最后更新: 2024-11-03 21:17 ● 参与者查看: 13 次纠错分享参与项目词条搜索

函数 y = A sin(mx α) 的图象

在这一节, 我们来研究正弦型曲线, 即函数 $y=A \sin (m x+a)$ 的图象, 这个图象在学习物理、电工和力学时将会遇到，下面我们先研究几种特殊正弦型曲线的作法，然后再归结到一般情形。

## 一、函数 $y=A \sin x$ 的图象
我们取 $A=\frac{1}{2}, A=1, A=2$ 三种情形来讨论, 即讨论

$$
y=\frac{1}{2} \sin x, \quad y=\sin x, \quad y=2 \sin x
$$

考虑到函数 $\sin x$ 的周期是 $2 \pi$, 我们只须画出闭区间 $[0,2 \pi]$ 上的图象, 先列出 $x$ 由 0 到 $\frac{\pi}{2}$, 每隔 $\frac{\pi}{6}$ 取值的正弦值表, 然后, 应用诱导公式 $\sin (\pi-x)=\sin x$,列出 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$ 之间的正弦值; 最后应用诱导公式 $\sin (\pi+x)=-\sin x$ 列出 $\pi$ 到 $2 \pi$ 之间的正弦值. 对于同一个 $x$ 值, 函数 $\frac{1}{2} \sin x$ 的值为函数 $\sin x$ 的值的 $\frac{1}{2}$,而函数 $2 \sin x$ 的值为函数 $\sin x$ 的值的 2 倍。

把它们的自变量及对应函数值列表于下:
 ![图片](/uploads/2024-11/128627.jpg)
 
 对于每一个函数, 把表内 $x 、 y$ 的每一对值作为点的坐标, 在直角坐标系内作出对应点，将它们依次连结成平滑曲线，这三条曲线就是正弦函数 $y=\sin x$ ，及正弦型函数 $y=\frac{1}{2} \sin x$ 和 $y=2 \sin x$ 的图象（如图 7.13）.
  ![图片](/uploads/2024-11/f88dd0.jpg)
  
  由图象显然看出:
1. 对于同一横坐标 $x, y=\frac{1}{2} \sin x$ 的纵坐标为 $y=\sin x$ 的纵坐标的 $\frac{1}{2}$, $y=2 \sin x$ 的纵坐标为 $y=\sin x$ 的纵坐标的 2 倍, 因此, 可以说, 把曲线 $y=\sin x$ 沿纵轴方向压缩到 $\frac{1}{2}$, 就得到曲线 $y=\frac{1}{2} \sin x$; 沿纵轴方向拉长 2 倍, 就得到曲线 $y=2 \sin x$.
2. $y=\sin x$ 的最大纵坐标是 $1 ; y=2 \sin x$ 的最大纵坐标是 $2 ; y=\frac{1}{2} \sin x$的最大纵坐标是 $\frac{1}{2}$. 我们这个最大的纵坐标叫做该曲线的振幅.
3. 它们的周期相同, 都是 $2 \pi$.

推广到一般情形，就得出下面的结论：

函数 $y=A \sin x$ 的图象是把 $y=\sin x$ 的图象沿着纵轴方向压缩到 $A(0<A<1)$ 倍或拉长到 $A(A>1)$ 倍而得到, 曲线 $y=A \sin x$ 的振幅为 $A$ ，周期为 $2 \pi$ 。

## 二、函数 $y=\sin m x$ 的图象
我们取 $m=\frac{1}{2}, m=1, m=2$ 三种情形来讨论, 即讨论 $y=\sin \frac{x}{2}$, $y=\sin x, y=\sin 2 x$.

三个函数的周期分别是 $4 \pi, 2 \pi$ 和 $\pi$, 它们有相同的振幅 $A=1$. 所有这些函数在自变量 $m x$ 取相同值的变化过程中对应的函数值也相同，但现在 $m$ 值不同, 因此, 只有当取不同的值时, 才能使这些函数的对应值相同. 比如,
- 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, $\sin x$ 的值为 0.5 ;
- 当 $x=\frac{\pi}{3}$ 时, $\sin \frac{1}{2} x$ 的值为 0.5 ;
- 当 $x=\frac{\pi}{12}$ 时, $\sin 2 x$ 的值为 0.5 .

