最后更新: 2025-05-29 19:56 查看: 219 次反馈同步训练

函数的平移变换与伸缩变换

##  函数的平移变换与伸缩变换
函数图像的基本变换方式有三种：平移，伸缩，旋转。现在系统学习平移变换和伸缩变换的原理和规律。旋转变换将在复数一章学习。

1．函数图像的平移变换
函数图像的平移变换是指在不改变函数图像的形状的情况下，将函数图像沿着某个方向平移。

基本的平移方向有两个：沿水平方向左右平移，沿坚直方向上下平移。沿其他方向的平移都可以分解为这两个方向平移的组合。

沿坚直（ $y$ 轴）方向平移
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式整体加上正数 $C$ ，变为：
$$
y=f(x)+C
$$

那么函数图像沿 $y$ 轴正方向平移 $C$ 个单位。
当 $C>0$ 时，函数图像向上平移；当 $C<0$ 时，函数图像向下平移。
沿水平（ $x$ 轴）方向平移
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式中的 $x$ 全都替换为 $x-b$ ，变为：

$$
y=f(x-b)
$$

那么函数图像沿 $x$ 轴正方向平移 $b$ 个单位。
当 $b>0$ 时，函数图像向右平移；当 $b<0$ 时，函数图像向左平移。
实际上，函数图像沿坚直和水平方向平移的原理相同。将 $y=f(x)+C$ 等式右边的 $C$ 移到等式左边，变为 $y-C=f(x)$ ，就相当于将 $y=f(x)$ 中的 $y$ 都替换为 $y-C$ ，函数图像整体向 $y$ 轴正方向移动 $C$ 个单位。这样一来，沿水平方向和坚直方向平移的规律就一致了。

下面是正弦函数 $y=\sin x$ 以及分别向右，左，上，下平移后的图像，注意观察并比较函数解析式的变化与图像位置变化之间的关系。
 ![图片](/uploads/2025-04/aa6ca6.jpg)
 
 2．函数图像的伸缩变换
函数图像的伸缩变换是指在不改变函数图像的基本形状的情况下，将函数图像沿水平方向或坚直方向＂拉伸＂或＂压缩＂。

沿坚直（ $y$ 轴）方向伸缩
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式整体乘以实数 $A$ ，变为：

$$
y=A f(x)
$$

那么函数图像沿坚直方向伸缩为原来的 $A$（倍）。
当 $A>1$ 时，函数图像沿坚直方向拉伸为 $A$ 倍；
当 $0<A<1$ 时，函数图像沿坚直方向压缩为 $A$ ；
当 $A<0$ 时，函数图像沿坚直方向伸缩为 $A$（倍）后，再以 $x$ 轴为对称轴上下对调。

沿水平（ $x$ 轴）方向伸缩
对于函数 $y=f(x)$ ，如果将解析式中的 $x$ 全都替换为 $k x$ ，变为：

$$
y=f(k x)
$$

那么函数图像沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{k}$（倍）。
当 $k>1$ 时，函数图像沿水平方向压缩为 $\frac{1}{k}$ ；
当 $0<k<1$ 时，函数图像沿水平方向拉伸为 $\frac{1}{k}$ 倍；
当 $k<0$ 时，函数图像沿水平方向伸缩为 $\frac{1}{k}$（倍）后，再以 $y$ 轴为对称轴左右对调。

实际上，函数图像沿坚直和水平方向伸缩的原理也相同。将 $y=A f(x)$ 等式右边的 $A$ 移到等式左边，变为 $\frac{y}{A}=f(x)$ ，就相当于将 $y=f(x)$ 中的 $y$ 都替换为 $\frac{y}{A}$ ，函数图像整体沿坚直方向伸缩为 $A$（倍）。这样一来，沿水平方向和坚直方向伸缩的规律就一致了。

下面是正弦函数 $y=\sin x$ 以及分别沿坚直和水平方向被拉伸或压缩后的图像，注意观察比较函数解析式的变化与图像伸缩变化之间的关系。
 ![图片](/uploads/2025-04/26145a.jpg)
 3．竖直变换与水平变换的异同
将函数 $y=f(x)$ 的解析式变为 $y=A f(x)+C$ 后，其图像先沿坚直方向伸缩为 $A$（倍），后沿 $y$ 轴正方向平移 $C$ 个单位。

将函数 $y=f(x)$ 的解析式变为 $y=f(k x-b)$ 后，其图像先沿 $x$ 轴正方向移动 $b$个单位，后沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{k}$（倍）。

可以发现，对函数解析式进行处理，使得函数图像沿水平方向与坚直方向进行变换的过程中，函数图像的变化顺序恰好相反：
（1）坚直方向是先伸缩后平移，水平方向是先平移后伸缩；
（2）坚直方向上，如果函数解析式整体乘以 $A$ ，那么图像伸缩为 $A$（倍）；水平方向上，如果令所有 $x$ 乘以 $k$ ，那么图像伸缩为 $\frac{1}{k}$（倍）；
（3）坚直方向上，如果函数解析式加上 $C$ ，那么图像沿 $y$ 轴正方向移动 $C$ 个单位；水平方向上，如果令所有 $x$ 减去 $b$ ，那么图像沿 $x$ 轴正方向移动 $b$ 个单位。

虽然坚直与水平方向上变换的规律截然相反，但它们的原理实质上相同。将坚直方向变换 $y

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