余弦定理

余弦定理是指在三角形ABC里，

$ c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$
$b^2=c^2+a^2-2ca cos B$
$a^2=b^2+c^2-2bc cos A $

**记忆技巧**：可以类别勾股定理进行记忆，即：勾股定理是余弦定理中，$\angle C= 90 ^{\circ}$ 的特列。

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## 证明

如下图

![图片](/uploads/2023-10/image_2023101255fcf64.png){width=300px}

设 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{A B}=c, \overrightarrow{B C}=a, \overrightarrow{A C}=b$ 。过 $B$ 点作 $A C$ 的垂线，垂足为 $D$ ，如果 $D$ 在 $A C$ 内部，则 $B D$ 的长度为 $a \sin C ， D C$ 的长度为 $a \cos C ， A D$ 的长度为 $b-a \cos C$ 。
根据勾股定理:

$$
\begin{aligned}
& c^2=(a \sin C)^2+(b-a \cos C)^2 \\
& c^2=a^2 \sin ^2 C+b^2-2 a b \cos C+a^2 \cos ^2 C \\
& c^2=a^2\left(\sin ^2 C+\cos ^2 C\right)+b^2-2 a b \cos C \\
& c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C
\end{aligned}
$$

如果 $D$ 在 $A C$ 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

## 推广1

余弦定理可以改写为如下形式.

$$
\begin{aligned}
\cos A & =\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}, \\
\cos B & =\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}, \\
\cos C & =\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
\end{aligned}
$$

例1 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a \cos A=b \cos B$, 试判断这个三角形的形状.
解 利用余弦定理可知

$$
a \times \frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=b \times \frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c},
$$

因此

$$
a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)=b^2\left(a^2+c^2-b^2\right),
$$

即 $a^2 c^2-b^2 c^2-a^4+b^4=0$, 从而 $\left(a^2-b^2\right) c^2-\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0$,所以

$$
\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-a^2-b^2\right)=0,
$$

因此 $a^2-b^2=0$ 或 $c^2-a^2-b^2=0$.
当 $a^2-b^2=0$ 时, $a=b$, 此时 $\triangle A B C$ 是 等腰 三角形;
9.1 正弦定理与余弦定理
9
当 $c^2-a^2-b^2=0$ 时, $a^2+b^2=c^2$, 此时 $\triangle A B C$ 是 直角 三角形.
故 $\triangle A B C$ 是等腰三角形或直角三角形.

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