最后更新: 2025-05-29 19:50 查看: 246 次反馈同步训练

振幅、频率与相位

## 振幅、频率与相位
在现实世界中，周期现象比比皆是．例如，在物理和工程技术中，为了表示交流电的电流 $y$ 与时间 $t$ 的关系，简谐振动中位移 $y$ 与时间 $t$ 的关系等，人们往往用形如 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$（其中 $A, \omega, \varphi$ 是常数）的函数来表示。

例如，简谐振动中（如图 5．4－1），弹簧下面悬挂着的小球在位置 $O$ 处于平衡状态。将小球坚直向下拉到某个位置，然后放开，小球就在平衡位置的附近往复运动。为了描述小球的坐标位置 $y$（又称位移）随着时间 $t$ 的变化图象，我们在小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象，如图 5．4－2．
 ![图片](/uploads/2025-02/6ae9e4.jpg)
 我们还可以借助传感器和计算机描绘小球振动的图象如图所示
  ![图片](/uploads/2025-02/856a87.jpg)
  
  观察图 5．4－3 可以发现，这与我们熟悉的正弦曲线很相似．思考函数 $y=\sin x$与函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 之间有哪些关系呢？显然，前者就是后者在 $A=1, \omega=1$ ， $\varphi=0$ 时的特殊情况．下面，我们来探索函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的图象，并分析参数 $A$ ， $\omega, \varphi$ 对 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的图象的影响．
  
  例 1 在同一直角坐标系中画出 $y=\sin x, y=2 \sin x, y=\frac{1}{2} \sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期，最大值，最小值，值域之间的关系。

解 函数 $y=\sin x, y=2 \sin x, y=\frac{1}{2} \sin x$ 的周期都是 $2 \pi$ ，在 $[-\pi, \pi]$ 上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图 5．4－4．
 ![图片](/uploads/2025-02/8d31c7.jpg)
 
 观察图 5．4－4，可以看出：
$y=2 \sin x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的横坐标不变，纵坐标乘以 2 （到 $x$ 轴的距离放大到原来的 2 倍）得到。因而 $y=2 \sin x$ 的周期仍是 $2 \pi$ ，最大值和最小值分别变为 2 和 -2 ，值域变成了 $[-2,2]$ ，也就是说＂振动幅度＂扩大到 $y=\sin x$ 的 2 倍。

类似地，$y=\frac{1}{2} \sin x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的横坐标不变，纵坐标乘以 $\frac{1}{2}$（到 $x$ 轴的距离缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ）得到．因而 $y=\frac{1}{2} \sin x$ 的周期仍是 $2 \pi$ ，最大值和最小值分别变为 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{2}$ ，值域变为 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ ，＂振动幅度＂缩小为 $y=\sin x$ 的 $\frac{1}{2}$ ．

一般地，对任意 $A>0$ 且 $A \neq 1$ ，函数 $y=A \sin x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以 $A$得到．$y=A \sin x$ 的周期仍是 $2 \pi$ ，值域为 $[-A, A]$ ，最大值和最小值分别为 $A$ 和 $-A$ 。

例 2 在同一直角坐标系中画出 $y=\sin x, y=\sin 2 x, y=\sin \frac{1}{2} x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期，最大值，最小值，值域之间的关系。

解 通过＂五点法＂作出函数 $y=\sin x, y=\sin 2 x, y=\sin \frac{1}{2} x$ 在区间 $[-2 \pi$ ， $2 \pi]$ 上的简图，如图 5．4－5．
 ![图片](/uploads/2025-02/9b0367.jpg)
 
 观察图 5．4－5，可以看出：
$y=\sin 2 x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的纵坐标不变，横坐标除以 $2\left(\right.$ 到 $y$ 轴的距离缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ）得到。因而 $y=\sin 2 x$ 的值域，最大值，最小值都与 $y=\sin x$ 相同，周期缩短为 $\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．
$y=\sin \frac{1}{2} x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的纵坐标不变，横坐标除以 $\frac{1}{2}$（到 $y$ 轴的距离放大到原来的 2 倍）得到．因而 $y=\sin \frac{1}{2} x$ 的值域，最大值，最小值都与 $y=\sin x$ 相同，周期扩大为 $2 \pi \cdot 2=4 \pi$ ．

一般地，对任意 $\omega>0$ 且 $\omega \neq 1$ ，函数 $y=\sin \omega x$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长 $(0<\omega<1)$ 或缩短 $(\omega>1)$ 为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 而得到．$y=\sin \om

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