最后更新: 2024-11-03 20:53 查看: 390 次反馈刷题

余弦定理

> 在初中曾经利用三角形证明余弦定理，在高中引入向量后，可以利用向量推导出余弦定理，**向量在整个数学体系里极其重要**，请理解推导思路。

## 余弦定理

如图, 设 $\overrightarrow{C B}= a , \overrightarrow{C A}= b , \overrightarrow{A B}= c$,

![图片](/uploads/2024-11/6c4e77.jpg)

那么
$$
c=a-b ...(1)
$$

我们的研究目标是用 $| a |,| b |$ 和 $C$ 表示 $| c |$, 联想到数量积的性质 $c \cdot c =| c |^2$, 可以考虑用向量 $c$ （即 $a - b$ ）与其自身作数量积运算.

由(1)得

$$
\begin{aligned}
| c |^2 & = c \cdot c =( a - b ) \cdot( a - b ) \\
& = a \cdot a + b \cdot b -2 a \cdot b \\
& = a ^2+ b ^2-2| a || b | \cos C
\end{aligned}
$$

所以

$$
c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C .
$$

同理可得

$$
\begin{aligned}
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A, \\
& b^2=c^2+a^2-2 c a \cos B .
\end{aligned}
$$

于是, 我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理:

## 余弦定理

余弦定理是指在三角形ABC里，
$$ \boxed{
\begin{aligned}
 & c^2=a^2+b^2-2ab \cos C  \\ 
 & b^2=c^2+a^2-2ca cos B  \\ 
 & a^2=b^2+c^2-2bc cos A  \\ 
 \end{aligned}
}
$$

特别的，如果角 $ C=90^{\circ}$ 则
$$
\boxed{a^2+b^2=c^2}
$$

> 可见勾股定理是余弦定理的特殊情况。

**记忆技巧**：可以利用勾股定理进行类比记忆

## 推广1

余弦定理可以改写为如下形式.得到

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\cos A & =\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}, \\
\cos B & =\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}, \\
\cos C & =\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
\end{aligned}
}
$$

`例` 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a \cos A=b \cos B$, 试判断这个三角形的形状.

解: 利用余弦定理可知

$$
a \times \frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=b \times \frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c},
$$

因此

$$
a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)=b^2\left(a^2+c^2-b^2\right),
$$

即 $a^2 c^2-b^2 c^2-a^4+b^4=0$, 从而 $\left(a^2-b^2\right) c^2-\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0$,所以

$$
\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-a^2-b^2\right)=0,
$$

因此 $a^2-b^2=0$ 或 $c^2-a^2-b^2=0$.
当 $a^2-b^2=0$ 时, $a=b$, 此时 $\triangle A B C$ 是 等腰 三角形;

当 $c^2-a^2-b^2=0$ 时, $a^2+b^2=c^2$, 此时 $\triangle A B C$ 是 直角 三角形.
故 $\triangle A B C$ 是等腰三角形或直角三角形.

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