半角公式
用 角的三角函数来表示 的角的三角函数的公式称为半角三角函数公
式. 在倍角公式:
里, 用 代替 , 就得到
所以
由于 , 故知
两边开平方, 得
当 时, 且 上面两个等式的两边相除, 得到
下面三个公式称为半角的三角函数公式:
其中: . 至于根号前正号或负号的选取是依半角的终边位于什么象限内而定.
例1
已知,
求 和 .
解:因为已知 , 所以 这时可以肯定 角是第一象限的角, 所以 的值是正的, 和 的值是负的, 因此得到
例2
已知 , 求 .
解:因为 , 所以 角是第二或第三象限的角, 即
或者
从而由不等式 知道
当 为正、负偶数时, 角是第一象限的角; 当 为正、负奇数时, 角是第三象限的角, 因此, 尽管知道 是第二象限的角, 也不能确定 是第几象
限的角, 它可能是第一象限的角, 也可能是第三象限的角, 所以 的值取符号 “+”号或 “-”号不能确定.
同理, 由不等式 知道
当 为正负偶数时, 是第二象限角; 当 为正负奇数时, 是第二象限角,因此, 当 是第三象限的角时, 可能是第二象限的角或第四象限的角, 所以 的值的符号不能确定.
根据上面的讨论知道
从上面的两个例子, 可以知道, 如果能确定 角在哪一个固定的区间, 就可以确定角 在哪一个固定的区间, 这时公式 (1.19)、(1.20)、(1.21) 就能够选取固定的 “+” 号或 “-” 号; 如果只知道角 所在象限, 而不知道它在哪一个固定的区间时, 就不能确定角 在哪一个固定的区间, 这时公式 (1.19)、 、 中,就应该保留 “ " 号.
例3
利用半角公式求 的值(准确到 0.001 )
解:因为 是第一象限的角, 把它作为 的半角, 使得
例4
求证:
证明: 因为 , 所以:
又因此:
我们来说明,当 α 是锐角时,这个公式的几何意义,如图 1.4 所示.

在单位圆中, 半径 (弧度).
于是,
上面这个结论最好也能记住,即
例5
求 的值.
解:解法 1:
解法 2 :
由这两种解法看出, 如果已知 的值, 那么求 时, 用公式 (1.24) 要比公式 (1.23) 方便一些, 其中尤以 更方便.