最后更新: 2025-05-29 19:48 查看: 173 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数 y = A sin(ω x α) 的图象

在这一节, 我们来研究正弦型曲线, 即函数 $y=A \sin (m x+a)$ 的图象, 这个图象在学习物理、电工和力学时将会遇到，下面我们先研究几种特殊正弦型曲线的作法，然后再归结到一般情形。

## 一、函数 $y=A \sin x$ 的图象
我们取 $A=\frac{1}{2}, A=1, A=2$ 三种情形来讨论, 即讨论

$$
y=\frac{1}{2} \sin x, \quad y=\sin x, \quad y=2 \sin x
$$

考虑到函数 $\sin x$ 的周期是 $2 \pi$, 我们只须画出闭区间 $[0,2 \pi]$ 上的图象, 先列出 $x$ 由 0 到 $\frac{\pi}{2}$, 每隔 $\frac{\pi}{6}$ 取值的正弦值表, 然后, 应用诱导公式 $\sin (\pi-x)=\sin x$,列出 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$ 之间的正弦值; 最后应用诱导公式 $\sin (\pi+x)=-\sin x$ 列出 $\pi$ 到 $2 \pi$ 之间的正弦值. 对于同一个 $x$ 值, 函数 $\frac{1}{2} \sin x$ 的值为函数 $\sin x$ 的值的 $\frac{1}{2}$,而函数 $2 \sin x$ 的值为函数 $\sin x$ 的值的 2 倍。

把它们的自变量及对应函数值列表于下:
 ![图片](/uploads/2024-11/128627.jpg)
 
 对于每一个函数, 把表内 $x 、 y$ 的每一对值作为点的坐标, 在直角坐标系内作出对应点，将它们依次连结成平滑曲线，这三条曲线就是正弦函数 $y=\sin x$ ，及正弦型函数 $y=\frac{1}{2} \sin x$ 和 $y=2 \sin x$ 的图象（如图 7.13）.
  ![图片](/uploads/2024-11/f88dd0.jpg)
  
  由图象显然看出:
1. 对于同一横坐标 $x, y=\frac{1}{2} \sin x$ 的纵坐标为 $y=\sin x$ 的纵坐标的 $\frac{1}{2}$, $y=2 \sin x$ 的纵坐标为 $y=\sin x$ 的纵坐标的 2 倍, 因此, 可以说, 把曲线 $y=\sin x$ 沿纵轴方向压缩到 $\frac{1}{2}$, 就得到曲线 $y=\frac{1}{2} \sin x$; 沿纵轴方向拉长 2 倍, 就得到曲线 $y=2 \sin x$.
2. $y=\sin x$ 的最大纵坐标是 $1 ; y=2 \sin x$ 的最大纵坐标是 $2 ; y=\frac{1}{2} \sin x$的最大纵坐标是 $\frac{1}{2}$. 我们这个最大的纵坐标叫做该曲线的振幅.
3. 它们的周期相同, 都是 $2 \pi$.

推广到一般情形，就得出下面的结论：

函数 $y=A \sin x$ 的图象是把 $y=\sin x$ 的图象沿着纵轴方向压缩到 $A(0<A<1)$ 倍或拉长到 $A(A>1)$ 倍而得到, 曲线 $y=A \sin x$ 的振幅为 $A$ ，周期为 $2 \pi$ 。

## 二、函数 $y=\sin m x$ 的图象
我们取 $m=\frac{1}{2}, m=1, m=2$ 三种情形来讨论, 即讨论 $y=\sin \frac{x}{2}$, $y=\sin x, y=\sin 2 x$.

三个函数的周期分别是 $4 \pi, 2 \pi$ 和 $\pi$, 它们有相同的振幅 $A=1$. 所有这些函数在自变量 $m x$ 取相同值的变化过程中对应的函数值也相同，但现在 $m$ 值不同, 因此, 只有当取不同的值时, 才能使这些函数的对应值相同. 比如,
- 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, $\sin x$ 的值为 0.5 ;
- 当 $x=\frac{\pi}{3}$ 时, $\sin \frac{1}{2} x$ 的值为 0.5 ;
- 当 $x=\frac{\pi}{12}$ 时, $\sin 2 x$ 的值为 0.5 .

这就是说，只要我们有一个函数 $y

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：振幅、频率与相位

下一篇：函数 y = A sin(mx α) 图像平移

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)