最后更新: 2025-01-06 18:04 查看: 282 次反馈刷题

二倍角与三倍角公式

## 一、二倍角的正弦、余弦和正切
在两角和的正弦、余弦和正切的公式中, 令 $\beta=\alpha$, 则得到
$$
\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cos \alpha+\cos \alpha \sin \alpha
$$

即
$$
\boxed{
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha  ...(1.11)
}
$$

又
$$
\cos (\alpha+\alpha)=\cos \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \sin \alpha  .
$$

即
$$
\boxed{
\cos 2 \alpha=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha ..(1.12)
}
$$

若在公式 (1.12) 中, 用 $1-\sin ^2 \alpha$ 代换 $\cos ^2 \alpha$, 或用 $1-\cos ^2 \alpha$ 代换 $\sin ^2 \alpha$, 则对于 $\cos 2 \alpha$ 又得到两个公式

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\cos 2 \alpha & =1-2 \sin ^2 \alpha \\
\cos 2 \alpha & =2 \cos ^2 \alpha-1 \\
\end{aligned}
}
$$

又  $\tan (\alpha+\alpha)  =\dfrac{\tan \alpha+\tan \alpha}{1-\tan \alpha \tan \alpha}$

即:
$$
\boxed{
\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}  ...(1.15)
}
$$

## 推广
1.二倍角的三角函数的公式是把任意角的三角函数与小一半的角的三角函数联系起来, 它们可以写成下面的各种形式的等式. 例如
$$
\boxed{
\begin{aligned}
\sin 4 \alpha & =\sin 2 \cdot(2 \alpha)=2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha \\
\sin \alpha & =\sin 2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\
\cos \frac{\alpha}{2} & =\cos ^2 \frac{\alpha}{4}-\sin ^2 \frac{\alpha}{4} \\
\tan 3 \alpha & =\frac{2 \tan \frac{3 \alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{3 \alpha}{2}}
\end{aligned}
}
$$

2.在二倍的正切公式 (1.15) 中, 除了 $\alpha=\frac{\pi}{2}+k \pi$ 和 $\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z})$诸值之外, 对 $\alpha$ 的其余一切值都成立, 因为当所指定的那些 $\alpha$ 值, $\tan \alpha$和 $\tan 2 \alpha$ 都不存在.
  
3.在使用二倍角三角函数的公式作恒等变形时, 不但要回“从左到右”计算，也要回“从右到左”计算。

`例` 用 $\alpha$ 角的三角函数表示 $\sin 3 \alpha, \cos 3 \alpha$ 和 $\tan 3 \alpha$.
解：
1.
$$
\begin{aligned}
\sin 3 \alpha & =\sin (\alpha+2 \alpha)=\sin \alpha \cos 2 \alpha+\cos \alpha \sin 2 \alpha \\
& =\sin \alpha\left(1-2 \sin ^2 \alpha\right)+2 \sin \alpha\left(1-\sin ^2 \alpha\right) \\
& =\sin \alpha-2 \sin ^3 \alpha+2 \sin \alpha-2 \sin ^3 \alpha \\
& =3 \sin \alpha-4 \sin ^3 \alpha
\end{aligned}
$$
2.
$$
\begin{aligned}
\cos 3 \alpha & =\cos (\alpha+2 \alpha)=\cos \alpha \cos 2 \alpha-\sin \alpha \sin 2 \alpha \\
& =\cos \alpha\left(2 \cos ^2 \alpha-1\right)-2 \cos \alpha\left(1-\cos ^2 \alpha\right) \\
& =2 \cos ^3 \alpha-\cos \alpha-2 \cos \alpha+2 \cos ^3 \alpha \\
& =4 \cos ^3 \alpha-3 \cos \alpha
\end{aligned}
$$
3.
$$
\begin{aligned}
\tan 3 \alpha & =\tan (\alpha+2 \alpha)=\frac{\tan \alpha+\tan 2 \alpha}{1-\tan \alpha \tan 2 \alpha} \\
& =\frac{\tan \alpha+\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}}{1-\tan \alpha \cdot \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}} \\
& =\frac{\tan \alpha-\tan ^3 \alpha+2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha-2 \tan ^2 \alpha} \\
& =\frac{3 \tan \alpha-\tan ^3 \alpha}{1-3 \tan ^2 \alpha}
\end{aligned}
$$

> 上面用和差化积公式推导出了三倍角公式，还可以利用复数里的 [棣莫弗公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=829) 推导三倍角公式,详细可以查看上面链接。

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