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最后更新: 2024-11-03 20:02    查看: 603 次    高考专区    考研专区    公式专区    刷题专区    词条搜索       

半角公式

半角公式

α 角的三角函数来表示 α2 的角的三角函数的公式称为半角三角函数公
式. 在倍角公式:

cos2α=12sin2α,cos2α=2cos2α1

里, 用 α2 代替 α, 就得到

cosα=12sin2α2,cosα=2cos2α21

所以

sin2α2=1cosα2,cos2α2=1+cosα2

由于 0sin2α21,0cos2α21, 故知

01±cosα21

两边开平方, 得

sinα2=±1cosα2,cosα2=±1+cosα2

α(2k+1)π 时, cosα20cosα1; 上面两个等式的两边相除, 得到

tanα2=±1cosα1+cosα

下面三个公式称为半角的三角函数公式:

sinα2=±1cosα2cosα2=±1+cosα2tanα2=±1cosα1+cosα

其中: α(2k+1)π. 至于根号前正号或负号的选取是依半角的终边位于什么象限内而定.

例1 已知, cosα=0.6,270<α<360
sinα2,cosα2tanα2.

解:因为已知 270<α<360, 所以 135<α2<180 这时可以肯定 α2 角是第一象限的角, 所以 sinα2 的值是正的, cosα22tanα2 的值是负的, 因此得到

sinα2=1cosα2=10.62=55cosα2=1+cosα2=1+0.62=255tanα2=1cosα1+cosα=10.61+0.6=12

例2 已知 cosα=13, 求 sinα2.

解:因为 cosα=13<0, 所以 α 角是第二或第三象限的角, 即

π2+2kπ<α<π+2kπ

或者

π+2kπ<α<3π2+2kπ(kZ)

从而由不等式 (1.22) 知道

π4+kπ<α2<π2+kπ(kZ)

k 为正、负偶数时, α2 角是第一象限的角; 当 k 为正、负奇数时, α2 角是第三象限的角, 因此, 尽管知道 α 是第二象限的角, 也不能确定 α2 是第几象

限的角, 它可能是第一象限的角, 也可能是第三象限的角, 所以 sinα2 的值取符号 “+”号或 “-”号不能确定.
同理, 由不等式 (1.23) 知道

π2+kπ<α2<3π4+kπ(kZ)

k 为正负偶数时, α2 是第二象限角; 当 k 为正负奇数时, α2 是第二象限角,因此, 当 α 是第三象限的角时, α2 可能是第二象限的角或第四象限的角, 所以 sinα2 的值的符号不能确定.
根据上面的讨论知道

sinα2=±1cosα2=±1+132=±63

从上面的两个例子, 可以知道, 如果能确定 α 角在哪一个固定的区间, 就可以确定角 α2 在哪一个固定的区间, 这时公式 (1.19)、(1.20)、(1.21) 就能够选取固定的 “+” 号或 “-” 号; 如果只知道角 α 所在象限, 而不知道它在哪一个固定的区间时, 就不能确定角 α2 在哪一个固定的区间, 这时公式 (1.19)、 (1.20)(1.21) 中,就应该保留 “ ± " 2 号.

例3利用半角公式求 cosπ8 的值(准确到 0.001 )
解:因为 π8 是第一象限的角, 把它作为 π4 的半角, 使得

cosπ8=1+cosπ42=1+222=122+20.924

例4求证: tanα2=sinα1+cosα=1cosαsinα
证明: 因为 sin2α=1cos2α=(1+cosα)(1cosα), 所以:

sinα1+cosα=1cosαsinα 又 tanα2=sinα2cosα2=sinα22cosα2cosα22cosα2=sinα1+cosα, 因此: tanα2=sinα1+cosα=1cosαsinα

我们来说明,当 α 是锐角时,这个公式的几何意义,如图 1.4 所示.
图片

在单位圆中, 半径 |OA|=|OP|=|OB|=1,POA=α (弧度).
于是, MP=sinα,OM=cosα,PBA=α2

tanα2=MPBM=MPBO+OM=sinα1+cosα

上面这个结论最好也能记住,即

tanα2=sinα1+cosα=1cosαsinα

例5tan15 的值.
解:解法 1: tan15=1cos30sin30=13212=23
解法 2 :

tan15=1cos301+cos30=1321+32=232+3=(23)2=23

由这两种解法看出, 如果已知 sinα,cosα 的值, 那么求 tanα2 时, 用公式 (1.24) 要比公式 (1.23) 方便一些, 其中尤以 tanα2=1cosαsinα 更方便.


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