最后更新: 2024-09-10 08:41 查看: 166 次反馈刷题

附录：三角技巧:三角求和

## 形如 $\sin \alpha \sin \beta \pm \sin \gamma \sin \theta$ 的化简

(1) 将所有角度化为锐角
(2) 利用互余角度的关系将角度个数化成两个
(3) 凑和差公式，求解
#### 典型例题
计算 $\sin 163^{\circ} \sin 223^{\circ}+\sin 253^{\circ} \sin 313^{\circ}$
极简分析：先将所有角度化为锐角：
$$
\begin{aligned}
& \sin 163^{\circ}=\sin 17^{\circ}, \sin 223^{\circ}=-\sin 43^{\circ} \\
& \sin 253^{\circ}=-\sin 73^{\circ}, \sin 313^{\circ}=-\sin 47^{\circ}
\end{aligned}
$$

代入整理得，原式 $=\sin 73^{\circ} \sin 47^{\circ}-\sin 17^{\circ} \sin 43^{\circ}$

再利用互余角度的关系： $\sin 73^{\circ}=\cos 17^{\circ}, \sin 47^{\circ}=\cos 43$
于是原式 $=\cos 17^{\circ} \cos 43^{\circ}-\sin 17^{\circ} \sin 43^{\circ}=\cos \left(17^{\circ}+43^{\circ}\right)=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$

#### 典型例题
 计算 $\cos 40^{\circ} \cos 160^{\circ}+\sin 40^{\circ} \sin 20^{\circ}$

极简分析：先将所有角度化为锐角：
$$
\cos 160^{\circ}=-\cos 20^{\circ}
$$

原式 $=-\cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ}+\sin 40^{\circ} \sin 20^{\circ}=-\cos \left(40^{\circ}+20^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}$

## 正切计算方法
(1)如果题目中同时出现 $\tan \alpha+\tan \beta$ 和 $\tan \alpha \tan \beta$ ，那就利用:
$\tan \alpha+\tan \beta=\tan (\alpha+\beta)(1-\tan \alpha \tan \beta)$ ，将 $\tan \alpha+\tan \beta$ 替换

(2)如果题目中同时出现 $\tan \alpha-\tan \beta$ 和 $\tan \alpha \tan \beta$ ，那就利用:
$\tan \alpha-\tan \beta=\tan (\alpha-\beta)(1+\tan \alpha \tan \beta)$ ，将 $\tan \alpha-\tan \beta$ 替换

#### 典型例题
 计算 $\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 25^{\circ} \tan 50^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 15^{\circ}$
极简分析：题目可以化为： $\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 50^{\circ}\left(\tan 25^{\circ}+\tan 15^{\circ}\right)$
你就会发现里面有 $\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}$ 和 $\tan 15^{\circ}+\tan 25^{\circ}$
那就利用我们的方法，将 $\tan 15^{\circ}+\tan 25^{\circ}$ 换成 $\tan \left(15^{\circ}+25^{\circ}\right)\left(1-\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}\right)$
原式 $=\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 40^{\circ}\left(1-\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}\right)$
注意到 $\tan 50^{\circ} \tan 40^{\circ}=1$ ，因此原式 $=1$.

#### 典型例题
计算 $\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}+\tan 120^{\circ}}{\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}}=$
极简分析: 分析题目中有 $\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}$ 和 $\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}$

于是利用我们的方法，将 $\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}$ 换成 $\tan \left(20^{\circ}+40^{\circ}\right)\left(1-\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}\right)$
原式 $=\frac{\tan 60^{\circ}\left(1-\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}\right)+\tan 120^{\circ}}{\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}}$ ，化简得原式 $=-\sqrt{3}$

## tan45°的应用
秒杀结论:
$$
\frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right), \frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)
$$

分子为加便为加，分子为减便为减

再结合起 $\tan (-x)=-\tan x$ 能解决更多的问题.

原理：
$$
\begin{aligned}
& \frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \alpha}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan \alpha}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) \\
& \frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}=\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \alpha}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \alpha}=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)
\end{aligned}
$$

#### 典型例题
计算 $\frac{1+\tan 75^{\circ}}{1-\tan 75^{\circ}}$

极简分析：直接利用结论：
$$
\frac{1+\tan 75^{\circ}}{1-\tan 75^{\circ}}=\tan \left(45^{\circ}+75^{\circ}\right)=\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3}
$$

#### 典型例题
已知 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}$ 的值为
极简分析：对 $\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}$ 的分子分母同时除以 $\cos \alpha$
$$
\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}=\frac{\tan \alpha-1}{\tan \alpha+1}=-\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}
$$

利用我们的结论，原式 $=-\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$

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