最后更新: 2025-07-08 07:41 查看: 471 次反馈同步训练

线性变换的性质

## 线性变换的性质
**性质1**  $T 0=0, T(-\alpha)=-T \boldsymbol{\alpha}$ ；
**性质2** 若 $\beta=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m$ ，则 $T \boldsymbol{\beta}=k_1 T \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 T \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m T \boldsymbol{\alpha}_m$ ；

**性质3** 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关，则 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 亦线性相关.

注意: 性质3 的逆命题是不成立的，即若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关，则 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 不一定线性无关.
例如，当线性变换是零变换时， $T \boldsymbol{\alpha}_i=\mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，从而尽管 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，
但是 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 却线性相关.

**性质4** 线性变换 $T$ 的像集 $T\left(V_n\right)$ 是一个线性空间，称为线性变换 $T$ 的像空间．

证明 设 $\beta _1, \beta _2 \in T\left(V_n\right)$ ，则有 $\alpha _1, \alpha _2 \in V_n$ ，使 $T \alpha _1= \beta _1, T \alpha _2= \beta _2$ ，从而

$$
\begin{aligned}
& \beta _1+ \beta _2=T \alpha _1+T \alpha _2=T\left( \alpha _1+ \alpha _2\right) \in T\left(V_n\right) \quad\left(\text { 因 } \alpha _1+ \alpha _2 \in V_n\right), \\
& \lambda \beta _1=\lambda T \alpha _1=T\left(\lambda \alpha _1\right) \in T\left(V_n\right) \quad\

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