最后更新: 2025-05-29 19:55 查看: 63 次反馈同步训练

函数 y = A sin(mx α) 图像平移

##  函数 $y=A \sin (\omega t+\varphi)$ 的图像
以基本的正弦函数 $y=\sin x$ 为基础，经过三个步骤的变化，可以得到一般的正弦函数 $y=A \sin (\omega t+\varphi)$ ，解析式变换的过程同步揭示图像的变化方式。

1．从 $y=\sin x$ 到 $y=\sin (x+\varphi)$
该变化表示：将函数 $y=\sin x$ 的图像向左平移 $\varphi$ 个单位，其对称轴，对称中心，单调区间，最大值和最小值点也都向左平移 $\varphi$ 个单位，各周期的端点也都向左平移 $\varphi$ 个单位，周期的大小不变。

当 $\varphi>0$ 时，函数图像整体向左平移；当 $\varphi<0$ 时，函数图像整体向右平移。该变换的原理为：设 $\left(x_0, \sin x_0\right)$ 是原函数 $y=\sin x$ 上的点，将函数向左平移 $\varphi$个单位后，仅横坐标变化，纵坐标不变。

点 $\left(x_0, \sin x_0\right)$ 的坐标变为 $\left(x_0-\varphi, \sin x_0\right)$ ，于是函数解析式中所有的 $x$ 都需要变为 $(x+\varphi)$ ，才能令平移后的点 $\left(x_0-\varphi, \sin x_0\right)$ 仍在函数解析式上：

$$
\sin \left[\left(x_0-\varphi\right)+\varphi\right]=\sin x_0=y_0
$$

下面是画在同一坐标系中的函数 $y=\sin x$（实线）与 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right.$ ）（虚线）的图像，注意观察它们沿水平方向的平移关系。
 ![图片](/uploads/2025-04/163136.jpg)
 
 2．从 $y=\sin (x+\varphi)$ 到 $y=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$
该变化表示：将函数 $y=\sin (x+\varphi)$ 的图像，沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{\omega}$ ，其周期和单调区间也进行相同的伸缩，对称轴，对称中心，最大值和最小值点的横坐标也因为伸缩而变化。

当 $\omega>1$ 时，函数图像整体沿水平方向压缩为 $\frac{1}{\omega}$（此时 $0<\frac{1}{\omega}<1$ ）。当 $0<\omega<1$时，函数图像整体沿水平方向拉伸为 $\frac{1}{\omega}$ 倍（此时 $\frac{1}{\omega}>1$ ）。当 $\omega<0$ 时，函数图像在整体伸缩的基础上，再以 $y$ 轴为对称轴左右颠倒。

该变换的原理为：设 $\left(x_0, \sin \left(x_0+\varphi\right)\right)$ 是原函数 $y=\sin (x+\varphi)$ 上的点，将函数沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 后，仅横坐标变化，纵坐标不变，点 $\left(x_0, \sin \left(x_0+\varphi\right)\right)$的坐标变为 $\left(\frac{1}{\omega} x_0, \sin \left(x_0+\varphi\right)\right)$ ，于是函数解析式中所有的 $x$ 都需要变为 $\omega x$ ，才能令点 $\left(\frac{1}{\omega} x_0, \sin \left(x_0+\varphi\right)\right)$ 仍在函数解析式上：

$$
\sin \left[\omega\left(\frac{1}{\omega} x_0\right)+\varphi\right]=\sin \left(x_0+\varphi\right)=y_0
$$

下面是画在同一坐标系中的函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$（实线）与 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$（虚线）的图像，注意观察它们沿水平方向的伸缩关系。
 ![图片](/uploads/2025-04/5ea4f5.jpg)
 
 3．从 $y=\sin (\omega x+\varphi)$ 到 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$
该变化表示：将函数 $y=\sin (\omega x+\varphi)$ 的图像，沿坚直方向伸缩为原来的 $A$ 倍，其周期，单调区间，对称轴，对称中心不变，仅最大值和最小值分别变为 $A$ 和 $-A$ 。

该变换的原理为：原函数 $y=\sin (\omega x+\varphi)$ 的所有函数值都乘以 $A$ ，变为原来的 $A$ 倍。

下面是画在同一坐标系中的函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$（实线）与 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ （虚线）的图像，注意观察它们沿坚直方向的伸缩关系。

![图片](/uploads/2025-04/fa268c.jpg)
 
 
 4．从 $y=\sin x$ 到 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$
综上，将函数 $y=\sin x$ 变为 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ ，函数图像依次发生的变化为：
（1）沿水平方向向左平移 $\varphi$ 个单位；
（2）沿水平方向伸缩为原来的 $\frac{1}{\omega}$ ；
（3）沿坚直方向伸缩为原来的 $A$ 倍。
需注意，上述变换顺序不能改变。如果要将函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 变回 $y=\sin x$ ，则需按照相反的顺序依次变换。

还需特别注意，函数进行水平方向上的平移变换时，函数解析式的变化（加或减），跟函数上的点，区间，对称轴上的变化（减或加）相反。

函数进行水平方向的伸缩变换时，函数解析式的变化（乘或除），跟函数上的点，区间，对称轴上的变化（除或乘）也相反。

`例` 求下列函数的单调区间，最小正周期，取最大值和最小值的点：
（1）$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ；
（2）$y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 。
解析：（1）将 $y=\sin x$ 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ， $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right](k \in Z )$ 单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right](k \in Z )$ 单调递减。

平移后，$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi\right](k \in Z )$ ，即
$\left[-\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, \frac{\pi}{6}+2 k \pi\right] \quad(\quad k \in Z )$ 单 调 递 增 ，在 区 间 $\left[\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi\right](k \in Z )$ ，即 $\left[\frac{\pi}{6}+2 k \pi, \frac{7 \pi}{6}+2 k \pi\right](k \in Z )$ 单调递减。
$y=\sin x$ 的周期为 $2 \pi$ 。平移后，$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的周期不变，仍为 $2 \pi$ 。
$y=\sin x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z )$ 处取得最大值，在 $x=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi(k \in Z )$ 处取得最小值。

平移后，$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi(k \in Z )$ ，即 $x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi(k \in Z )$处取得最大值，在 $x=\frac

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