最后更新: 2025-04-14 19:50 查看: 10 次反馈刷题

函数的平移变换与伸缩变换

##  函数的平移变换与伸缩变换
函数图像的基本变换方式有三种：平移，伸缩，旋转。现在系统学习平移变换和伸缩变换的原理和规律。旋转变换将在复数一章学习。

1．函数图像的平移变换
函数图像的平移变换是指在不改变函数图像的形状的情况下，将函数图像沿着某个方向平移。

基本的平移方向有两个：沿水平方向左右平移，沿坚直方向上下平移。沿其他方向的平移都可以分解为这两个方向平移的组合。

沿坚直（ $y$ 轴）方向平移
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式整体加上正数 $C$ ，变为：
$$
y=f(x)+C
$$

那么函数图像沿 $y$ 轴正方向平移 $C$ 个单位。
当 $C>0$ 时，函数图像向上平移；当 $C<0$ 时，函数图像向下平移。
沿水平（ $x$ 轴）方向平移
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式中的 $x$ 全都替换为 $x-b$ ，变为：

$$
y=f(x-b)
$$

那么函数图像沿 $x$ 轴正方向平移 $b$ 个单位。
当 $b>0$ 时，函数图像向右平移；当 $b<0$ 时，函数图像向左平移。
实际上，函数图像沿坚直和水平方向平移的原理相同。将 $y=f(x)+C$ 等式右边的 $C$ 移到等式左边，变为 $y-C=f(x)$ ，就相当于将 $y=f(x)$ 中的 $y$ 都替换为 $y-C$ ，函数图像整体向 $y$ 轴正方向移动 $C$ 个单位。这样一来，沿水平方向和坚直方向平移的规律就一致了。

下面是正弦函数 $y=\sin x$ 以及分别向右，左，上，下平移后的图像，注意观察并比较函数解析式的变化与图像位置变化之间的关系。
 ![图片](/uploads/2025-04/aa6ca6.jpg)
 
 2．函数图像的伸缩变换
函数图像的伸缩变换是指在不改变函数图像的基本形状的情况下，将函数图像沿水平方向或坚直方向＂拉伸＂或＂压缩＂。

沿坚直（ $y$ 轴）方向伸缩
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式整体乘以实数 $A$ ，变为：

$$
y=A f(x)
$$

那么函数图像沿坚直方向伸缩为原来的 $A$（倍）。
当 $A>1$ 时，函数图像沿坚直方向拉伸为 $A$ 倍；
当 $0<A<1$ 时，函数图像沿坚直方向压缩为 $A$ ；
当 $A<0$ 时，函数图像沿坚直方向伸缩为 $A$（倍）后，再以 $x$ 轴为对称轴上下对调。

沿水平（ $x$ 轴）方向伸缩
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式中的 $x$ 全都替换为 $k x$ ，变为：

$$
y=f(k x)
$$

那么函数图像沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{k}$（倍）。
当 $k>1$ 时，函数图像沿水平方向压缩为 $\frac{1}{k}$ ；
当 $0<k<1$ 时，函数图像沿水平方向拉伸为 $\frac{1}{k}$ 倍；
当 $k<0$ 时，函数图像沿水平方向伸缩为 $\frac{1}{k}$（倍）后，再以 $y$ 轴为对称轴左右对调。

实际上，函数图像沿坚直和水平方向伸缩的原理也相同。将 $y=A f(x)$ 等式右边的 $A$ 移到等式左边，变为 $\frac{y}{A}=f(x)$ ，就相当于将 $y=f(x)$ 中的 $y$ 都替换为 $\frac{y}{A}$ ，函数图像整体沿坚直方向伸缩为 $A$（倍）。这样一来，沿水平方向和坚直方向伸缩的规律就一致了。

下面是正弦函数 $y=\sin x$ 以及分别沿坚直和水平方向被拉伸或压缩后的图像，注意观察比较函数解析式的变化与图像伸缩变化之间的关系。
 ![图片](/uploads/2025-04/26145a.jpg)
 3．竖直变换与水平变换的异同
将函数 $y=f(x)$ 的解析式变为 $y=A f(x)+C$ 后，其图像先沿坚直方向伸缩为 $A$（倍），后沿 $y$ 轴正方向平移 $C$ 个单位。

将函数 $y=f(x)$ 的解析式变为 $y=f(k x-b)$ 后，其图像先沿 $x$ 轴正方向移动 $b$个单位，后沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{k}$（倍）。

可以发现，对函数解析式进行处理，使得函数图像沿水平方向与坚直方向进行变换的过程中，函数图像的变化顺序恰好相反：
（1）坚直方向是先伸缩后平移，水平方向是先平移后伸缩；
（2）坚直方向上，如果函数解析式整体乘以 $A$ ，那么图像伸缩为 $A$（倍）；水平方向上，如果令所有 $x$ 乘以 $k$ ，那么图像伸缩为 $\frac{1}{k}$（倍）；
（3）坚直方向上，如果函数解析式加上 $C$ ，那么图像沿 $y$ 轴正方向移动 $C$ 个单位；水平方向上，如果令所有 $x$ 减去 $b$ ，那么图像沿 $x$ 轴正方向移动 $b$ 个单位。

