最后更新: 2024-11-03 21:10 查看: 280 次反馈刷题

附录2：三角恒等式第二版

## 三角函数的定义
 正弦  $ \sin A=\frac{a}{c} $
          
 余弦 $ \cos A=\frac{b}{c} $
          
 正切 $ \tan A=\frac{a}{b} $
          
 余切  $ \cot A=\frac{b}{a} $
           
 正割  $  \sec A=\frac{c}{b}$  
           
 余割  $\csc A=\frac{c}{a}$
 
 ### 最基本关系
 $ sin^2 x+cos^2 x= 1 $    
 $ tan x=\frac{sin x}{cos x} $   
 $ cot x=\frac{1}{tan x} $   
 $ sec x=\frac{1 }{cos x} $  
 $ csc x=\frac{1 x}{sin x} $   
 $ (sin \alpha \pm cos \alpha)^2=1 \pm 2 sin \alpha cos \alpha $
 
 > 正六边形记忆法，写出各个函数值并比较和1的关系。
 
  ![图片](/uploads/2024-03/917788.jpg){width=400px}
 
 
 下面显示各象限的正负符号
  ![图片](/uploads/2024-03/d8d63f.svg)
  
  ## 特殊三级函数的值
   
 $$
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \text { 角度 } & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 120^{\circ} & 135^{\circ} & 150^{\circ} & 180^{\circ} & 270^{\circ} & 360^{\circ} \\
\hline \text { 弧度 } & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2 \pi}{3} & \frac{3 \pi}{4} & \frac{5 \pi}{6} & \pi & \frac{3 \pi}{2} & 2 \pi \\
\hline \sin \alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 \\
\hline \cos \alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & 0 & 1 \\
\hline \tan \alpha & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text { 不存在 } & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \text { 不存在 } & 0 \\
\hline
\end{array}
$$
   
   
 ## 诱导公式
 诱导公式的意思是把一个大角化为360度以内的角度。
 
 $$
 \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline \text { 角 } \mathrm{A} & \sin & \text { os } & \operatorname{tg} & \text { c } \\
\hline-\alpha & \text { in } \alpha & \operatorname{os} \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{ctg} 0 \\
\hline 90^{\circ}-\alpha & \cos \alpha & \sin \alpha & \operatorname{ctg} \alpha & \operatorname{tg} \alpha \\
\hline 90^{\circ}+\alpha & \cos \alpha & -\sin \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha & -\operatorname{tg} \alpha \\
\hline 180^{\circ}-\alpha & \sin \alpha & -\cos \alpha & -\operatorname{tg} \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha \\
\hline 180^{\circ}+\alpha & \sin \alpha & -\cos \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{tg} 0 \\
\hline 270^{\circ}-\alpha & -\cos \alpha & -\sin \alpha & \operatorname{ctg} \alpha & \operatorname{tg} \alpha \\
\hline 270^{\circ}+\alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha & -\operatorname{tg} \alpha \\
\hline 360^{\circ}-\alpha & -\sin \alpha & \cos \alpha & -\operatorname{tg} \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha \\
\hline 360^{\circ}+\alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{ctg} \\
\hline
\end{array}
$$
 
 
 记忆技巧：奇变偶不变，符号看象限，即形如 $(2 k+1) 90^{\circ} \pm \alpha$ ，则函数名称变为余名函 数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如 $2 \mathrm{k} \times 90^{\circ} \pm \alpha$ ，则函数名称不变。	
 
 ## 和差化积与积化和差
 
 ### 和差化积
 $ \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
$  \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $
$   \tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $
$  \cot (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}  $
$  \sec (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\sec \alpha \sec \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $
$\csc (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\csc \alpha \csc \beta}{\cot \beta \pm \cot \alpha}  $

### 积化和差

$  \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2} $
$   \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}  $
$   \cos \alpha \sin \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)}{2}  $
$  \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}  $
$ \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2} $
$ \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}  $ 
$  \sin \alpha \sin \beta=-\frac{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)}{2} $
$  \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}  $

记忆口诀：sin音帅， cos音哥
帅哥=帅+帅
哥帅=帅-帅
哥哥=哥+哥
负嫂嫂=哥-哥

#### 欧拉公式  $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ 
欧拉公式是  $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ，如果我们令 $x= \alpha \pm \beta $  
 
如果从指数的角度看，根据指数运算应该有
$e^{i(\alpha \pm \beta)}=e^{i \alpha} e^{ \pm i \beta}$ ①
如果从欧拉公式角度看，应该有
$ e^{i(\alpha \pm \beta)} = \cos (\alpha \pm \beta)+i \sin (\alpha \pm \beta) $ ②

①和② 左端相等，因此右端也就应该相等。因此有
$e^{i \alpha} e^{ \pm i \beta} =\cos (\alpha \pm \beta)+i \sin (\alpha \pm \beta) $ ③

把③ 式左边再次带入欧拉公式就可以得到

$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta+i(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta)=\cos (\alpha \pm \beta)+i \sin (\alpha \pm \beta)$ ④
在④里，两个复数相等，因此实部应该等于实部，虚部等于虚部，因此

$ \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $ 
$\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $

这就是上面和差化积的公式。

## 倍角、降幂、半角公式

$ \sin 2 \theta   =2 \sin \theta \cos \theta  $
$ \cos 2 \theta   =\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta $
$ \tan 2 \theta   =\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} $
$ \cot 2 \theta   =\frac{\cot ^2 \theta-1}{2 \cot \theta} $
$ \sec 2 \theta   =\frac{\sec ^2 \theta}{1-\tan ^2 \theta} $
$ \csc 2 \theta   =\frac{\csc ^2 \theta}{2 \cot \theta}$
$ \sin ^2 \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{2} $
$ \cos ^2 \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2} $
$  \tan ^2 \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta} $
$  \cot ^2 \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{1-\cos 2 \theta} $
$ \sin \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} $
$ \cos \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} $
$ \tan \frac{\theta}{2}=\csc \theta-\cot \theta $
$ \cot \frac{\theta}{2}=\csc \theta+\cot \theta $
$ \sec \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \theta}{\sec \theta+1}} $
$ \csc \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \theta}{\sec \theta-1}} $
                 
