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第六章 三角函数
角度制,弧度制
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2024-11-03 21:18
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角度制,弧度制
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有 两个相反的方向:顺时针方向和逆时针方向. 习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角称为**正角**;按照顺时针方向旋转而成的角称为**负角**;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为**零角**. 这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角. 值得注意的是,上述角的定义中,当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时,旋转的绝对量可以是任意的. 因此,角的概念经过以上的推广以后,就包括正角、负角、零角.也就是说,角的大小是任意的. 由此,我们把角的概念推广到了任意角. 作图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量. ## 角度的定义 度是平面角的单位,符号为°,英文为 degree 。一周角分为360等份,每份定义为1度(1°)。之所以采用360°这数值,是因为它容易被整除。360除了1和自己,还有21个真因子, 所以很多特殊的角的角度都是整数。 ![pic](../uploads/2022-09/957cd0.jpg){width=250px} ## 弧度 在科学计算中经常使用弧度作为平面角的单位,弧度记做 rad 。把长度等于半径长的所对的圆心角叫做1弧度。根据弧度定义可以得到圆一周的弧度为: $\dfrac{\text{圆周长}}{\text{半径}}= \dfrac{2\pi r}{r} =2\pi $ ![pic](../uploads/2022-09/a36b79.jpg){width=250px} 事实上, 设 $\alpha=n^{\circ}$, 弧 $A B$ 的长为 $l$, 半径 $O A=r$, 则 $l=\frac{n}{360} \cdot 2 \pi r$,因此 $$ \frac{l}{r}=n \cdot \frac{2 \pi}{360} . $$ 这个等式右端不包含半径, 这表示弧长比半径的值不依赖于半径, 而只与 $\alpha$的大小有关. 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 因此,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角,记作 $1 \mathrm{rad}$. 如图 7-1-9 所示, 因为 $\overparen{A B}$ 的长等于半径 $r$, 所以 $\overparen{A B}$ 所对的圆心角 $\angle A O B$ 就是 1 弧度的角. 由弧度制的定义可知, 在半径为 $r$ 的圆中, 若弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$, 则 $$ \alpha=\frac{l}{r} \text {. } $$ ## 角度和弧度换算 根据角度和弧度的定义,很容易得出角度和弧度的换算关系。因为圆的一周是 $360 \degree $ , 而采用弧度是 $ 2\pi $ rad 所以有</p> $ 360 \degree = 2 \pi $ rad 意即: $ 1 \degree = \dfrac{\pi}{180} rad \approx 0.01745 rad $ 或者说 $ 1 rad= (\dfrac{180}{\pi}) \degree \approx 57.30 \degree $ 一般的,我们只要简记: $ 180 \degree = \pi $ 弧度就可以了,使用时,进行转换。 ## 角度的正负 我们定义角度沿着逆时针方向旋转为正,沿着逆时针方向旋转为负。如果逆时针旋转$ \theta$ 大小会有一条终边,那么通过旋转得到的角的大小就是$ \theta $ ;如果顺时针旋转$ \theta $ 大小,那么这个角就是$ - \theta $
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