最后更新: 2026-04-03 08:29 查看: 194 次纠错评论(0) 课件开VIP

闭集、邻域、聚点、闭包、稠密

## 拓扑空间中的几个基本概念

下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过，但现在用开集概念来规定它们．

### 1. 闭集
**定义1.2** 拓扑空间 $X$ 的一个子集 $A$ 称为闭集，如果 $A^c$ 是开集．

也就是说，闭集就是开集的余集，反过来开集一定是一个闭集的余集。例如在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集；平凡拓扑空间 $X$ 中，只有两个闭集：$X=\varnothing^c$ 和 $\varnothing =X^c$ 。在 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 中，闭集或是 $X$ ，或为有限集；而 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_c\right)$ 中的闭集是 $X$ 或可数集．

**命题1.2** 拓扑空间的闭集满足：
（1）$X$ 与 $\varnothing$ 都是闭集；
（2）任意多个闭集的交集是闭集；
（3）有限个闭集的并集是闭集。

证明（1）因为 $X-\emptyset=X \in \mathscr{T}$ ，故 $\emptyset$ 是闭集．又因 $X-X=\emptyset \in \mathscr{T}$ ，所以 $X$ 也是闭集．
（2）设 $\left\{Y_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 是一族闭集，$U_\alpha=X-Y_\alpha$ ．由定义，$U_\alpha \in \mathscr{T}$ 是开集．注意

$$
X-\bigcap_{\alpha \in I} Y_\alpha=\bigcup_{\alpha \in I} U \alpha
$$

是开集，故 $\bigcap_{\alpha \in I} Y_\alpha$ 是闭集．
（3）设 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ 是闭集．由于

$$
X-Y_1 \cup Y_2 \cup \cdots \cup Y_n=\bigcap_{i=1}^n U_i
$$

是 $\bigcap_{i=1}^n U_i$ 是开集，故 $Y_1 \cup Y_2 \cup \cdots \cup Y_n$ 是闭集．

> 注命题1.2： 设集合 $X$ 是非空集，我们也可以用＂闭集＂定义 $X$ 上的拓扑．具体方法如下：设 $\mathscr{C}$ 是子集族，满足：
（1）$X, \emptyset \in \mathscr{C}$ ，
（2） $\mathscr{C}$ 中任意多个元素的交集仍在 $\mathscr{C}$ 中，
（3） $\mathscr{C}$ 中有限多个元素的并集还仍在 $\mathscr{C}$ 中．
令 $\mathscr{T}=\{U \mid X-U \in \mathscr{C}\}$ ，则 $\mathscr{T}$ 给出了集合 $X$ 上的拓扑。

`例` 设 $X=\mathbb{R}^1, \mathscr{T}$ 是标准拓扑．我们考察闭区间 $[a, b]:=\{x \mid a \leq x \leq b\}$ ．因为 $X-[a, b]=(-\infty, a) \cup(b,+\infty)$ 是 $\mathscr{T}$ 的开集，所以 $[a, b]$ 是闭集。

`例` $\mathscr{T}$ 是 $X$ 上的离散拓扑，对任何子集 $Y \subseteq X, Y$ 是开集．另一方面，$X-Y \in \mathscr{T}$ ，因此 $Y$ 是闭集．综上，$Y$ 既是开集，又是闭集．

`例` 设 $X=\{1,2,3\}, \mathscr{T}=\{\emptyset, X,\{1\},\{2,3\}\}, Y=\{1\}$ 是开集．另一方面，$X-Y= \{2,3\} \in \mathscr{T}$ 表明 $Y$ 是闭集．因此 $Y$ 既是开集也是闭集．

`例`  $X=\mathbb{R}^1, \mathscr{T}_f$ 是余有限拓扑。
$Y \subseteq X, Y$ 是闭集当且仅当 $X-Y$ 是开集，即 $X-(X-Y)$ 是有限集，或者 $X-Y=\emptyset$ ，亦即 $Y$是有限集或者 $Y=X$ ．

