最后更新: 2025-05-29 20:02 查看: 62 次反馈同步训练

解三角形

## 边角关系
正弦定理

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$

余弦定理 
- 第一种形式：

$$
\begin{aligned}
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A \\
& b^2=a^2+c^2-2 a c \cos B \\
& c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C
\end{aligned}
$$

－第二种形式：

$$
\begin{aligned}
& \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} \\
& \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c} \\
& \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
\end{aligned}
$$

## 三角间的关系
－内角和：$A+B+C=\pi$
－ $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$
－ $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}=1$
－角元公式：

$$
\begin{aligned}
& \sin ^2 A=\sin ^2 B+\sin ^2 C-2 \sin B \sin C \cos A \\
& \sin ^2 B=\sin ^2 A+\sin ^2 C-2 \sin A \sin C \cos B \\
& \sin ^2 C=\sin ^2 A+\sin ^2 B-2 \sin A \sin B \cos C
\end{aligned}
$$

## 三角形面积公式

三角形面积公式
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, ~ B, ~ C$ 的对边分别为 $a, ~ b, ~ c$ ，则三角形面积
- 高与底：$S=\frac{1}{2} a h_a=\frac{1}{2} b h_b=\frac{1}{2} c h_c$
- 两边与夹角：$S=\frac{1}{2} b c \cdot \sin A=\frac{1}{2} a c \cdot \sin B=\frac{1}{2} a b \cdot \sin C$
- 三边与外接圆半径：$S=\frac{a b c}{4 R}$
- 三边与内切圆半径：$S=\frac{(a+b+c) r}{2}$
- 海伦公式 ${ }^{+}: ~ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p=\frac{a+b+c}{2}$

- 用向量面积公式。

> **在求面积时,还有一个向量面积公式**，这个公式用的不多，但是在某些情况下，特别是在解析几何里，知道了三角形坐标，很容易求面积，具体推导见 [向量计算面积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1345)

## 内心，外心，重心，垂心
- O是 $\triangle ABC$ 内心的充要条件：$a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}+c \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$
- O，H分别是 $\triangle ABC$ 内心，垂心，那么 $\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$
- 三角形的外心，重心，垂心共线
- 已知 $\triangle ABC$ 的三点坐标为 $\left(x_A, y_A\right),\left(x_B, y_B\right),\left(x_C, y_C\right)$ ，三边依次为 $a, b, c$ ，则
- 内心坐标：$\left(\frac{a \cdot x_A+b \cdot x_B+c \cdot x_C}{a+b+c}, \frac{a \cdot y_A+b \cdot y_B+c \cdot y_C}{a+b+c}\right)$
- 外心横，纵坐标分别为：$\left\{\begin{array}{l}\frac{\left(y_C-y_B\right)\left(x_A^2+y_A^2-x_B^2-y_B^2\right)-\left(y_A-y_B\right)\left(x_C^2+y_C^2-x_B^2-y_B^2\right)}{2\left(x_A-x_B\right)\left(y_C-y_B\right)-2\left(y_A-y_B\right)\left(x_C-x_B\right)} \\ \frac{\left(x_A-x_B\right)\left(x_C^2+y_C^2-x_B^2-y_B^2\right)-\left(x_C-x_B\right)\left(x_A^2+y_A^2-x_B^2-y_B^2\right)}{2\left(x_A-x_B\right)\left(y_C-y_B\right)-2\left(y_A-y_B\right)\left(x_C-x_B\right)}\end{array}\right.$
- 垂心坐标：$\left(\frac{\frac{a}{\cos A} x_A+\frac{b}{\cos B} x_B+\frac{c}{\cos C} x_C}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}}, \frac{\frac{a}{\cos A} y_A+\frac{b}{\cos B} y_B+\frac{c}{\cos C} y_C}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}}\right)$
- 重心坐标：$\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$

## 总结
下面是一些总结
![图片](/uploads/2025-04/f6bc9f.jpg)

`例`已知在 $\triangle A B C$ 中，$B=60^{\circ}, A C=\sqrt{3}$ ，求 $A B+2 B C$ 的最大值。

解析：因为 $B=60^{\circ}, A+B+C=180^{\circ}$ ，所以 $A+C=120^{\circ}$ ．
由正弦定理，得 $\frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}=\frac{A C}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 6

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