最后更新: 2025-06-01 05:05 查看: 263 次反馈同步训练

总复习：主要概念集（下）

## 空间几何体
空间两点的距离: $d=\left|M_1 M_2\right|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$向量在轴上的投影: $\operatorname{Prj}_\mu \overrightarrow{A B}=|\overrightarrow{A B}| \cdot \cos \varphi, \varphi$ 是 $\overrightarrow{A B}$ 与 $u$ 轴的夹角。

$\operatorname{Prj} _w\left(\vec{a}_1+\vec{a}_2\right)=\operatorname{Prj} \vec{a}_1+\operatorname{Prj} \vec{a}_2$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \theta=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z$, 是一个数量,
两向量之间的夹角: $\cos \theta=\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x{ }^2+a_y{ }^2+a_z{ }^2} \cdot \sqrt{b_x{ }^2+b_y{ }^2+b_z{ }^2}}$
$\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end{array}\right| \cdot|\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \sin \theta$.

例: 线速度: $\bar{v}=\bar{w} \times \vec{r}$.

向量的混合积: $[\bar{a} \bar{b} \vec{c}]=(\vec{a} \times \bar{b}) \cdot \vec{c}=\left|\begin{array}{lll}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|=|\vec{a} \times \vec{b}| \cdot|\vec{c}| \cos \alpha, \alpha$ 为锐角时，代表平行六面体的体积。

## 平面的方程
1、点法式: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$, 其中 $\vec{n}=\{A, B, C\}, M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$
2、一般方程: $A x+B y+C z+D=0$
3、截距世方程: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
平面外任意一点到该平面的距离: $d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
空问直线的方程: $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$, 其中 $\vec{s}=\{m, n, p\}$; 骖数方程: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+m t \\ y=y_0+n t \\ z=z_0+p t\end{array}\right.$

### 二次曲面
(1) 椭球面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$
(2)椭圆抛物面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2 c z(a, b>0)$
(3)椭圆锥面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}(a, b, c>0)$
(4) 椭圆柱面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$
(5) 双曲柱面: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$
(6)抛物柱面: $\frac{x^2}{a^2}-y=0(a>0)$
(7)单叶双曲面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$
(8)双叶双曲面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1(a, b, c>0)$
(9)双曲拋物面 (马鞍面): $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=z(p>0, q>0)$

## 多元函数微分法及应用

全微分: $d z=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y \quad d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+\frac{\partial u}{\partial z} d z$
全微分的近似计算: $\Delta z \approx d z=f_x(x, y) \Delta x+f_{,}(x, y) \Delta y$
多元复合函数的求导法:
$z=f[u(t), v(t)] \quad \frac{d z}{d t}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial t}$
$z=f[u(x, y), v(x, y)] \quad \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$
当 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 时，
$d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y \quad d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y$
#### 隐函数的求导公式:
隐函数 $F(x, y)=0, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{F_x}{F_y}, \quad \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right) \cdot \frac{d y}{d x}$
隐函数 $F(x, y, z)=0, \quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

隐函数方程组: $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array} \quad J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array}\right|\right.$
$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)} & \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)} \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)} & \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}
\end{array}
$$

## 微分法在几何上的应用:
空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \text { 在点 } M\left(x_0, y_0, z_0\right) \text { 处的切线方程: } \frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(t_0\right)} \\ z=\omega(t)\end{array}\right.$
在点 $M$ 处的法平面方程: $\varphi^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(t_0\right)\left(z-z_0\right)=0$
若空间曲线方程为: $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$, 则切向量 $\vec{T}=\left\{\begin{array}{ll}F_y & F_z \\ G_y & G_z\end{array}\left|, \begin{array}{ll}F_z & F_x \\ G_z & G_x\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}F_x & F_y \\ G_x & G_y\end{array}\right|\right\}$
曲面 $F(x, y, z)=0$ 上一点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 则:
1、过此点的法向量: $\vec{n}=\left\{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right), F_y\left(x_0, y_0, z_0\right), F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\right\}$
2、过此点的切平面方程: $F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z-z_0\right)=0$
3、过此点的法线方程: $\frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)}$

## 方向导数与梯度:
函数 $z=f(x, y)$ 在一点 $p(x, y)$ 沿任一方向 $l$ 的方向导数为: $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \varphi+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \varphi$
其中 $\varphi$ 为 $x$ 轴到方向 $l$ 的转角。
函数 $z=f(x, y)$ 在一点 $p(x, y)$ 的梯度: $\operatorname{grad} f(x, y)=\frac{\partial f}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \vec{j}$
它与方向导数的关系是: $\frac{\partial f}{\partial l}=\operatorname{grad} f(x, y) \cdot \vec{e}$, 其中 $\vec{e}=\cos \varphi \cdot \vec{i}+\sin \varphi \cdot \vec{j}$, 为 $l$ 方向上的单位向量。
$\therefore \frac{\partial f}{\partial l}$ 是 $\operatorname{grad} f(x, y)$ 在 $l$ 上的投影。

