最后更新: 2025-04-14 19:39 查看: 11 次反馈刷题

将同角的正弦与余弦和化为一个三角函数

## 将同角的正弦与余弦和化为一个三角函数
和角公式有一项非常重要的应用：对于同一个角的正弦函数与余弦函数带系数的和 $a \sin \theta+b \cos \theta$（ $a, b$ 是常数），可以利用和角公式将其化为一个三角函数：

$$
a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta+t)
$$

其中， $\cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin t=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 。
该公式的原理为：将系数 $a$ 和 $b$ 转化为两个平方和等于 1 的数，从而凑出某个角的正弦函数和余弦函数的形式。

对于表达式 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，它们的分子的绝对值都比分母小，即： $-1 \leq \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq 1, \quad-1 \leq \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq 1$

又因为 $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1$ ，它们满足勾股定理，
所以一定存在某个角 $t$ ，满足 $\cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin t=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，
（可以令 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 为两条直角边的长， 1 为斜边的长，构造直角三角形，那么长度为 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 的边所对的角就是 $t$ ）

由正弦函数的和角公式可得：

$$
\begin{aligned}
a \sin \theta+b \cos \theta & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin \theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos \theta\right) \\
& =\sqrt{a^2+b^2}(\cos t \sin \theta+\sin t \cos \theta) \\
& =\sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta+t)
\end{aligned}
$$

这样一来，把同一个角的正弦和余弦函数的带系数的和，转化为一个正弦函数，就可以直接利用正弦函数的性质和规律分析处理，而不需要考虑两个三角函数乘以系数相加减的复杂情况。

`例`求 $3 \sin x-4 \cos x$ 的最大值和最小值。
解析： $3 \sin x-4 \cos x=5 \times\left(\frac{3}{5} \sin x-\frac{4}{5} \cos x\right)$ ，设弧度（或角度）$t$ 满足 $\cos t=\frac{3}{5}, \sin t=-\frac{4}{5}$ ，可得： $3 \sin x-4 \cos x=5 \times(\sin x \cos t+\cos x \sin t)=5 \sin (x+t)$ ，该表达式的最大值为 5 ，最小值为 -5 ，当 $x+t=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z )$ 时取得最大值，当 $x+t=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \quad(k \in Z )$ 时取得最小值。

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