最后更新: 2025-05-29 19:30 查看: 442 次反馈同步训练

二倍角与三倍角公式

## 一、二倍角的正弦、余弦和正切
在两角和的正弦、余弦和正切的公式中, 令 $\beta=\alpha$, 则得到
$$
\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cos \alpha+\cos \alpha \sin \alpha
$$

即
$$
\boxed{
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha  ...(1.11)
}
$$

又
$$
\cos (\alpha+\alpha)=\cos \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \sin \alpha  .
$$

即
$$
\boxed{
\cos 2 \alpha=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha ..(1.12)
}
$$

若在公式 (1.12) 中, 用 $1-\sin ^2 \alpha$ 代换 $\cos ^2 \alpha$, 或用 $1-\cos ^2 \alpha$ 代换 $\sin ^2 \alpha$, 则对于 $\cos 2 \alpha$ 又得到两个公式

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\cos 2 \alpha & =1-2 \sin ^2 \alpha \\
\cos 2 \alpha & =2 \cos ^2 \alpha-1 \\
\end{aligned}
}
$$

又  $\tan (\alpha+\alpha)  =\dfrac{\tan \alpha+\tan \alpha}{1-\tan \alpha \tan \alpha}$

即:
$$
\boxed{
\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}  ...(1.15)
}
$$

## 推广
1.二倍角的三角函数的公式是把任意角的三角函数与小一半的角的三角函数联系起来, 它们可以写成下面的各种形式的等式. 例如
$$
\boxed{
\begin{aligned}
\sin 4 \alpha & =\sin 2 \cdot(2 \alpha)=2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha \\
\sin \alpha & =\sin 2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\
\cos \frac{\alpha}{2} & =\cos ^2 \frac{\alpha}{4}-\sin ^2 \frac{\alpha}{4} \\
\tan 3 \alpha & =\frac{2 \tan \frac{3 \alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{3 \alpha}{2}}
\end{aligned}
}
$$

2.在二倍的正切公式 (1.15) 中, 除了 $\alpha=\frac{\pi}{2}+k \pi$ 和 $\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z})$诸值之外, 对 $\alpha$ 的其余一切值都成立, 因为当所指定的那些 $\alpha$ 值, $\tan \alpha$和 $\tan 2 \alpha$ 都不存在.
  
3.在使用二倍角三角函数的公式作恒等变形时, 不但要回“从左到右”计算，也要回“从右到左”计算。

`例` 用 $\alpha$ 角的三角函数表示 $\sin 3 \alpha, \cos 3 \alpha$ 和 $\tan 3 \alpha$.
解：
1.
$$
\begin{aligned}
\sin 3 \alpha & =\sin (\alpha+2 \alpha)=\sin \alpha \cos 2 \alpha+\cos \alpha \sin 2 \alpha \\
& =\sin \alpha\left(1-2 \sin ^2 \alpha\right)+2 \sin \alpha\left(1-\sin ^2 \alpha\right) \\
& =\sin \alpha-2 \sin ^3 \alpha+2 \sin \alpha-2 \sin ^3 \alpha \\
& =3 \sin \alpha-4 \sin ^3 \alpha
\end{aligned}
$$
2.
$$
\begin{aligned}
\cos 3 \alpha & =\cos (\alpha+2 \alpha)=\cos \alpha \cos 2 \alpha-\sin \alpha \sin 2 \alpha \\
& =\cos \alpha\left(2 \cos ^2 \alpha-1\right)-2 \cos \alpha\left(1-\cos ^2 \alpha\right) \\
& =2 \cos ^3 \alpha-\cos \alpha-2 \cos \alpha+2 \cos ^3 \alpha \\
& =4 \cos ^3 \alpha-3 \cos \alpha
\end{aligned}
$$
3.
$$
\begin{aligned}
\tan 3 \alpha & =\tan (\alpha+2 \alpha)=\frac{\tan \alpha+\tan 2 \alpha}{1-\tan \alpha \tan 2 \alpha} \\
& =\frac{\tan \alpha+\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}}{1-\tan \alpha \cdot \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}} \\
& =\frac{\tan \alpha-\tan ^3

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：两角和差公式

下一篇：半角公式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)