最后更新: 2024-11-03 20:15 查看: 160 次反馈刷题

积化和差公式

## 三角函数的积化和差
将和差化积公式的两边同除以 2 , 便得到如下公式:
### 积化和差公式
$$
\boxed{
\begin{aligned}
\sin x \cdot \cos y & =\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)] \\
\cos x \cdot \sin y & =\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin (x-y)] \\
\cos x \cdot \cos y & =\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)] \\
\cos x \cdot \sin y & =-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)] \\
& =\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]
\end{aligned}
}
$$

若 $x=y$, 由此可推出倍角公式, 即有
$$
\boxed{
\sin x \cos x=\frac{1}{2} \sin 2 x, \quad \cos ^2 x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x), \quad \sin ^2 x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)
}
$$

`例` 化简 $\cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha \cdot \cos 4 \alpha$ 并求 $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7}$ 的值.
解：
$$
\begin{aligned}
\cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha \cdot \cos 4 \alpha & =\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha \cdot \cos 4 \alpha}{2 \sin \alpha} \\
& =\frac{\sin 2 \alpha \cdot \cos 2 \alpha \cdot \cos 4 \alpha}{2 \sin \alpha} \\
& =\frac{\sin 4 \alpha \cdot \cos 4 \alpha}{2^2 \sin \alpha} \\
& =\frac{\sin 8 \alpha}{2^3 \sin \alpha}=\frac{\sin 8 \alpha}{8 \sin \alpha} \\
\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} & =\frac{\sin \frac{8 \pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}}=\frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}}=-\frac{1}{8}
\end{aligned}
$$

`例` 已知在 $\triangle A B C$ 中, $\sin B \cdot \sin C=\cos ^2 \frac{A}{2}$. 求证这个三角形是等腰三角形.

证明: 由于 $\sin B \cdot \sin C=\cos \frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}$ 且 $A=\pi-(B+C), \cos A=$ $-\cos (B+C)$, 因而就有
$$
\sin B \cdot \sin C=\frac{1}{2}[1-\cos (B+C)]
$$

所以
$$
\left.\left.-\frac{1}{2} \cos (B+C)-\cos (B-C)\right]=\frac{1}{2} 1-\cos (B+C)\right]
$$

化简上式, 得 $\cos (B-C)=1$.
又由 $-180^{\circ}<B-C<180^{\circ}$, 所以 $B-C=0^{\circ}$, 即 $B=C$, 这证明了 $\triangle A B C$ 是等腰三角形.

`例` 求证： $\cos ^3 2 \alpha=\sin 3 \alpha \cdot \sin ^3 \alpha+\cos 3 \alpha \cdot \cos ^3 \alpha$

证明:

$$
\begin{aligned}
\text { 右边 } & =\sin ^2 \alpha(\sin 3 \alpha \cdot \sin \alpha)+\cos ^2 \alpha(\cos 3 \alpha \cdot \cos \alpha) \\
& =\frac{1}{2}\left[\sin ^2 \alpha(\cos 2 \alpha-\cos 4 \alpha)+\cos ^2 \alpha(\cos 4 \alpha+\cos 2 \alpha)\right] \\
& =\frac{1}{2}\left[\cos 2 \alpha\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)+\cos 4 \alpha\left(\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha\right)\right] \\
& =\frac{1}{2}[\cos 2 \alpha+\cos 4 \alpha \cdot \cos 2 \alpha] \\
& =\frac{1}{2} \cos 2 \alpha(1+\cos 4 \alpha) \\
& =\frac{1}{2} \cos 2 \alpha \cdot 2 \cos ^2 2 \alpha \\
& =\cos ^3 2 \alpha=\text { 左边 }
\end{aligned}
$$

`例` 若 $A+B+C=\pi$, 求证：

$$
\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}=4 \cos \frac{\pi-A}{4} \cos \frac{\pi-B}{4} \cos \frac{\pi-C}{4}
$$

证明：

$$
\begin{aligned}
& 4 \cos \frac{\pi-A}{4} \cos \frac{\pi-B}{4} \cos \frac{\pi-C}{4} \\
= & 2 \cos \frac{\pi-A}{4}\left[\cos \frac{2 \pi-(B+C)}{4}+\cos \frac{B-C}{4}\right] \\
= & 2 \cos \frac{\pi-A}{4} \cos \frac{\pi+A}{4}+2 \cos \frac{\pi-A}{4} \cos \frac{B-C}{4} \\
= & \left(\cos \frac{\pi}{2}+\cos \frac{A}{2}\right)+2 \cos \frac{B+C}{4} \cos \frac{B-C}{4} \\
= & \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}
\end{aligned}
$$

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