最后更新: 2025-02-13 15:08 查看: 93 次反馈刷题

振幅、频率与相位

在现实世界中，周期现象比比皆是．例如，在物理和工程技术中，为了表示交流电的电流 $y$ 与时间 $t$ 的关系，简谐振动中位移 $y$ 与时间 $t$ 的关系等，人们往往用形如 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$（其中 $A, \omega, \varphi$ 是常数）的函数来表示。

例如，简谐振动中（如图 5．4－1），弹簧下面悬挂着的小球在位置 $O$ 处于平衡状态。将小球坚直向下拉到某个位置，然后放开，小球就在平衡位置的附近往复运动。为了描述小球的坐标位置 $y$（又称位移）随着时间 $t$ 的变化图象，我们在小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象，如图 5．4－2．
 ![图片](/uploads/2025-02/6ae9e4.jpg)
 我们还可以借助传感器和计算机描绘小球振动的图象如图所示
  ![图片](/uploads/2025-02/856a87.jpg)
  
  观察图 5．4－3 可以发现，这与我们熟悉的正弦曲线很相似．思考函数 $y=\sin x$与函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 之间有哪些关系呢？显然，前者就是后者在 $A=1, \omega=1$ ， $\varphi=0$ 时的特殊情况．下面，我们来探索函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的图象，并分析参数 $A$ ， $\omega, \varphi$ 对 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的图象的影响．
  
  例 1 在同一直角坐标系中画出 $y=\sin x, y=2 \sin x, y=\frac{1}{2} \sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期，最大值，最小值，值域之间的关系。

解 函数 $y=\sin x, y=2 \sin x, y=\frac{1}{2} \sin x$ 的周期都是 $2 \pi$ ，在 $[-\pi, \pi]$ 上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图 5．4－4．
 ![图片](/uploads/2025-02/8d31c7.jpg)
 
 观察图 5．4－4，可以看出：
$y=2 \sin x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的横坐标不变，纵坐标乘以 2 （到 $x$ 轴的距离放大到原来的 2 倍）得到。因而 $y=2 \sin x$ 的周期仍是 $2 \pi$ ，最大值和最小值分别变为 2 和 -2 ，值域变成了 $[-2,2]$ ，也就是说＂振动幅度＂扩大到 $y=\sin x$ 的 2 倍。

类似地，$y=\frac{1}{2} \sin x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的横坐标不变，纵坐标乘以 $\frac{1}{2}$（到 $x$ 轴的距离缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ）得到．因而 $y=\frac{1}{2} \sin x$ 的周期仍是 $2 \pi$ ，最大值和最小值分别变为 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{2}$ ，值域变为 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ ，＂振动幅度＂缩小为 $y=\sin x$ 的 $\frac{1}{2}$ ．

一般地，对任意 $A>0$ 且 $A \neq 1$ ，函数 $y=A \sin x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以 $A$得到．$y=A \sin x$ 的周期仍是 $2 \pi$ ，值域为 $[-A, A]$ ，最大值和最小值分别为 $A$ 和 $-A$ 。

例 2 在同一直角坐标系中画出 $y=\sin x, y=\sin 2 x, y=\sin \frac{1}{2} x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期，最大值，最小值，值域之间的关系。

解 通过＂五点法＂作出函数 $y=\sin x, y=\sin 2 x, y=\sin \frac{1}{2} x$ 在区间 $[-2 \pi$ ， $2 \pi]$ 上的简图，如图 5．4－5．
 ![图片](/uploads/2025-02/9b0367.jpg)
 
 观察图 5．4－5，可以看出：
$y=\sin 2 x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的纵坐标不变，横坐标除以 $2\left(\right.$ 到 $y$ 轴的距离缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ）得到。因而 $y=\sin 2 x$ 的值域，最大值，最小值都与 $y=\sin x$ 相同，周期缩短为 $\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．
$y=\sin \frac{1}{2} x$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的纵坐标不变，横坐标除以 $\frac{1}{2}$（到 $y$ 轴的距离放大到原来的 2 倍）得到．因而 $y=\sin \frac{1}{2} x$ 的值域，最大值，最小值都与 $y=\sin x$ 相同，周期扩大为 $2 \pi \cdot 2=4 \pi$ ．

