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解三角方程

在初中我们曾经学习过这样的问题: 已知三角函数值求角. 如, 已知 $\sin x=$ $\frac{1}{2}$, 求 $x$ 的值, 像这样条件等式 $\sin x=\frac{1}{2}$ 的样子, 我们把含有未知数的三角函数的等式，叫做三角方程。例如： $\sin x-1=-\frac{1}{2}, 2 \sin ^2 x+3 \cos x=0$, $\sin 5 x=\cos 4 x$, 等等都是三角方程.

解三角方程就是求出未知数的一切能适合下方程的值, 或证明方程无解.
三角方程的一般理论和解法, 留待以后学习, 本节仅就几种特殊类型的简单三角方程的具体解法加以讨论。

## 一、最简单的三角方程
三角方程中, $\sin x=a, \cos x=a, \tan x=a, \cot x=a$ 就叫做最简单的三角方程. 它们的求解是其它三角方程求解的基础.

最简单的三角方程求解的方法是相同的, 正像在初中已经学过的那样：首先求出，已知方程在 $0 \leq x<2 \pi$ 区间内的解，如果这个区间内有两个解： $x=\alpha_1$和 $x=\alpha_2$, 那么原方程的所有解就是 $x=\alpha_1+2 k \pi$ 和 $x=\alpha_2+2 k \pi \quad(k \in Z )$;如果在这个区间内只有一个解： $x=\alpha$ ，那么原方程的解就是 $x=\alpha+2 k \pi$ ；如果在这个区间没有解，那么原方程也没有解. 可见，最简单的三角方程或有无限多解，或没有解。
例1.40 解方程 $\sin x=\frac{1}{2}$.

解: 已知在 $(0,2 \pi)$ 内解为 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{5 \pi}{6}$, 所以方程的解集为

$$
\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi\right.\right\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi\right.\right\}
$$

例1.41 解方程 $\cos x=0$

解: 已知在 $(0,2 \pi)$ 内, $x=\frac{\pi}{2}$ 和 $x=\frac{3 \pi}{2}$, 所以方程的解为

$$
\begin{aligned}
& \left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right.\right\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi=\frac{\pi}{2}(2 k+1) \pi\right.\right\} \\
= & \left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right., \quad k \in Z \right\}
\end{aligned}
$$

例1.42 解方程 $\sin x=-1$
解: 解集为 $\left\{x \left\lvert\, x=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right., \quad k \in Z \right\}$

例1.43 解方程 $\cos x=2$
解: 由于任意角 $\alpha$ 的余弦具有性质 $|\cos \alpha|<1$, 因此, 方程 $\cos x=2$ 无解, 即解集为 $\emptyset$ 。

例1.44 解方程 $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
解: 由查表可知在 $[0,2 \pi)$ 内, $x=40^{\circ} 54^{\prime}$ 和 $x=220^{\circ} 54^{\prime}$. 所以方程的解为

$$
\begin{aligned}
& \left\{x \mid x=40^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 360^{\circ}\right\} \cup\left\{x \mid x=220^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 360^{\circ}\right\} \\
= & \left\{x \mid x=40^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 180^{\circ}, k \in Z \right\}
\end{aligned}
$$

一般地，可以概括出：
- 方程 $\sin x=a$ 与 $\cos x=a$, 当 $|a| \leq 1$ 时有解; 当 $|a|>1$ 时无解;
- 方程 $\tan x=a$ 与 $\cot x=a$, 当 $a$ 为任意实数时, 都有解.

## 简单三角方程
有几类特殊而简单的三角方程，可以通过三角恒等变形或利用代数中解方
程的方法，将它们化成一个或几个最简单的三角方程，从而求出它们的解集．

例 1.45 解方程
1. $2 \cos 2 x=1$
3. $\sqrt{2} \sin \left(3 x-9^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $\tan \left(x+15^{\circ}\right)+1=0$
4. $\cos ^2 x-4 \cos x+2=0$

分析: 这几个三角方程的共同特点是: 只含有同一个未知数的同名三角函数. 因此可以将这个含有未知数的三角函数视为一元, 用代数方法先求出它的值, 从而归结为最简单的三角方程求解.
解:

1.原方程化为 $\cos 2 x=\frac{1}{2}$

$$
2 x= \pm \frac{\pi}{3}+2 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})
$$

