最后更新: 2025-05-29 20:03 查看: 201 次反馈同步训练

高考研究：三角函数的一些技巧

## 形如 $\sin \alpha \sin \beta \pm \sin \gamma \sin \theta$ 的化简

(1) 将所有角度化为锐角
(2) 利用互余角度的关系将角度个数化成两个
(3) 凑和差公式，求解
#### 典型例题
计算 $\sin 163^{\circ} \sin 223^{\circ}+\sin 253^{\circ} \sin 313^{\circ}$
极简分析：先将所有角度化为锐角：
$$
\begin{aligned}
& \sin 163^{\circ}=\sin 17^{\circ}, \sin 223^{\circ}=-\sin 43^{\circ} \\
& \sin 253^{\circ}=-\sin 73^{\circ}, \sin 313^{\circ}=-\sin 47^{\circ}
\end{aligned}
$$

代入整理得，原式 $=\sin 73^{\circ} \sin 47^{\circ}-\sin 17^{\circ} \sin 43^{\circ}$

再利用互余角度的关系： $\sin 73^{\circ}=\cos 17^{\circ}, \sin 47^{\circ}=\cos 43$
于是原式 $=\cos 17^{\circ} \cos 43^{\circ}-\sin 17^{\circ} \sin 43^{\circ}=\cos \left(17^{\circ}+43^{\circ}\right)=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$

#### 典型例题
 计算 $\cos 40^{\circ} \cos 160^{\circ}+\sin 40^{\circ} \sin 20^{\circ}$

极简分析：先将所有角度化为锐角：
$$
\cos 160^{\circ}=-\cos 20^{\circ}
$$

原式 $=-\cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ}+\sin 40^{\circ} \sin 20^{\circ}=-\cos \left(40^{\circ}+20^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}$

## 正切计算方法
(1)如果题目中同时出现 $\tan \alpha+\tan \beta$ 和 $\tan \alpha \tan \beta$ ，那就利用:
$\tan \alpha+\tan \beta=\tan (\alpha+\beta)(1-\tan \alpha \tan \beta)$ ，将 $\tan \alpha+\tan \beta$ 替换

(2)如果题目中同时出现 $\tan \alpha-\tan \beta$ 和 $\tan \alpha \tan \beta$ ，那就利用:
$\tan \alpha-\tan \beta=\tan (\alpha-\beta)(1+\tan \alpha \tan \beta)$ ，将 $\tan \alpha-\tan \beta$ 替换

#### 典型例题
 计算 $\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 25^{\circ} \tan 50^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 15^{\circ}$
极简分析：题目可以化为： $\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 50^{\circ}\left(\tan 25^{\circ}+\tan 15^{\circ}\right)$
你就会发现里面有 $\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}$ 和 $\tan 15^{\circ}+\tan 25^{\circ}$
那就利用我们的方法，将 $\tan 15^{\circ}+\tan 25^{\circ}$ 换成 $\tan \left(15^{\circ}+25^{\circ}\right)\left(1-\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}\right)$
原式 $=\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 40^{\circ}\left(1-\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}\right)$
注意到 $\tan 50^{\circ} \tan 40^{\circ}=1$ ，因此原式 $=1$.

#### 典型例题
计算 $\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}+\tan 120^{\circ}}{\

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