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高中数学
第五章 三角函数
将同角的正弦与余弦和化为一个三角函数
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2025-04-14 19:39
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将同角的正弦与余弦和化为一个三角函数
## 将同角的正弦与余弦和化为一个三角函数 和角公式有一项非常重要的应用：对于同一个角的正弦函数与余弦函数带系数的和 $a \sin \theta+b \cos \theta$（ $a, b$ 是常数），可以利用和角公式将其化为一个三角函数： $$ a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta+t) $$ 其中， $\cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin t=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 。 该公式的原理为：将系数 $a$ 和 $b$ 转化为两个平方和等于 1 的数，从而凑出某个角的正弦函数和余弦函数的形式。 对于表达式 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，它们的分子的绝对值都比分母小，即： $-1 \leq \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq 1, \quad-1 \leq \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq 1$ 又因为 $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1$ ，它们满足勾股定理， 所以一定存在某个角 $t$ ，满足 $\cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin t=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， （可以令 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 为两条直角边的长， 1 为斜边的长，构造直角三角形，那么长度为 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 的边所对的角就是 $t$ ） 由正弦函数的和角公式可得： $$ \begin{align
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