最后更新: 2024-11-03 20:04 查看: 1609 次反馈同步训练

万能公式

## 万能公式

万能公式的意思是任何一个三角函数，都可以使用 $ \tan \dfrac{a}{2} $ 表示

![pic](../uploads/2022-10/2ccd27.jpg)

> 因为三角函数公式很多，利用万能公式，并令 $  x =\tan \dfrac{a}{2} $ ，这样可以把三角函数转换为普通的函数进行处理。
 
证明: 根据倍角公式有:
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha=2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\
& \cos \alpha=\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$

或者
$$
\sin \alpha=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos ^2 \frac{\alpha}{2}+\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha=\frac{\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos ^2 \frac{\alpha}{2}+\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$

上面两个等式的分母恒等于 1 , 因为 $\alpha \neq \pi+2 k \pi$, 则 $\frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$, 因而 $\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0$.
上两式右边的分子、分母同除以 $\cos ^2 \frac{\alpha}{2} \neq 0$, 得
$$
\sin \alpha=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha=\frac{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$

这两个式子相除就得到
$$
\tan \alpha=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$

`例` 已知 $\sin \alpha=0.8$, 且 $90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$, 求 $\sin 2 \alpha, \cos 2 \alpha$
解：除用倍角公式求解外，我们应用万能公式给出另解一种解法如下：因为 $\sin \alpha=0.8,90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$, 所以 $\tan \alpha=-

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：半角公式

下一篇：和差化积公式

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)