最后更新: 2024-11-03 21:04 查看: 349 次反馈刷题

正弦定理

我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析人手. 根据锐角三角函数, 在 Rt $\triangle A B C$ 中 （下图），有

$$
\begin{aligned}
& \sin A=\frac{a}{c} \\
& \sin B=\frac{b}{c}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-11/4fc412.jpg)
 
 显然, 上述两个关系式在一般三角形中不成立. 观察发现, 它们有一个共同元素 $c$, 利用它把两个式子联系起来, 可得

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=c .
$$

又因为 $\sin C=\sin 90^{\circ}=1$, 所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式, 即

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$

对于锐角三角形和针角三角形，以上关系式是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系, 所以仍然采用向量方法来研究.
我们希望获得 $\triangle A B C$ 中的边 $a, b, c$ 与它们所对角 $A, B, C$ 的正弦之间的关系式.在向量运算中, 两个向量的数量积与长度、角度有关, 这就启示我们可以用向量的数量积来探究.

由诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$ 可知, 我们可以通过构造角之间的互余关系, 把边与 角的余弦关系转化为正弦关系.
下面先研究锐角三角形的情形.
如图 6.4-10, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, 过点 $A$ 作与 $\overrightarrow{A C}$ 垂直的单位向量 $j$, 则 $j$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-A, j$ 与 $\overrightarrow{C B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-C$.

![图片](/uploads/2024-11/ac65e7.jpg)
  
 
因为 $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}$, 所以

$$
j \cdot(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B})=j \cdot \overrightarrow{A B}
$$

由分配律, 得

$$
j \cdot \overrightarrow{A C}+j \cdot \overrightarrow{C B}=j \cdot \overrightarrow{A B}
$$

即
$$
| j ||\overrightarrow{A C}| \cos \frac{\pi}{2}+| j ||\overrightarrow{C B}| \cos \left(\frac{\pi}{2}-C\right)=| j ||\overrightarrow{A B}| \cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right),
$$

也即

$$
a \sin C=c \sin A \text {. }
$$

所以

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}
$$

同理, 过点 $C$ 作与 $\overrightarrow{C B}$ 垂直的单位向量 $m$, 可得

$$
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$

因此

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} .
$$

当 $\triangle A B C$ 是针角三角形时, 不妨设 $A$ 为针角 .过点 $A$ 作与 $\overrightarrow{A C}$ 垂直的单位向量 $j$, 则 $j$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 的夹角为 $A-\frac{\pi}{2}, j$与 $\overrightarrow{C B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-C$. 仿照上述方法, 同样可得

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$

综上, 我们得到下面的定理:

### 余弦定理
$$
\boxed{
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
}
$$

> 证明余弦定理的方法很多，这里通过向量证明旨在引导学生学会用向量思考问题。

下面给出一个传统证法：

### 证法二
在 $\triangle A B C$ 中, 过点 $A$ 作 $B C$ 边上的高 $A D$,
在 Rt $\triangle A D C$ 中, 由正弦的定义可知

$$
A D=b \sin C,
$$

因此所求三角形的面积为

$$
S=\frac{1}{2} a b \sin C
$$

一般地, 若记 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$, 则

$$
S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} b c \sin A .
$$

由此可知 $\frac{2 S}{a b c}=\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a}$, 又因为 $\sin A>0, \sin B>0$, $\sin C>0$, 因此可得

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} .
$$

这就是正弦定理: 在一个三角形中, 各边的长和它所对角的正弦的比相等.

`例` 判断满足条件 $A=30^{\circ}, a=1, c=4$ 的 $\triangle A B C$ 是否存在, 并说明理由.
解 假设满足条件的三角形存在, 则由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 可知

$$
\sin C=\frac{c \sin A}{a}=\frac{4 \sin 30^{\circ}}{1}=2 .
$$

又因为 $\sin C \leqslant 1$, 所以这是不可能的, 因此不存在这样的三角形.

`例` 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin ^2 C$, 求证: $\triangle A B C$ 是直角三角形.
证明 设 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k$, 则 $k \neq 0$, 且

$$
\sin A=\frac{a}{k}, \sin B=\frac{b}{k}, \sin C=\frac{c}{k} .
$$

又因为 $\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin ^2 C$, 所以

$$
\frac{a^2}{k^2}+\frac{b^2}{k^2}=\frac{c^2}{k^2},
$$

即 $a^2+b^2=c^2$, 因此由勾股定理的逆定理可知 $\triangle A B C$ 是直角三角形.

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