最后更新: 2025-05-29 17:52 查看: 960 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

角度制，弧度制

一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向．

习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为**正角**；按照顺时针方向旋转而成的角称为**负角**；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为**零角**．

这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．

因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角．也就是说，角的大小是任意的．

由此，我们把角的概念推广到了任意角． 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．

如图，角 $\alpha$ 是 $O A$ 沿逆时针方向绕 $O$ 点转动形成的角，所以 $\alpha=420^{\circ}$ ；角 $\beta$ 是 $O A$ 沿顺时针方向绕 $O$ 点转动形成的角，所以 $\beta=-150^{\circ}$ ．

![图片](/uploads/2025-04/d24e62.jpg){width=300px}

## 角度的定义

度是平面角的单位，符号为°，英文为 degree 。一周角分为360等份，每份定义为1度（1°）。之所以采用360°这数值，是因为它容易被整除。360除了1和自己，还有21个真因子， 所以很多特殊的角的角度都是整数。

![pic](../uploads/2022-09/957cd0.jpg){width=250px}

## 弧度

在科学计算中经常使用弧度作为平面角的单位，弧度记做 rad 。**把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度**。根据弧度定义可以得到圆一周的弧度为:

$\dfrac{\text{圆周长}}{\text{半径}}= \dfrac{2\pi r}{r} =2\pi $

![pic](../uploads/2022-09/a36b79.jpg){width=250px}

事实上, 设 $ \angle A=\alpha^{\circ}$, 弧 $A B$ 的长为 $l$, 半径 $O A=r$, 则 $l=\frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$,因此

$\frac{l}{r}=\alpha \cdot \frac{2 \pi}{360} $ 即 $\frac{l}{r}= \frac{\alpha \pi}{180} $

这个等式右端不包含半径, 这表示弧长比半径的值不依赖于半径, 而只与 $\alpha$的大小有关. 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 因此,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角,记作 $1   \mathrm{rad}$.

由弧度制的定义可知, 在半径为 $r$ 的圆中, 若弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$, 则 **弧度公式**

$$
\boxed {
\alpha=\dfrac{l}{r}  
}
$$

由上面这个公式，稍微变形，就可以得到**弧长公式**
$$
l=|\alpha|r
$$

进而可以得到**扇形面积公式**
$$
S=\frac{1}{2} l r=\f

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