最后更新: 2025-07-20 08:21 查看: 406 次反馈同步训练

线性映射与线性变换

## 线性变换
设 $V_n, U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，如果映射 $T: V_n \rightarrow U_m$ 满足
(i) 任给 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n$ ，有

$$
T\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right) ；
$$

(ii)任给 $\boldsymbol{\alpha} \in V_n, \lambda \in R $ (从而 $\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n$ )，有

$$
T(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\lambda T(\boldsymbol{\alpha}),
$$

那么， $T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的**线性映射**，或称为**线性变换**.
简言之，线性映射就是保持线性组合的对应的映射.
例如，

$$
T: R^n \rightarrow  R^m,\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_m
\end{array}\right),
$$

其中

$$
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_m
\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{12} \\
a_{2 n} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

就确定了一个从 $R^n$ 到 $R^m$ 的映射，并且是个线性映射.
特别地，如果在定义 1 中取 $V_n=U_n$ ，那么 $T$ 是一个从线性空间 $r_n$ 到其自身的线性映射，称为线性空间 $V_n$ 中的**线性变换**.

`例`设 $V$ 是实数域 $\mathbf{R}$ 上的一个线性空间，对任意的 $\alpha \in V$ ，分别定义如下三个 $V \rightarrow V$ 的映射:
(1) $I(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}$;
(2) $o(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0}$ ，其中 0 是 $V$ 中的零向量；
(3) $T(\boldsymbol{\alpha})=k \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $k \in \mathbf{R}$ 是固定的数.
则这三个映射都是线性空间 $V$ 上的线性变换，分别称为 $V$ 的恒等变换、零变换和数乘变换.

`例` 在线性空间 $P[x]_3$ 中 
（1）微分运算 $D$ 是一个线性变换．这是因为任取

$$
p=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \in P[x]_3, \quad q=b_3 x^3+b_2 x^2+b_1 x+b_0 \in P[x]_3,
$$

则有

$$
D p=3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1, \quad D q=3 b_3 x^2+2 b_2 x+b_1 .
$$

于是

$$
\begin{gathered}
D(p+q)=D\left[\left(a_3+b_3\right) x^3+\left(a_2+b_2\right) x^2+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_0+b_0\right)\right]=3\left(a_3+b_3\right) x^2+2\left(a_2+b_2\right) x+\left(a_1+b_1\right) \\
=3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1+3 b_3 x^2+2 b_2 x+b_1=D p+D q
\end{gathered}
$$

$$
D(\lambda p)=D\left(\lambda a_3 x^3+\lambda a_2 x^2+\lambda a_1 x+\lambda a_0\right)=\lambda 3 a_3 x^2+\lambda 2 a_2 x+\lambda a_1=\lambda\left(3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1\right)=\lambda D p
$$

（2）如果 $T(p)=1$ ，那么 $

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