最后更新: 2024-04-01 07:03 查看: 307 次反馈同步训练

复习3：线性表示

## 线性表示
(1) 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示 定义 $\Leftrightarrow$ 存在数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 使 $\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m$
$\Leftrightarrow$ 线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{\beta}$ 有解
$$
\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{\beta}) \text {, 其中 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) \text {. }
$$

(2) 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow} \boldsymbol{\beta}_j$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示, $j=1,2, \cdots, t$
$$
\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \text {, 其中 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \text {. }
$$

(3) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 等价
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow} \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 能互相线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right), \boldsymbol{B}=\left(\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\Leftrightarrow \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$.

## 线性相关
 #### 线性相关 
$n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关
定义 $\Leftrightarrow$ 存在一组不全为 0 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ 有非零解
$\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可由其余向量线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) < m $
$\stackrel{m=n}{\Leftrightarrow}\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right|=0$.
        
#### 线性无关  
$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow}$ 若 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则必有 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ 只有零解
$\Leftrightarrow$ 任一向量都不能由其余向量线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)=m$
$\stackrel{m=n}{\Leftrightarrow}\left|\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right| \neq 0$.

## 线性相关的一些结论

(1) 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 中有一部分向量线性相关, 则整个向量组也线性相关; 若 整个向量组也线性无关, 则部分向量组也线性无关. (简记为: 部分相关, 整体相关; 整体无关, 部分无关).<br /><br />

(2) 如果 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\beta}_2\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_m \\ \boldsymbol{\beta}_m\end{array}\right)$ 线性无关; 反之, 若 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\beta}_2\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_m \\ \boldsymbol{\beta}_m\end{array}\right)$ 线性相关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关. (简记为: 低维无关, 高维无 关; 高维相关，低维相关. )

(3) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关, 而 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性相关, 则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示, 且表示法唯一.

(4) 若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 且 $t>s$, 则 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性相 关. （多的能由少的线性表示, 则多的必线性相关.）

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 且 $\

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