## 多元函数的极值及其求法:
$$
\begin{aligned}
& \text { 设 } f_x\left(x_0, y_0\right)=f_y\left(x_0, y_0\right)=0 \text {, 令: } f_{x x}\left(x_0, y_0\right)=A, \quad f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=B, \quad f_{y y}\left(x_0, y_0\right)=C \\
& \text { 则: } \begin{cases}A C-B^2>0 \text { 时, }\left\{\begin{array}{l}
A<0,\left(x_0, y_0\right) \text { 为极大值 } \\
A>0,\left(x_0, y_0\right) \text { 为极小值 }
\end{array}\right. \\
A C-B^2<0 \text { 时, } & \text { 无极值 } \\
A C-B^2=0 \text { 时, } & \text { 不确定 }\end{cases} \\
&
\end{aligned}
$$

## 重积分及其应用:
$$
\iint_D f(x, y) d x d y=\iint_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta
$$

曲面 $z=f(x, y)$ 的面积 $A=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} d x d y$
平面薄片的重心: $\bar{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) d \sigma}{\iint_D \rho(x, y) d \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) d \sigma}{\iint_D \rho(x, y) d \sigma}$
平面薄片的转动惯量: 对于 $x$ 轴 $I_x=\iint_D y^2 \rho(x, y) d \sigma$, 对于 $y$ 轴 $I_y=\iint_D x^2 \rho(x, y) d \sigma$平面薄片 (位于 $x o y$ 平面) 对 $z$ 轴上质点 $M(0,0, a),(a>0)$ 的引力: $F=\left\{F_x, F_y, F_z\right\}$, 其中:
$$
F_x=f \iint_D \frac{\rho(x, y) x d \sigma}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}}, \quad F_y=f \iint_D \frac{\rho(x, y) y d \sigma}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}}, \quad F_z=-f a \iint_D \frac{\rho(x, y) x d \sigma}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

## 柱面坐标和球面坐标:

柱面坐标 $$\left\{\begin{array}{c}
x=r \cos \theta \\
y=r \sin \theta, \\
z=z
\end{array}\right. $$ 
$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_{\Omega} F(r, \theta, z) r d r d \theta d z,$

其中: $F(r, \theta, z)=f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)$

球面坐标
$$ \left\{\begin{array}{c}
x=r \sin \varphi \cos \theta \\
y=r \sin \varphi \sin \theta, \\
z=r \cos \varphi
\end{array}\right.$$
$d v=r d \varphi \cdot r \sin \varphi \cdot d \theta \cdot d r=r^2 \sin \varphi d r d \varphi d \theta$

$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_{\Omega} F(r, \varphi, \theta) r^2 \sin \varphi d r d \varphi d \theta=\iint_0^{2 \pi} d \theta \iint_0^\pi d \varphi \int_0^{r(\theta, \theta)} F(r, \varphi, \theta) r^2 \sin \varphi d r \\
& \text { 重心: } \bar{x}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} x \rho d v, \quad \bar{y}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} y \rho d v, \quad \bar{z}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} z \rho d v, \quad \text { 其中 } M=\bar{x}=\iiint_{\Omega} \rho d v \\
& \text { 转动惯量: } I_x=\iiint_{\Omega}\left(y^2+z^2\right) \rho d v, \quad I_y=\iiint_{\Omega}\left(x^2+z^2\right) \rho d v, \quad I_z=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \rho d v
\end{aligned}
$$

## 曲线积分:
### 第一类曲线积分 (对弧长的曲线积分)：
设 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续, $L$ 的参数方程为: $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}, \quad(\alpha \leq t \leq \beta)\right.$, 则:
$$
\int_i f(x, y) d s=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t), \psi(t)] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t \quad(\alpha<\beta) \quad \text { 特殊情况: }\left\{\begin{array}{c}
x=t \\
y=\varphi(t)
\end{array}\right.
$$

### 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$, 则:
$$
\int_L P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_\alpha^\beta\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} d t
$$

两类曲线积分之间的关系: $\int_L P d x+Q d y=\int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s$, 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为
$L$ 上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式: $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_L P d x+Q d y$ 格林公式: $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_L P d x+Q d y$当 $P=-y, Q=x$, 即: $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2$ 时, 得到 $D$ 的面积: $A=\iint_D d x d y=\frac{1}{2} \oint x d y-y d x$
平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、 $G$ 是一个単连通区域;
2、 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 。注意奇点, 如 $(0,0)$, 应减去对此奇点的积分, 注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
在 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 时, $P d x+Q d y$ 才是二元函数 $u(x, y)$ 的全微分, 其中:
$u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$, 通常设 $x_0=y_0=0$ 。

## 曲面积分:
对面积的曲面积分: $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) d s=\iint_{D_o} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_x^2(x, y)+z_y^2(x, y)} d x d y$
对坐标的曲面积分: $\iint_{\Sigma} P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y$, 其中:
$\iint_{\Sigma} R(x, y, z) d x d y= \pm \iint_{D_n} R[x, y, z(

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