最后更新: 2024-10-25 20:45 查看: 192 次反馈同步训练

复习5:三大性质与正定

## 矩阵的三大性质

**矩阵等价**——设 $A, B$ 为同型矩阵，若存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $P A Q=B$ ，称矩阵 $A, B$ 等价，记为 $A \cong B$ 。 
**矩阵相似**——设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ ，称矩阵 $A, B$ 相似，记为 $A \sim B$ 。 
**矩阵合同**一设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^T A P=B$ ，称矩阵 $A, B$ 合同，记为 $A \simeq B$ 。

### 相似与合同判定

【判断相似】
**（1）** 若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似.  
**（2）** 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似， $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似. 
**（3）** 设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 均可相似对角化, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $B$ 有完全相同的特征值.  <br /> 
【判断合同】  
**（1）** 若 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同.  
**（2）** 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同.   
**（3）**  实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的正、负惯性指数  <br />

【相似与合同的关系】 
**（1）**  普通矩阵相似不一定合同, 合同也不一定相似.
**（2）** 实对称矩阵相似一定合同.

## 正定
前提条件$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，点击查看 [正定教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=504)

$f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为正定二次型 (或对称阵 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵) 的充分必要条件有:   
**(1)** 对任何 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$, 都有 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$;   
**(2)** $f$ 的正惯性指数为 $n$;   
**(3)** 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 合同;  
**(4)** $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值全为正数;  
**(5)** $A$ 的各阶顺序主子式都大于 0 . 即  
$$
a_{11}>0,\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|>0, \cdots,\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|>0 .
$$

### 正定的结论

(1)若 $\boldsymbol{A}$ 正定, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{*}}, \boldsymbol{A}^m(m$ 为正整数 $), k \boldsymbol{A}(k>0)$, $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ ( $\boldsymbol{C}$ 可逆) 均正定
(2)若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 正定, 则 $\boldsymbol{A}+\b

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