这就是说，只要我们有一个函数 $y=\sin x$ 在闭区间 $[0,2 \pi]$ 上的函数值表, 我们就可以通过把这个数值表中自变量 $x$ 的取值乘以 2 , 就得到函数 $y=$ $\sin \frac{1}{2} x$ 在闭区间 $[0,4 \pi]$ 上的函数值表；如果把 $y=\sin x$ 的数值表中自变量 $x$的取值除以 2 , 就可以得到 $y=\sin 2 x$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上的函数值表.

列表作图于下：
将 $y=\sin x$ 的函数值表
 ![图片](/uploads/2024-11/94aa3a.jpg)
 
 这里的 $x$ 的取值分别乘以 2 得到 $y=\sin \frac{1}{2} x$ 的函数值表如下:
  ![图片](/uploads/2024-11/37d4b8.jpg)
  作图：
由上面的表和图 7.14 可以看出：
1. 当 $y=\sin \frac{1}{2} x$ 的横坐标为 $y=\sin x$ 的横坐标的 2 倍时, 它们的纵坐标相等.
 ![图片](/uploads/2024-11/162422.jpg)
 2. 它们的振幅相同, 都是 1 .
3. $y=\sin \frac{1}{2} x$ 的周期是 $4 \pi=\frac{2 \pi}{1 / 2}$, 二倍于 $y=\sin x$ 的周期.

因此， $y=\sin \frac{1}{2} x$ 的图象是把 $y=\sin x$ 的图象沿横轴方向拉长 2 倍而得到.

将 $y=\sin x$ 的函数值表里的 $x$ 取值分别除以 2 , 得到 $y=\sin 2 x$ 的函数值如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/4c6eab.jpg)
 作图
  ![图片](/uploads/2024-11/b9e9b3.jpg)
  
  由上面的表和图 7.15 可以看出:
1. 当 $y=\sin 2 x$ 的横坐标为 $y=\sin x$ 的横坐标的一半时, 它们的纵坐标相等。
2. 它们的振幅相同, 都是 1 .
3. $y=\sin 2 x$ 的周期是 $\pi\left(=\frac{\pi}{2}\right)$

因此， $y=\sin 2 x$ 的图象是把曲线 $y=\sin x$ 沿横轴方向压缩 $\frac{1}{2}$ 倍，就得到曲线 $y=\sin 2 x$.

根据上述情况，可得一般结论如下：

函数 $y=\sin m x$ 的图象是把 $y=\sin x$ 的图象沿横轴方向拉长 $\frac{1}{m}$ 倍 $(0<m<1)$ ，或压缩到 $\frac{1}{m} ，(m>1)$ 而得到. 曲线 $y=\sin m x$ 的振幅为 1 ，周期为 $\frac{2 \pi}{m}$ 。

## 三、函数 $y=A \sin (m x+\alpha)$ 的图象
现在我们来说明如何画一般的正弦型曲线 $y=A \sin (m x+\alpha)$. 这里 $A$ 和 $m$ 为已给的正实数， $\alpha$ 为已给的实数。

把函数

$$
y=A \sin (m x+\alpha)
$$
改写成

$$
y=A \sin m\left(x+\frac{\alpha}{m}\right)
$$

函数 (7.5), (7.6) 和函数 $y=A \sin m x$ 的振幅相同, 都等于 $A$. 而且它们的周期也相同，都等于 $\frac{2 \pi}{m}$ 。

显然， $y=A \sin m\left(x+\frac{\alpha}{m}\right)$ 的图象上一点的横坐标 $x_1$ 所对应的纵坐标是 $y=A \sin m\left(x_1+\frac{\alpha}{m}\right)$, 并且恒等于 $y=A \sin m x$ 的图象上横坐标是 $x_1+\frac{\alpha}{m}$的一点的纵坐标。由于在 $O x$ 轴上点 $x_1$ 是在点 $x_1+\frac{\alpha}{m},(\alpha>0)$ 的左方 $\left|\frac{\alpha}{m}\right|$个单位处，或者点 $x_1$ 是在点 $x_1+\frac{\alpha}{m},(\alpha<0)$ 的右方的 $\left|\frac{\alpha}{m}\right|$ 个单位处，所以我们只须把 $y=A \sin m x$ 的图象沿横轴方向左移 $x_1+\frac{\alpha}{m},(\alpha>0)$ 个单位, 或者右移 $x_1+\frac{\alpha}{m},(\alpha<0)$ 个单位, 就得到 $y=A \sin m\left(x+\frac{\alpha}{m}\right)$ 的图象.

