最后更新: 2025-05-29 19:39 查看: 330 次反馈同步训练

和差化积公式

## 三角函数的和差化积

### 和差化积与积化和差推导方法一
根据两角和差的正弦函数的定理有:
$$
\begin{aligned}
& \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \\
& \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y
\end{aligned}
$$

由这两个等式左、右两端相加和相减得:
$$
\begin{aligned}
\sin (x+y)+\sin (x-y) & =2 \sin x \cos y   ..(1.25)\\
\sin (x+y)-\sin (x-y) & =2 \cos x \sin y   ...(1.26)
\end{aligned}
$$

设 $x+y=\alpha, x-y=\beta$, 那么
$$
x=\frac{\alpha+\beta}{2}, \quad y=\frac{\alpha-\beta}{2} ...(1.27)
$$

因此, 上面两个等式 (1.25) 和 (1.26) 就变成
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \\
& \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\end{aligned}
$$
根据两角和差的余弦函数的定理有:
$$
\begin{aligned}
& \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y \\
& \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y 
\end{aligned}
$$

由这两个等式左、右两端相加和相减得:
$$
\begin{aligned}
& \cos (x+y)+\cos (x-y)=2 \cos x \cos y \\
& \cos (x+y)-\cos (x-y)=-2 \sin x \sin y
\end{aligned}
$$

以等式 (1.27) 代人上式得:
$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \\
& \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\end{aligned}
$$

利用上面得到的四个公式; 即

#### 和差化积公式

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\sin \alpha+\sin \beta & =2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \\
\sin \alpha-\sin \beta & =2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \\
\cos \alpha+\cos \beta & =2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \\
\cos \alpha-\cos \beta & =-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\end{aligned}
}
$$

可以把某些三角函数的和或差化成积的形式.

上面利用了两角和与差的公式，还可以使用向量证明。

### 和差化积与积化和差推导方法二
在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，这应如何转化？

借鉴前面通过计算两个单位向量 $a =(\cos \alpha, \sin \alpha), b =(\cos \beta, \sin \beta)$ 的数量积得出差角余弦公式的思路，我们继续尝试用向量的方法来探讨如何将三角函数的和或差转化为积的形式．

如图 2．3－1，从坐标原点 $O$ 出发作 $\overrightarrow{O A}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O B}=(\cos \beta, \sin \beta)$ ，则 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=(\cos \alpha+\cos \beta, \sin \alpha+\sin \beta)$.

![图片](/uploads/2025-01/4e6371.jpg)
 
 在图 2．3－1 中， $\overrightarrow{O C}=(r \cos \theta, r \sin \theta)$ ，其中 $r=|\overrightarrow{O C}|, \angle x O C=\theta$ ．又因为四边形 $O A C B$ 是菱形，所以 $O C$ 是 $\angle A O B$ 的平分线，因而

$$
\theta=\alpha+\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2} .
$$

故 $\overrightarrow{O C}=\left(r \cos \frac{\alpha+\beta}{2}, r \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ ．
又

$$
\begin{aligned}
r & =|\overrightarrow{O C}| \\
& =2|\overrightarrow{O B}| \cos \angle C O B
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =2 \cos \frac{\angle A O B}{2} \\
& =2 \cos \frac{\beta-\alpha}{2} \\
& =2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2},
\end{aligned}
$$

所以

$$
\overrightarrow{O C}=\left(2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}, 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)
$$

于是，根据平面向量基本定理可得

$$
\begin{aligned}
\cos \alpha+\cos \beta & =2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \\
\sin \alpha+\sin \beta & =2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \frac{\alpha+\beta}{2}
\end{aligned}
$$

这样通过几何图形得到上面两个公式

### 和差化积与积化和差推导方法三
1748年, 欧拉给出了著名的公式 $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$.

$\theta=\alpha$ 带入欧拉公式有

$\mathrm{e}^{i \alpha}=\cos \alpha+i \sin \alpha$ ...①
 
 $\theta=\beta$ 带入欧拉公式有
 $\mathrm{e}^{i \beta}=\cos \beta+i \sin \beta$ ...②
 
令 $\theta=\alpha+\beta$ 带入欧拉公式有

$ \mathrm{e}^{i(\alpha+\beta)}=\cos (\alpha+\beta)+i \sin (\alpha+\beta) $ ...③

根据指数运算规律③式左侧可写成 $\mathrm{e}^{i {(\alpha+\beta)}}  =\mathrm{e}^{i \alpha} \cdot \mathrm{e}^{i \beta}$ ④

由①-④ 并根据两个负数相等，应该实部等于实部，虚部等于虚部 得到：
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{i \alpha} \cdot \mathrm{e}^{i \beta}=(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta) \\
& =(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta) =\cos (\alpha+\beta)+i \sin (\alpha+\beta), \\
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
$$

> 欧拉公式仅用作和差化积的验证，其实并不能当做证明，这是因为欧拉公式使用了棣莫弗公式，棣莫弗公式又使用了和差公式，这样相当于进行循环证明，所以，他适合作为验证，然后记忆，不作为严格的证明。

## 例题
`例` 把 $\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta$ 化为乘积形式.
解: 方法 1 :
$$
\begin{aligned}
\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta & =(\sin \alpha+\sin \beta)(\sin \alpha-\sin \beta) \\
& =\left(2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\

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