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简单的三角方程
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2024-05-20 17:51
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简单的三角方程
例 1.45 解方程 1. $2 \cos 2 x=1$ 3. $\sqrt{2} \sin \left(3 x-9^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 2. $\tan \left(x+15^{\circ}\right)+1=0$ 4. $\cos ^2 x-4 \cos x+2=0$ 分析: 这几个三角方程的共同特点是: 只含有同一个未知数的同名三角函数. 因此可以将这个含有未知数的三角函数视为一元, 用代数方法先求出它的值, 从而归结为最简单的三角方程求解. 解: 1. 原方程化为 $\cos 2 x=\frac{1}{2}$ $$ 2 x= \pm \frac{\pi}{3}+2 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z}) $$ 所以解集是 $\left\{x \left\lvert\, x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$ 2. 原方程化为 $\tan \left(x+15^{\circ}\right)=-1$ $$ x+15^{\circ}=-45^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}, \quad(k \in \mathbb{Z}) $$ 所以解集是 $\left\{x \mid x=-60^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$ 3. 原方程化为 $\sin \left(3 x-9^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$ $$ 3 x-9^{\circ}=30^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, \quad 3 x-9^{\circ}=150^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, \quad(k \in \mathbb{Z}) $$ 所以解集为 $$ \left\{x \mid x=13^{\circ}+k \cdot 120^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{x \mid x=53^{\circ}+k \cdot 120^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\} $$ 4. 原方程是关于 $\cos x$ 的二次方程, 解这个方程, 得 $$ \cos x=2+\sqrt{2}, \quad \cos x=2-\sqrt{2} $$ 因为 $2+\sqrt{2}>1$, 所以 $\cos x=2+\sqrt{2}$ 无解;从 $\cos x=2-\sqrt{2}$, 可以解得: $x= \pm 54^{\circ} 9^{\prime}+k \cdot 360^{\circ},(k \in \mathbb{Z})$. 所以原方程的解集是 $\left\{x \mid x= \pm 54^{\circ} 9^{\prime}+k \cdot 360^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$ 例 1.46 解方程 $2 \sin ^2 x+3 \cos x=0$. 分析:利用三角公式, 可以化为只含同一个未知数的同名函数的三角方程求解. 解:原方程化为 $2\left(1-\cos ^2 x\right)+3 \cos x=0$, 即 $$ 2 \cos ^2 x+3 \cos x-2=0 $$ 解这个关于 $\cos x$ 的二次方程, 得 - $\cos x=2$, 它的解集为 $\emptyset$; - $\cos x=-\frac{1}{2}, \quad x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$ 所以原方程的解集是 $\left\{x \left\lvert\, x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$. 例 1.47 解方程 $\sin ^2 x-\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin x \cdot \cos x-\cos ^2 x=0$. 分析: 方程的每一项中, 关于 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的次数都相同 (这里都是二次), 我们叫做关于 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的齐次方程, 这种特点的方程可直接观察知道 $\cos x=0$的 $x$ 值, 不会是方程的解、因此, 这类方程可以两边同除以 $\cos x$ 的某次幂而不会使方程增根或丢根的, 这样就可以归结为含有未知数正切函数的方程求解了. 解: 原方程两边同除以 $\cos ^2 x$ 得: $\tan ^2 x-\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan x-1=0$ 解这个关于 $\tan x$ 的二次方程, 得 - $\tan x=\sqrt{3}, \quad x=\frac{\pi}{3}+k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$ - $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x=-\frac{\pi}{6}+k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$ 所以原方程的解集是 $$ \left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{3}+k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\} $$ 例 1.48 解方程 $\sin x=2 \sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)$ 解:由和角公式 $$ \sin x=2\left(\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x-\cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x\right)=\sqrt{3} \cos x-\sin x $$ 所以 $2 \sin x=\sqrt{3} \cos x$, 两边同除以 $2 \cos x$, 得 $$ \tan x=\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 $$ 查表可得: $x=40^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 180^{\circ} \quad(k \in \mathbb{Z})$ 所以原方程的解集是 $\left\{x \mid x=40^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 180^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$ 例 1.49 解方程 $\sqrt{3} \sin x=\frac{6}{\sqrt{3}} \cos ^2 \frac{x}{2}$ 解:利用倍角公式变形 $$ 2 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}-\frac{6}{\sqrt{3}} \cos ^2 \frac{x}{2}=0 $$ 即 : $\cos \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)=0$ 所以, 原方程可分解为下面两个方程解 $$ \cos \frac{x}{2}=0, \quad \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0 $$ - 若 $\cos \frac{x}{2}=0$, 则 $\frac{x}{2}= \pm \frac{\pi}{2}+2 k \pi$, 所以 $x= \pm \pi+4 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$ - 若 $\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0$, 可变形为 $\tan \frac{\pi}{2}=1$, 则 $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k \pi$, 所以 $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$ 因此原方程的解集是 $$ \{x \mid x= \pm \pi+4 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\} $$
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