最后更新: 2024-11-03 21:10 查看: 343 次反馈同步训练

附录2：三角恒等式第二版

## 三角函数的定义
 正弦  $ \sin A=\frac{a}{c} $
          
 余弦 $ \cos A=\frac{b}{c} $
          
 正切 $ \tan A=\frac{a}{b} $
          
 余切  $ \cot A=\frac{b}{a} $
           
 正割  $  \sec A=\frac{c}{b}$  
           
 余割  $\csc A=\frac{c}{a}$
 
 ### 最基本关系
 $ sin^2 x+cos^2 x= 1 $    
 $ tan x=\frac{sin x}{cos x} $   
 $ cot x=\frac{1}{tan x} $   
 $ sec x=\frac{1 }{cos x} $  
 $ csc x=\frac{1 x}{sin x} $   
 $ (sin \alpha \pm cos \alpha)^2=1 \pm 2 sin \alpha cos \alpha $
 
 > 正六边形记忆法，写出各个函数值并比较和1的关系。
 
  ![图片](/uploads/2024-03/917788.jpg){width=400px}
 
 
 下面显示各象限的正负符号
  ![图片](/uploads/2024-03/d8d63f.svg)
  
  ## 特殊三级函数的值
   
 $$
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \text { 角度 } & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 120^{\circ} & 135^{\circ} & 150^{\circ} & 180^{\circ} & 270^{\circ} & 360^{\circ} \\
\hline \text { 弧度 } & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2 \pi}{3} & \frac{3 \pi}{4} & \frac{5 \pi}{6} & \pi & \frac{3 \pi}{2} & 2 \pi \\
\hline \sin \alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 \\
\hline \cos \alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & 0 & 1 \\
\hline \tan \alpha & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text { 不存在 } & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \text { 不存在 } & 0 \\
\hline
\end{array}
$$
   
   
 ## 诱导公式
 诱导公式的意思是把一个大角化为360度以内的角度。
 
 $$
 \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline \text { 角 } \mathrm{A} & \sin & \text { os } & \operatorname{tg} & \text { c } \\
\hline-\alpha & \text { in } \alpha & \operatorname{os} \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{ctg} 0 \\
\hline 90^{\circ}-\alpha & \cos \alpha & \sin \alpha & \operatorname{ctg} \alpha & \operatorname{tg} \alpha \\
\hline 90^{\circ}+\alpha & \cos \alpha & -\sin \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha & -\operatorname{tg} \alpha \\
\hline 180^{\circ}-\alpha & \sin \alpha & -\cos \alpha & -\operatorname{tg} \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha \\
\hline 180^{\circ}+\alpha & \sin \alpha & -\cos \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{tg} 0 \\
\hline 270^{\circ}-\alpha & -\cos \alpha & -\sin \alpha & \operatorname{ctg} \alpha & \operatorname{tg} \alpha \\
\hline 270^{\circ}+\alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha & -\operatorname{tg} \alpha \\
\hline 360^{\circ}-\alpha & -\sin \alpha & \cos \alpha & -\operatorname{tg} \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha \\
\hline 360^{\circ}+\alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{ctg} \\
\hline
\end{array}
$$
 
 
 记忆技巧：奇变偶不变，符号看象限，即形如 $(2 k+1) 90^{\circ} \pm \alpha$ ，则函数名称变为余名函 数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如 $2 \mathrm{k} \times 90^{\circ} \pm \alpha$ ，则函数名称不变。	
 
 ## 和差化积与积化和差
 
 ### 和差化积
 $ \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
$  \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $
$   \tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $
$  \cot (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}  $
$  \sec (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\sec \alpha \sec \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $
$\csc (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\csc \alpha \csc \beta}{\cot \beta \pm \cot \alpha}  $

### 积化和差

$  \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2} $
$   \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}  $
$   \cos \alpha \sin \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)}{2}  $
$  \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}  $
$ \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2} $
$ \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}  $ 
$  \sin \alpha \sin \beta=-\frac{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)}{2} $
$  \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}  $

记忆口诀：sin音帅， cos音哥
帅哥=帅+帅
哥帅=帅-帅
哥哥=哥+哥
负嫂嫂=哥-哥

#### 欧拉公式  $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ 
欧拉公式是  $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ，如果我们令 $x= \alpha \pm \beta $  
 
如果从指数的角度看，根据指数运算应该有
$e^{i(\alpha \pm \beta)}=e^{i \alpha} e^{ \pm i \beta}$ ①
如果从欧拉公式角度看，应该有
$ e^{i(\alpha \pm \beta)} = \cos (\alpha \pm \beta)+i \sin (\alpha \pm \beta) $ ②

①和② 左端相等，因此右端也就应该相等。因此有
$e^{i \alpha} e^{ \pm i \beta} =\cos (\alpha \pm \beta)+i \sin (\alpha \pm \beta) $ ③

把③ 式左边再次带入欧拉公式就可以得到

$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta+i(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta)=\cos (\alpha \pm \beta)+i \sin (\alpha \pm \beta)$ ④
在④里，两个复数相等，因此实部应该等于实部，虚部等于虚部，因此

$ \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $ 
$\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $

这就是上面和差化积的公式。

## 倍角、降幂、半角公式

$ \sin 2 \theta   =2 \sin \theta \cos \theta  $
$ \cos 2 \theta   =\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta $
$ \tan 2 \theta   =\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} $
$ \cot 2 \theta   =\frac{\cot ^2 \theta-1}{2 \cot \theta} $
$ \sec 2 \theta   =\frac{\sec ^2 \theta}{1-\tan ^2 \theta} $
$ \csc 2 \theta   =\frac{\csc ^2 \theta}{2 \cot \theta}$
$ \sin ^2 \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{2} $
$ \cos ^2 \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2} $
$  \tan ^2 \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta} $
$  \cot ^2 \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{1-\cos 2 \theta} $
$ \sin \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} $
$ \cos \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} $
$ \tan \frac{\theta}{2}=\csc \theta-\cot \theta $
$ \cot \frac{\theta}{2}=\csc \theta+\cot \theta $
$ \sec \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \theta}{\sec \theta+1}} $
$ \csc \frac{\theta}{2}=\pm \

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