## 万能公式与反三角函数
万能公式的意思是任何一个函数，都可以正切表示 ，而反三角函数目前高中不再学习

$ \sin \alpha  =\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} $
           
 $ \cos \alpha  =\frac{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}  $
          
 $ \tan \alpha  =\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} $
               
$  \cot \alpha=\frac{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tan \frac{\alpha}{2}}  $

$ \sec \alpha  =\frac{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}  $
               
 $ \csc \alpha   =\frac{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tan \frac{\alpha}{2}}$
               
$ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2} $
$ \arctan x+\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2} $
               
$$ \arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\left\{\begin{aligned}
\frac{\pi}{2}, & \text { if } x>0 \\
-\frac{\pi}{2}, & \text { if } x<0
\end{aligned}\right. $$
               
 $$ 
 \begin{aligned}
 \arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-x y}+\left\{\begin{array}{cc}
\pi, & \text { if } x, y>0 \\
-\pi, & \text { if } x, y<0 \\
0, & \text { otherwise }
\end{array}\right.
\end{aligned}$$
               
      
        
       
 ### 反三角
          
$ \sin (\arccos x)   =\sqrt{1-x^2} $
$ \sin (\arctan x)   =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ 
$ \cos (\arctan x)   =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}  $ 
$\cos (\arcsin x)   =\sqrt{1-x^2} $ 
$ \tan (\arcsin x)  =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}  $ 
$ \tan (\arccos x)   =\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $

## 正弦、余弦和正切图像

![图片](/uploads/2024-03/4f8cee.jpg)

## 解三角形常用方法

(1) 三角形内角和定理:    
        $A+B+C=\pi \Leftrightarrow C=\pi-(A+B)$    
①$\sin C=\sin (A+B)$  
② $\cos C=-\cos (A+B)$ 
③ $\tan C=-\tan (A+B)$  
      
(2) 三边关系: 两边之和大于第三边 $a+b > c$ , 两边之差小于第三边 $ a-b < c $

(3) 正弦定理   
 $  \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2 R$.  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
边化角: $a=2 R \sin A ; b=2 R \sin B ; c=2 R \sin C$  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
对应关系: $a: b: c=\sin A: \sin B: \sin C$

(4) 余弦定理:    
        $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A$          $b^2=c^2+a^2-2 c a \cos B$
      $c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C$   
求角:    
        $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}$    
        $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}$    
        $\cos C=\dfrac{b^2+a^2-c^2}{2 a b}$.

(5) 三角形面积公式 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a \cdot h_{a}\left(h_a\right.$ 表示边 $\boldsymbol{a}$ 上的高);
$$
S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} b c \sin A \text { (两边夹角) }
$$

## 函数 $ y= A sin(\omega x+\phi)$
> 通过平移三角函数可化为 $ y= A sin(\omega x+\phi)$ 的形式，平移基本口诀是：左加右减，上加下减。

（1）图像平移    
  把 $y=\sin x$ 经过图像变换得到 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+1$  步骤如下    
 方法一：   
      ①向左平移 $\frac{\pi}{3}$, 得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;    
      ②横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 得到 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$;   
      ③纵坐标伸长到原来的 2 倍, 得到 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right):$    
      ④向上平移 1 个单位长度, 得到 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+1$.

方法二:    
      ①横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 得到 $y=\sin 2 x$;    
        ②向左平移 $\frac{\pi}{6}$, 得到 $y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$;    
        ③ 第(3)、(4)同上。

（2）求  $ y= A sin(\omega x+\phi)$ 方法   
      ① $A=\frac{M-m}{2}$   
      ②$B=\frac{M+m}{2}$.    
      ③$\omega$ : 先求周期 $T$, 再由 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ 得 $\omega$.   
      ④ 把 $A 、 B 、 \omega$ 代入 $y=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 中   
      ⑤ $\varphi$ : 代特殊点: 上升点 $(2 k \pi, 0)$ 、最高点 $\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi, 1\right)$ 下降点 $(\pi+2 k \pi, 0)$ 最低点 $\left(\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi,-1\right)$
即得统一的形式: $y=A \sin (\omega x+\varphi)+B$
       
    
  正弦型函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi) \quad(A>\mathbf{0})$  性质    
① 周期: $T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$   
②奇偶性：当 $\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}$ 时, $y=A \sin (\omega x+\varphi)=\pm A \cos \omega x$ 偶函数; 当 $\varphi=k \pi$ 时, $y=A \sin (\omega x+\varphi)=\pm \sin \omega x$ 奇函数   
③最值：当 $\omega x+\varphi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ 时， $y$ 最大； $\omega x+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ 时, $y$ 最小。   
④单调性：增区间： $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \omega x+\varphi \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi$ 减区间： $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \omega x+\varphi \leq \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi$   
⑤ 对称轴: $\omega x+\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}$;    
 ⑥对称中心: $\omega x+\varphi=k \pi$

辅助角公式
  $$
    \begin{aligned}
a \sin x+b \cos x & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a \sin x}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b \cos x}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) \\
& =\sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \sin x+\sin \varphi \cos x) \\
& =\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\varphi)
\end{aligned}
    $$

$$
    \tan \varphi=\frac{b}{a}, \sin \varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
    $$

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