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线性映射与线性变换

## 映射
在集合论中，映射（Mapping） 描述了两个集合之间的关系，如果这两个集合是同一个，那么映射也称作变换(Transformation)

映射基本上分为三类：单射、满射与双射
### 单射、满射与双射
 
**单射**
若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 是一个单射 (injection) 或 $1-1$ 的映射。

提示：若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$” 表示的意思是：对于A里**任意**的$x_1,x_2$，如果$x_1$不等于$x_2$，那么 $y_1$ 不等于 $y_2$

上述定义等价于: $\forall y \in B,\left|f^{-1}(y)\right| \leqslant 1$. 该式中 $f^{-1}(y)$ 是一个集合， $\left|f^{-1}(y)\right|$ 为该集合的元素，这表明对任意的 $y \in B$ 的完全原像的元素数量不多于一个。

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**满射**
若 $\forall y \in B, \exists x \in A$ ，使得 $y=f(x)$ ，则称 $f$ 是一个满射 (surjection) 或到上的映射。

提示：“若 $\forall y \in B, \exists x \in A$ ，使得 $y=f(x)$” 表示的意思是，对于$B$里的任意一个元素$y$，都**存在**可以在$A$里找到一个$x$，使得$y=f(x)$

上述定义等价于 $f(A)=B$. 也等价于 $\forall y \in B,\left|f^{-1}(b)\right| \leqslant 1$.

![图片](/uploads/2025-08/95dc35.jpg){width=200px}

**双射**
若 $f$ 既是单射又是满射，就称 $f$ 是一个双射 (bijection)，或一一对应。

![图片](/uploads/2025-08/823d51.jpg){width=200px}

例如：函数 $y=x^2$ 可以看成是实数集 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射．这个映射不是单映射也不是满映射．因为 $-1 \neq 1$ ，但 $(-1)^2=1^2$ ．另一方面， $\mathbb{R}$ 中的元素 -1 没有原像．这个函数的像为 $[0,+\infty)$ 。如果我们把 $y=x^2$ 看成是 $(-\infty,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ 的映射，那么这是个映上的映射，但仍不是单映射．

例如笛卡尔平面上的点到实数对之间的对应：

$$
\varphi: C \mapsto(a, b),
$$

其中点 $C$ 的横坐标为 $a$ ，纵坐标为 $b$ ．这是一个映射且是一个双射，即一一对应．

#### 逆映射

下面我们着重讨论一下双射．设 $\boldsymbol{f}$ 是 $A \rightarrow B$ 的双射，我们定义 $B \rightarrow A$ 的映射 $\boldsymbol{g}$ 如下：对任一 $b \in B$ ，取$b$ 在 $\boldsymbol{f}$ 下的原像记为 $a$ ，定义 $\boldsymbol{g}(b)=a$ ．由于 $\boldsymbol{f}$是双射，故对 $B$ 中的元素 $b$ ，有且仅有一个 $a$ 作为 $b$ 在 $\boldsymbol{f}$ 下的原像．因此 $\boldsymbol{g}$ 确是 $B \rightarrow A$ 的映射．不仅如此，显然 $\boldsymbol{g}$ 也是一个双射，且

$$
\boldsymbol{g} \boldsymbol{f}=\mathbf{1}_A, \boldsymbol{f} \boldsymbol{g}=\mathbf{1}_B .
$$

我们称 $g$ 是 $f$ 的**逆映射**，记为 $g=f^{-1}$ ．

我们不加证明的给出一个结论：

**定理** 设 $\boldsymbol{f}$ 是集合 $A \rightarrow B$ 的映射，如果存在 $B \rightarrow A$ 的映射 $\boldsymbol{g}$ ，使
$$
\boldsymbol{g} \boldsymbol{f}=\mathbf{1}_A, \boldsymbol{f} \boldsymbol{g}=\mathbf{1}_B,
$$

则 $f$ 是双射且 $g=f^{-1}$ ．

这个定理想表达的意思很简单：在双射条件下，映射和逆映射总是存在的。
通俗的理解就是：有来有去。**这就像你打开windows文件夹，从“文件夹A进入文件夹B再进入文件夹C”，那么你逆着原来的方法，退出文件夹C退出文件夹B最终就能找到来时的文件夹A**

**几何理解** 我们可以用实数集上的函数来理解这个定理，更贴近直观：
- 设 $A=B=\mathbb{R}$，$f(x)=2x$（这是一个双射），
  构造 $g(x)=\frac{1}{2}x$，验证复合条件：
  1. $g(f(x))=g(2x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x=1_{\mathbb{R}}(x)$
  2. $f(g(x))=f(\frac{1}{2}x)=2\cdot \frac{1}{2}x=x=1_{\mathbb{R}}(x)$
- 此时 $g$ 就是 $f$ 的逆函数 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x$，完美符合定理描述。

## 线性映射
设 $V_n, U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，如果映射 $T: V_n \rightarrow U_m$

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