`例`  $X=R^2, \mathscr{T}$ 是 $X$ 上的标准拓扑．设

$$
Y=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0\} .
$$

因为 $X-Y=(-\infty, 0) \times R^1 \cup R^1 \times(-\infty, 0)$ 是开集，所以 $Y$ 是闭集．

### 2. 邻域、内点和内部
**定义1.3** 设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集，点 $x \in A$ 。如果存在开集 $U$ ，使得 $x \in U \subset A$ ，则称 $x$ 是 $A$ 的一个内点，$A$ 是 $x$ 的一个邻域．$A$ 的所有内点的集合称为 $A$ 的内部，记作 $\stackrel{\circ}{A}$（或 $A^{\circ}$ ）．

**命题1.3**（1）若 $A \subset B$ ，则 $\stackrel{\circ}{A} \subset \stackrel{\circ}{B}$ ；
（2）$\stackrel{\circ}{A}$ 是包含在 $A$ 中的所有开集的并集，因此是包含在 $A$ 中的最大开集；
（3）$\stackrel{\circ}{A}=A \Longleftrightarrow A$ 是开集；
（4）$(A \cap B)^{\circ}=\stackrel{\circ}{A} \cap \stackrel{\circ}{B}$ ；
（5）$(A \bigcup B)^{\circ} \supset \stackrel{\circ}{A} \bigcup \stackrel{\circ}{B}$ ．
证明（1）若 $x$ 是 $A$ 的内点，取开集 $U$ 使得 $x \in U \subset A$ ；因为 $A \subset B$ ，所以 $U \subset B$ ，于是 $x$ 也是 $B$ 的内点，这样，$A$ 的内点都是 $B$的内点，$\stackrel{\circ}{A} \subset \stackrel{\circ}{B}$ ．
（2）记 $\left\{U_\alpha \mid \alpha \in \mathscr{A}\right\}$ 是包含在 $A$ 中的所有开集构成的子集族。根据定义，$\forall \alpha \in \mathscr{A}, U_a \subset \stackrel{\circ}{A}$（ $\forall x \in U_a \subset A$ ，则 $x$ 为 $A$ 的内点）。因此 $\bigcup_{a \in \mathscr{A}} U_a \subset \stackrel{\circ}{A}$ 。反之，若 $x \in \stackrel{\circ}{A}$ ，由定义，$x$ 必属于某个 $U_a$ ，从而 $\bigcup_{a \in \mathscr{A}} U_a \supset \stackrel{\circ}{A}$ ．于是 $\stackrel{\circ}{A}=\bigcup_{a \in \mathscr{A}} U_a$ ．

（3）由（2）知，$\stackrel{\circ}{A}$ 是开集．若 $\stackrel{\circ}{A}=A$ ，则 $A$ 也是开集；反之，当 $A$ 是开集时，由（2）推出 $\stackrel{\circ}{A}=A$ ．
（4）对 $(A \cap B) \subset A$ 用（1），得 $(A \cap B)^{\circ} \subset \stackrel{\circ}{A}$ ；同理有 $(A \cap B)^{\circ} \subset \stackrel{\circ}{B}$ ，得到 $(A \cap B)^{\circ} \subset \stackrel{\circ}{A} \cap \stackrel{\circ}{B}$ ．对 $(A \cap B) \supset \stackrel{\circ}{A} \cap \stackrel{\circ}{B}$ 用（1），得到 $(A \cap B)^{\circ} \supset(\stackrel{\circ}{A} \cap \stackrel{\circ}{B})^{\circ}=\stackrel{\circ}{A} \cap \stackrel{\circ}{B}$（等号根据（3））．
（5）因为 $\stackrel{\circ}{A} \cup \stackrel{\circ}{B}$ 是包含在 $A \cup B$ 中的开集，根据结论（2），有 $(A \bigcup B)^{\circ} \supset \stackrel{\circ}{A} \bigcup \stackrel{\circ}{B}$ ．

用归纳法，从（4）可推出 $\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)^{\circ}=\bigcap_{i=1}^n \stackrel{\circ}{A}_i$ 。但对无穷多个子集的交集相应结果不成立．一般地（5）不能把包含号改为等号．请