虽然坚直与水平方向上变换的规律截然相反，但它们的原理实质上相同。将坚直方向变换 $y=A f(x)+C$ 中的系数 $A$ 和 $C$ 移到函数解析式左边，变为：

$$
\frac{y-C}{A}=f(x)
$$

这样一来，函数图像分别沿坚直方向与水平方向的变换，解析式中的因变量 $y$ 与自变量 $x$ 变化方式之间的关系就一致了。解析式中，若 $x$ 或 $y$ 直接减去常数 $C$ ，则函数图像沿 $x$ 轴或 $y$ 轴正方向平移 $C$ 个单位；若 $x$ 或 $y$ 直接乘以常数 $A$ ，则函数图像沿 $x$ 轴或 $y$ 轴伸缩为 $\frac{1}{A}$（倍）。根本原理都是解析式的变化要能与函数上点坐标的变化相互抵消，才能令解析式的等号仍然成立。

4．伸缩变换与平移变换的顺序
函数图像沿坚直方向的变换中，函数的解析式由 $y=f(x)$ 变为 $\frac{y-C}{A}=f(x)$ ；函数图像沿水平方向的变换中，函数的解析式由 $y=f(x)$ 变为 $y=f(k x-b)$ 。函数图像的变化顺序都是先进行离变量较远的运算，后进行离变量较近的运算。

坚直方向的变换中，因变量 $y$ 先减去 $C$ ，后除以 $A$ ，图像变换的顺序为先伸缩为 $A$ 倍，后平移 $C$ 个单位。
水平方向的变换当中，自变量 $x$ 先乘以 $k$（除以 $\frac{1}{k}$ ），后减去 $b$ ，图像变换的顺序为先平移 $b$ 个单位，后伸缩为 $\frac{1}{k}$ 。
＂先远后近＂的顺序是由于离变量较近的运算只作用于变量自身，而离变量较远的运算作用于比它更靠近变量的表达式整体。

坚直方向的变换当中，后进行的平移变换 $y-C$ 只作用于 $y$ ，先进行的伸缩变换 $\frac{y-C}{A}$ 是 $(y-C)$ 整体除以 $A$ ，这一步作用于 $(y-C)$ 整体。

变换顺序为：先把 $y=f(x)$ 伸缩为 $\frac{y}{A}=f(x)$ ，再只对伸缩后的函数中的 $y$ 进行平移，变为 $\frac{y-C}{A}=f(x)$ 。
水平方向的变换中，后进行的伸缩变换 $k x$ 只作用于 $x$ ，先进行的平移变换 $k x-b$ 是 $k x$ 整体减去 $b$ ，这一步作用于 $k x$ 整体。

变换步骤为：先将 $y=f(x)$ 进行平移，变为 $y=f(x-b)$ ，再只对平移后的函数中的 $x$ 进行伸缩变换，变为 $y=f(k x-b)$ 。

如果对 $y=f(x)$ 沿水平方向先进行伸缩变换，后进行平移变换，那么在处理解析的顺序和参数为：
（1）将 $x$ 替换为 $k x$ ，解析式由 $y=f(x)$ 变为 $y=f(k x)$ ；
（2）将 $x$ 替换为 $x-b$ ，解析式由 $y=f(k x)$ 变为 $y=f(k(x-b))$ 。
综上，对函数图像进行平移和伸缩变换的总体规律为：
（1）函数图像变换后，函数解析式中的 $x$ 和 $y$ 需替换为恰好抵消函数上点的坐标的变化，才能维持函数等式关系的成立；
（2）对照函数的解析式和函数图像先后进行平移和伸缩变换时，越接近变量的运算，变换顺序越靠后。

上述变换的基本原理和规律，适用于高中阶段所学习的幕函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有基本初等函数。

例 1 分析将函数 $y=x^2$ 变换为 $y=2 x^2+4 x+1$ ，函数图像的变换过程。
解析：首先将 $y=2 x^2+4 x+1$ 化为二次函数的标准形式：

$$
y=2(x+1)^2-1
$$

由 $y=x^2$ 变换为 $y=2(x+1)^2-1$ 共有三个步骤：
第一步：将 $y=x^2$ 沿水平方向向左平移 1 个单位，变为 $y=(x+1)^2$ ，
第二步：将 $y=(x+1)^2$ 沿坚直方向拉伸为原来的 2 倍，变为 $y=2(x+1)^2$ ，
第三步：将 $y=2(x+1)^2$ 沿坚直方向向下平移 1 个单位，变为 $y=2(x+1)^2-1$ 。

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