$$
\left\{\begin{array}{l}
D p_1=0=0 p_1+0 p_2+0 p_3+0 p_4 \\
D p_2=1=1 p_1+0 p_2+0 p_3+0 p_4 \\
D p_3=2 x=0 p_1+2 p_2+0 p_3+0 p_4 \\
D p_4=3 x^2=0 p_1+0 p_2+3 p_3+0 p_4
\end{array}\right.
$$

所以 $D$ 在这组基下的矩阵为

$$
A =\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

`例`设 $R^3$ 上线性变换 $T$ 定义为 $T\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 x_1-x_2 \\ x_2+x_3 \\ 2 x_1\end{array}\right)$, 分别求 $T$ 在基

$$
\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{e}_3=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text { 与基 } \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \text { 下的矩阵. }
$$

$$
\begin{aligned}
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
2
\end{array}\right)=2 \bolds

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