所以解集是 $\left\{x \left\lvert\, x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$
2. 原方程化为 $\tan \left(x+15^{\circ}\right)=-1$
$$
x+15^{\circ}=-45^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}, \quad(k \in \mathbb{Z})
$$

所以解集是 $\left\{x \mid x=-60^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$

3. 原方程化为 $\sin \left(3 x-9^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$
$$
3 x-9^{\circ}=30^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, \quad 3 x-9^{\circ}=150^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, \quad(k \in \mathbb{Z})
$$

所以解集为
$$
\left\{x \mid x=13^{\circ}+k \cdot 120^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{x \mid x=53^{\circ}+k \cdot 120^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}
$$
4. 原方程是关于 $\cos x$ 的二次方程, 解这个方程, 得
$$
\cos x=2+\sqrt{2}, \quad \cos x=2-\sqrt{2}
$$

因为 $2+\sqrt{2}>1$, 所以 $\cos x=2+\sqrt{2}$ 无解；从 $\cos x=2-\sqrt{2}$, 可以解得: $x= \pm 54^{\circ} 9^{\prime}+k \cdot 360^{\circ},(k \in \mathbb{Z})$.
所以原方程的解集是 $\left\{x \mid x= \pm 54^{\circ} 9^{\prime}+k \cdot 360^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$
例 1.46 解方程 $2 \sin ^2 x+3 \cos x=0$.
分析：利用三角公式, 可以化为只含同一个未知数的同名函数的三角方程求解.
解：原方程化为 $2\left(1-\cos ^2 x\right)+3 \cos x=0$, 即
$$
2 \cos ^2 x+3 \cos x-2=0
$$

解这个关于 $\cos x$ 的二次方程, 得
- $\cos x=2$, 它的解集为 $\emptyset$;
- $\cos x=-\frac{1}{2}, \quad x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$

所以原方程的解集是 $\left\{x \left\lvert\, x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$.

例 1.47 解方程 $\sin ^2 x-\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin x \cdot \cos x-\cos ^2 x=0$.
分析: 方程的每一项中, 关于 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的次数都相同 (这里都是二次), 我们叫做关于 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的齐次方程, 这种特点的方程可直接观察知道 $\cos x=0$的 $x$ 值, 不会是方程的解、因此, 这类方程可以两边同除以 $\cos x$ 的某次幂而不会使方程增根或丢根的, 这样就可以归结为含有未知数正切函数的方程求解了.
解: 原方程两边同除以 $\cos ^2 x$ 得: $\tan ^2 x-\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan x-1=0$
解这个关于 $\tan x$ 的二次方程, 得
- $\tan x=\sqrt{3}, \quad x=\frac{\pi}{3}+k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$
- $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x=-\frac{\pi}{6}+k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$

所以原方程的解集是
$$
\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{3}+k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\}
$$

例 1.48 解方程 $\sin x=2 \sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)$
解：由和角公式
$$
\sin x=2\left(\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x-\cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x\right)=\sqrt{3} \cos x-\sin x
$$

所以 $2 \sin x=\sqrt{3} \cos x$, 两边同除以 $2 \cos x$, 得
$$
\tan x=\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660
$$

查表可得： $x=40^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 180^{\circ} \quad(k \in \mathbb{Z})$
所以原方程的解集是 $\left\{x \mid x=40^{\circ} 54^{\prime}+k \cdot 180^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}$

例 1.49 解方程 $\sqrt{3} \sin x=\frac{6}{\sqrt{3}} \cos ^2 \frac{x}{2}$
解：利用倍角公式变形
$$
2 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}-\frac{6}{\sqrt{3}} \cos ^2 \frac{x}{2}=0
$$

即 : $\cos \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)=0$
所以, 原方程可分解为下面两个方程解
$$
\cos \frac{x}{2}=0, \quad \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0
$$

- 若 $\cos \frac{x}{2}=0$, 则 $\frac{x}{2}= \pm \frac{\pi}{2}+2 k \pi$, 所以 $x= \pm \pi+4 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$
- 若 $\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0$, 可变形为 $\tan \frac{\pi}{2}=1$, 则 $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k \pi$, 所以 $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \quad(k \in \mathbb{Z})$
因此原方程的解集是
$$
\{x \mid x= \pm \pi+4 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right., \quad k \in \mathbb{Z}\right\}
$$

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