正弦公式

在 $\triangle A B C$ 中, 过点 $A$ 作 $B C$ 边上的高 $A D$,

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在 Rt $\triangle A D C$ 中, 由正弦的定义可知

$$
A D=b \sin C,
$$

因此所求三角形的面积为

$$
S=\frac{1}{2} a b \sin C
$$

一般地, 若记 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$, 则

$$
S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} b c \sin A .
$$

由此可知 $\frac{2 S}{a b c}=\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a}$, 又因为 $\sin A>0, \sin B>0$, $\sin C>0$, 因此可得

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} .
$$

这就是正弦定理: 在一个三角形中, 各边的长和它所对角的正弦的比相等.

**例1‸** 判断满足条件 $A=30^{\circ}, a=1, c=4$ 的 $\triangle A B C$ 是否存在, 并说明理由.
解 假设满足条件的三角形存在, 则由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 可知

$$
\sin C=\frac{c \sin A}{a}=\frac{4 \sin 30^{\circ}}{1}=2 .
$$

又因为 $\sin C \leqslant 1$, 所以这是不可能的, 因此不存在这样的三角形.

**例 2**  在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin ^2 C$, 求证: $\triangle A B C$ 是直角三角形.
证明 设 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k$, 则 $k \neq 0$, 且

$$
\sin A=\frac{a}{k}, \sin B=\frac{b}{k}, \sin C=\frac{c}{k} .
$$

又因为 $\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin ^2 C$, 所以

$$
\frac{a^2}{k^2}+\frac{b^2}{k^2}=\frac{c^2}{k^2},
$$

即 $a^2+b^2=c^2$, 因此由勾股定理的逆定理可知 $\triangle A B C$ 是直角三角形.

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