一般地，对任意 $\omega>0$ 且 $\omega \neq 1$ ，函数 $y=\sin \omega x$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长 $(0<\omega<1)$ 或缩短 $(\omega>1)$ 为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 而得到．$y=\sin \omega x$ 的值域为 $[-1, ~ 1]$ ，周期为 $\frac{2 \pi}{\omega}$ ．

例 3 在同一直角坐标系中画出 $y=\sin x, y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right), y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系．

解 通过＂五点法＂画出函数 $y=\sin x, y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right), y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在一个周期内的简图，如图 5．4－7．
 ![图片](/uploads/2025-02/26337e.jpg)
 
 观察图 5．4－7，可以发现：
$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的纵坐标不变，横坐标减去 $\frac{\pi}{4}$ 得到，也就是将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度得到． $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象上每一点 $(x, \sin x)$ 的纵坐标不变，横坐标加上 $\frac{\pi}{4}$ 得到，也就是将 $y=\sin x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度得到．

一般地，$y=\sin (x+\varphi)(x \in R$ ，常数 $\varphi \neq 0)$ 的图象可以由 $y=\sin x$ 的图象向左（当 $\varphi>0$ ）或向右（当 $\varphi<0$ ）平移 $|\varphi|$ 个单位长度得到．

一般地，设 $A>0, \omega>0, \varphi$ 是常数，函数

$$
y=A \sin (\omega x+\varphi)
$$

的图象可经过以下步骤得到：
将正弦曲线 $y=\sin x$ 向左（当 $\varphi>0$ ）或向右（当 $\varphi<0$ ）平移 $|\varphi|$ 个单位长度；
再将所得曲线上每一点的横坐标伸长 $(0<\omega<1)$ 或缩短 $(\omega>1)$ 为原来的 $\frac{1}{\omega}$（纵坐标不变）；

进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大 $(A>1)$ 或缩小 $(0<A<1)$ 为原来的 $A$倍（横坐标不变）。

函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的值域为 $[-A, ~ A]$ ，周期为 $\frac{2 \pi}{\omega}$ ．
现在，我们回过头来重新审视本节开头提到的简谐振动的图象（图 5．4－2，图 5．4－3）。数学上可以证明，这些图象所对应的函数解析式为 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的形式，而式子中的参数在物理学中有明确的意义。例如简谐振动中，$A$ 表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为**振幅**。

若 $x$ 表示时间 $\left(x \in[0,+\infty)\right.$ ），则这个简谐振动的周期是 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ ，而 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2 \pi}$表示单位时间内往复振动的次数，称为**频率** . \omega x+\varphi$ 称为相位．$x=0$ 时的相位 $\varphi$称为**初相**．

`例`图 5．4－10 为某简谐振动的图象，试根据图象回答下列问题：
 ![图片](/uploads/2025-02/1ac68c.jpg)
 （1）求该简谐振动的振幅，周期，频率和初相；
（2）求 $t=15 s$ 时，振子相对于平衡位置的位移；
（3）写出这个简谐振动的函数解析式．

解（1）从图象上可以看出，这个简谐振动的振幅为 2 cm ，周期为 4 s ，频率为 $\frac{1}{4} Hz$ ，初相为 0 ．
（2）由于振动的周期为 4 s ，因此当 $t=15 s$ 时，位移 $y$ 为 -2 cm ．
（3）设这个简谐振动的函数解析式为

$$
y=A \sin (\omega t+\varphi), t \in[0,+\infty)
$$

由 $\frac{2 \pi}{\omega}=4$ ，得 $\omega=\frac{\pi}{2}$ ．
又 $A=2, \varphi=0$ ，于是该简谐振动的函数解析式为

$$
y=2 \sin \frac{\pi}{2} t, t \in[0,+\infty)
$$

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：函数的平移变换与伸缩变换

下一篇：解三角形

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)