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复习0：主要概念集（上）
日期:
2024-04-06 15:45
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复习0：主要概念集（上）
## 极限存在的两个重要法则 （1）$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ （2）$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. ## 连续与间断点 ### 连续定义 （1）设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义, 如果$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right),$那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续. （2）如果 $\lim _{x \rightarrow x_{\overline{0}}} f(x)=f\left(x_0^{-}\right)$存在且等于 $f\left(x_0\right)$, 即$f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0\right),$ 那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续. （3）如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0^{+}\right)$存在且等于 $f\left(x_0\right)$, 即$f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0\right),$ 那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续. ## 函数的间断点 #### 第一类间断点 如果 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的间断点, 但左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$及右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$都存在, 那么 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的第一类间断点 #### 第二类间断点 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点. ## 零点定理与介值定理 定理 1 (有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值. #### 零点定理 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号 (即 $f(a) \cdot f$ $(b)<0)$, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$, 使 $f(\xi)=0$. #### 介值定理 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A \text { 及 } f(b)=B,$ 则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $C$, 在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$, 使得 $f(\xi)=C$ ## 斜率与法线 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程, 可知曲线 $y=f(x)$ 在点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为$y-y_0=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right) \text {. }$ 过切点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $y=f(x)$ 在点 $M$ 处的法线. 如果 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$, 法线的斜率为 $-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}$, 从而法线方程为$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right) .$ ## 中值定理 通常称导数等于零的点为函数的驻点 (或稳定点, 临界点). #### 费马引理 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U\left(x_0\right)$ 内有定义, 并且在 $x_0$ 处可导,如果对任意的 $x \in U\left(x_0\right)$, 有 $f(x) \leqslant f\left(x_0\right) \quad\left(\text { 或 } f(x) \geqslant f\left(x_0\right)\right),$ 那么 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$. #### 罗尔定理 如果函数 $f(x)$ 满足 (1) 在闭区间 $[a, b]$ 上连续; (2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导; (3) 在区间端点处的函数值相等, 即 $f(a)=f(b)$,那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi(a<\xi<b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$. #### 拉格朗日中值定理 如果函数 $f(x)$ 满足 (1) 在闭区间 $[a, b]$ 上连续; (2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导, 那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi \quad(a<\xi<b)$, 使等式$f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$成立. #### 柯西中值定理 如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足 (1) 在闭区间 $[a, b]$ 上连续; (2) 在开区间 $(a, b)$ 内可导; (3) 对任一 $x \in(a, b), F^{\prime}(x) \neq 0$, 那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$, 使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$成立. #### 洛必达法则 设 (1) 当 $x \rightarrow a$ 时, 函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零; (2) 在点 $a$ 的某去心邻域内, $f^{\prime}(x)$ 及 $F^{\prime}(x)$ 都存在且 $F^{\prime}(x) \neq 0$; (3) $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}$ 存在 (或为无穷大), 则 $$ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{F(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} . $$ #### 泰勒 ( Taylor) 中值定理1 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数,那么存在 $x_0$ 的一个邻域, 对于该邻域内的任一 $x$, 有 $$ f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x), $$ 其中 $$ R_n(x)=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right) . $$ #### 泰勒 ( Taylor) 中值定理 2 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U\left(x_0\right)$ 内具有 $(n$ $+1)$ 阶导数, 那么对任一 $x \in U\left(x_0\right)$, 有 $$ \begin{aligned} f(x)= & f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+ \\ & \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x), \end{aligned} $$ 其中 $$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}, $$ 这里 $\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值. #### 麦克劳林公式 在泰勒公式中, 如果取 $x_0=0$, 那么被称为麦克劳林公式 ## 函数的凸凹性 #### 定义 1 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续, 如果对 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ 恒有 $$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}, $$ 那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是 (向上) 凹的 (或凹弧); 如果恒有 $$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}, $$ 那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是 (向上) 凸的 (或凸弧). #### 定理 2 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内具有一阶和二阶导数, 那么 (1) 若在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的图形是凹的; (2) 若在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime \prime}(x)<0$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的图形是 凸的. ## 函数的极值 **定理 1** (必要条件) 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导,且在 $x_0$ 处取得极值, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ $=0$. **定理 2** (第一充分条件) 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续, 且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\ddot{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内可导. (1) 若 $x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 而 $x \in\left(x_0, x_0+\delta\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值; TopSage.com (2) 若 $x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 而 $x \in\left(x_0, x_0+\delta\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值; **定理3** (第二充分条件) 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$, 则 (1) 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值; (2) 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值. ## 曲率 弧微分公式: $d s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$, 其中 $y^{\prime}=\operatorname{tg} \alpha$ 平均曲率: $\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| \Delta \alpha:$ 从 $\mathrm{M}$ 点到 $\mathrm{M}^{\prime}$ 点, 切线斜率的倾角变化量; $\Delta \mathrm{s}: M M$ 弧长。 M点的曲率: $K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{d \alpha}{d s}\right|=\frac{\left|y^n\right|}{\sqrt{\left(1+y^{\prime 2}\right)^3}}$. 直线: $K=0$; 半径为 $a$ 的圆: $K=\frac{1}{a}$. #### 弧微分公式 $\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x .$这就是弧微分公式. #### 曲率计算公式 $K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{3 / 2}}$ ## 不定积分 #### 原函数 如果在区间 $I$ 上, 可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$, 即 对任一 $x \in I$, 都有 $$ F^{\prime}(x)=f(x) \text { 或 } \mathrm{d} F(x)=f(x) \mathrm{d} x, $$ 那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ (或 $f(x) \mathrm{d} x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数. #### 定积分 在区间 $I$ 上, 函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ （或 $f(x) \mathrm{d} x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分, 记作 $\int f(x) \mathrm{d} x .$ 其中记号 $\int$ 称为积分号, $f(x)$ 称为被积函数, $f(x) \mathrm{d} x$ 称为被积表达式, $x$ 称为积分变量. 定积分的近似计算: 矩形法: $\int_a^b f(x) \approx \frac{b-a}{n}\left(y_0+y_1+\cdots+y_{n-1}\right)$ 梯形法: $\int_a^b f(x) \approx \frac{b-a}{n}\left[\frac{1}{2}\left(y_0+y_n\right)+y_1+\cdots+y_{n-1}\right]$ 抛物线法: $\int_a^b f(x) \approx \frac{b-a}{3 n}\left[\left(y_0+y_n\right)+2\left(y_2+y_4+\cdots+y_{n-2}\right)+4\left(y_1+y_3+\cdots+y_{n-1}\right)\right]$ 定积分应用相关公式: 功: $W=F \cdot s$ 水压力: $F=p \cdot A$ 引力: $F=k \frac{m_1 m_2}{r^2}, k$ 为引力系数 函数的平均值: $\bar{y}=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x$ 均方根: $\sqrt{\frac{1}{b-a} \int_a^b f^2(t) d t}$ #### 第一类换元法求积分 第一类换元法也被称作“凑积分”法。 设 $f(u)$ 具有原函数, $u=\varphi(x)$ 可导,则有换元公式 $$ \int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left[\int f(u) \mathrm{d} u\right]_{u=\varphi(x)} . $$ #### 第二类换元法求积分 第二类换元法也被称作“换元”法。 设 $x=\psi(t)$ 是单调的可导函数, 并且 $\psi^{\prime}(t) \neq 0$. 又设 $f[\psi(t)] \psi^{\prime}(t)$ 具有原函数,则有换元公式 $$ \int f(x) \mathrm{d} x=\left[\int f[\psi(t)] \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right]_{t=\psi^{-1}\left(x\right)} $$ 其中 $\psi^{-1}(x)$ 是 $x=\psi(t)$ 的反函数. #### 分部积分法 设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有连续导数, 则两个函数乘积的导数公式为 $$ (u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}, $$ 移项, 得 $$ u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v . $$ 对这个等式两边求不定积分, 得 $$ \int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x $$ #### 有理函数的积分 利用分式相除或者待定系数法求解。 #### 定积分中值定理 如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上连续, 那么在 $[a, b]$ 上至少存在一个点 $\xi$, 使下式成立: $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a) \quad(a \leqslant \xi \leqslant b) . $$ ## 定积分 #### 牛顿一莱布尼茨公式 如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$上的一个原函数,那么 $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a) $$ ### 反常积分 设函数 $f(x)$ 在区间 $[\boldsymbol{a},+\infty)$ 上连续, 任取 $t>a$, 作定积分 $\int_a^t f(x) \mathrm{d} x$, 再求极限: $$ \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d} x, $$ 这个对变上限定积分的算式称为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分, 记为 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 即 $$ \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d} x $$ 定义 1 (1) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续, 如果极限 $(4-1)$ 存在, 那么称反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 并称此极限为该反常积分的值; 如果极限 (4-1)不存在, 那么称反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散. (2) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, b]$ 上连续, 如果极限 $(4-2)$ 存在, 那么称反常积分 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 并称此极限为该反常积分的值; 如果极限 (4-2) 不存在,那么称反常积分 $\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散. (3) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 如果反常积分 $\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x$ 与反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均收玫, 那么称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 并称反常积分 $\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x$ 的值与反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 的值之和为反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 的值, 否则就称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散. ## $\Gamma$ 函数 #### $\Gamma$ 定义 $$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x \quad(s>0) . $$ (1) 递推公式 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)(s>0)$. (2)一个结论： $ \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u=\frac{\sqrt{\pi}}{2} .$
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