上面这种作图方法, 把几种曲线之间的关系明确的揭露出来, 使我们能够了解到它们之间的内在联系, 但是, 这样作图比较费事, 在实际问题中往往只须知道函数 $y=A \sin (m x+\alpha)$ 的草图, 只要这个图能够表示出它的三个特征量：振幅 $A$ ，周期 $\frac{2 \pi}{m}$ ，起点 $\left(-\frac{\alpha}{m}, 0\right)$ 就可以了。 $y=A \sin (m x+\alpha)$ 的图象的简便作法如下:
1. 化函数 $y=A \sin (m x+\alpha)$ 为下面的形式

$$
y=A \sin m\left(x+\frac{\alpha}{m}\right)
$$

2. 确定：振幅为 $A$ ；周期为 $\frac{2 \pi}{m}$ ；起点为 $\left(-\frac{\alpha}{m}, 0\right)$.
3. 选取比例尺： 1 个单位为几厘米.
4. 在 $O x$ 轴上以 $\left(-\frac{\alpha}{m}, 0\right)$ 为起点, 并把 $x=-\frac{\alpha}{m}$ 到 $x=-\frac{\alpha}{m}+\frac{2 \pi}{m}$ 的一段分成 4 等份, 每等份长为 $\frac{2 \pi}{m} \div 4=\frac{\pi}{2 m}$, 各分点的横坐标是

$$
-\frac{\alpha}{m}, \quad-\frac{\alpha}{m}+\frac{\pi}{2 m}, \quad-\frac{\alpha}{m}+\frac{\pi}{m}, \quad-\frac{\alpha}{m}+\frac{3 \pi}{2 m}, \quad-\frac{\alpha}{m}+\frac{2 \pi}{m}
$$

它们对应的纵坐标分别是 $0, A, 0,-A, 0$.

> 上述作图法也被称作“五点作图法”

根据上述结果，便可作出函数 $y=A \sin (m x+\alpha)$ 在区间 $\left[-\frac{\alpha}{m},-\frac{\alpha}{m}+\frac{2 \pi}{m}\right]$上的图象。
例 7.11 求作函数 $y=\frac{3}{2} \sin (3 t-\pi)$ 的图象.
解:
1. 化函数 $y=\frac{3}{2} \sin (3 t-\pi)$ 为下面的形式:

$$
y=\frac{3}{2} \sin 3\left(t-\frac{\pi}{3}\right)
$$

2. 确定：振幅为 $\frac{3}{2}$ ，周期为 $\frac{2 \pi}{8}$ ，起点为 $\left(\frac{\pi}{8}, 0\right)$
3. 选取比例尺： 1 个单位长 $=0.8$ 厘米.
4. 列表:
 ![图片](/uploads/2024-11/f6eebb.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-11/d12d21.jpg)
  
  图中虚线表示曲线 $y=\frac{3}{2} \sin (3 t-\pi)$ 上未画出的部分, 我们把图象变换总结如下：

位犆变换
1. $y=\sin (x+b)$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象沿 $x$ 轴的方向左、右平移而得到（当 $b>0$ 时向左， $b<0$ 时向右）.
2. $y=\sin x+\ell$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象沿 $y$ 轴的方向上、下平移而得到（当 $\ell>0$ 时向上， $\ell<0$ 时向下）.
3. $y=-\sin x$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象作关于 $O x$ 轴的反射得到.

形状变换
1. $y=A \sin x(A>0)$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象的振幅扩大 $A$ 倍而得到.
2. $y=\sin m x(m>0)$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象沿 $x$ 轴方向拉长 $(0<m<1)$ 或压缩 $(m>1)$ 到 $\frac{1}{m}$ 倍而得到（周期 $T$ 为 $\frac{2 \pi}{m}$ ).
位置形状全变换

$$
y=A \sin (m x+\alpha)+\ell=A \sin m\left(x+\frac{\alpha}{m}\right)+\ell \quad(A>0, m>0)
$$

可由 $y=\sin x$ 的图象沿轴方向拉长或压缩到原来的 $\frac{1}{m}$ 倍，（周期变为 $\frac{2 \pi}{m}$ ), 沿 $x$ 轴向左或向右平移 $\left|\frac{\alpha}{m}\right|$ 个单位，然后把振幅扩大到原来的 $A$ 倍; 最后沿 $y$ 轴向上或向下平移 $|\ell|$ 个单位.

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