### 3.聚点与闭包
**定义1.4** 设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子集，$x \in X$ 。如果 $x$ 的每个邻域都含有 $A \backslash\{x\}$ 中的点，则称 $x$ 为 $A$ 的**聚点**．$A$ 的所有聚点的集合称为 $A$ 的**导集**，记作 $A^{\prime}$ ．称集合 $\bar{A}:=A \cup A^{\prime}$ 为 $A$ 的**闭包**．

由定义不难推出：$x \in \bar{A} \Longleftrightarrow x$ 的任一邻域与 $A$ 都有交点。
闭包与内部这两个概念有密切关系，具体表现为

**命题1.4** 若拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 与 $B$ 互为余集，则 $\bar{A}$ 与 $\stackrel{\circ}{B}$ 互为余集．

证明 $\quad x \in \bar{A}^c \Longleftrightarrow x$ 有邻域与 $A$ 不相交
$\Longleftrightarrow x$ 有邻域包含在 $B$ 中
$\Longleftrightarrow x$ 是 $B$ 的内点，
因此 $\bar{A}^c=\stackrel{\circ}{B}$ ．

**命题1.5** （1）若 $A \subset B$ ，则 $\bar{A} \subset \bar{B}$ ；
（2） $\bar{A}$ 是所有包含 $A$ 的闭集的交集，所以是包含 $A$ 的最小的闭集；
（3） $\bar{A}=A \Longleftrightarrow A$ 是闭集；
（4）$\overline{A \bigcup B}=\bar{A} \bigcup \bar{B}$ ；
（5）$\overline{A \cap B} \subset \bar{A} \cap \bar{B}$ ．
证明留给读者．（可用命题1．3的结果，或用其方法．）

> 聚点的概念在欧氏空间中早已出现．要注意现在的推广概念在意义上已发生一些改变。

欧氏空间中集合 $A$ 的聚点的近旁确实聚集了 $A$ 的无穷多个点，因此有限集是没有聚点的．而在拓扑空间中则不然。例如设 $X=\{a, b, c\}$ ，规定拓扑为 $\tau=\{X, \varnothing,\{a\}\}$ ，则当 $A=\{a\}$ 时，$b$ 和 $c$ 都是 $A$ 的聚点，因为 $b$ 或 $c$ 的邻域只有 $X$ 一个，它包含 $a . a$ 不是 $A$ 的聚点，因为 $A \backslash\{a\}=\varnothing$ ．

拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 称为**稠密**的，如果 $\bar{A}=X$ 。如果 $X$ 有可数的稠密子集，则称 $X$ 是**可分拓扑空间**．

例如，$\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 是可分的，事实上它的任一无穷子集都是稠密的，有理数集 $\boldsymbol{Q}$ 是它的一个可数稠密子集；$\left(\boldsymbol{R}, \tau_c\right)$ 不是可分的，因为它的任一可数集都是闭集，不可能稠密．

### 4. 序列的收敛性
在数学分析中，序列收敛的概念是很基本的。拓扑空间中也可推广这个概念，但它失去了一些重要的性质．

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$（或简单地记作 $\left\{x_n\right\}$ ）是拓扑空间 $X$ 中点的序列，如果点 $x_0 \in X$ 的任一邻域 $U$ 都包含 $\left\{x_n\right\}$ 的几乎所有项 （即只有有限个 $x_n$ 不在 $U$ 中；或存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时， $\left.x_n \in U\right)$ ，则说 $\left\{x_n\right\}$ 收敛到 $x_0$ ，记作 $x_n \rightarrow x_0$ 。

拓扑空间中的序列可能收敛到多个点。例如 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 中，只要序列 $\left\{x_n\right\}$ 的项两两不同，则任一点 $x \in \boldsymbol{R}$ 的邻域（必是有限集的余集）包含 $\left\{x_n\right\}$ 的几乎所有项，从而 $x_n \rightarrow x$ ．
数学分析中，当点 $x$ 是集合 $A$ 的聚点时，则 $A$ 中有序列收敛到 $x$ 。在拓扑空间中这一性质不再成立。例如在 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_c\right)$ 中，$x_n \rightarrow x \Longleftrightarrow$ 对几乎所有 $n, x_n=x$（习题13）．设 $A$ 是一个不可数真子集，于是 $\bar{A}=\boldsymbol{R}$（因为包含 $A$ 的闭集只有 $\boldsymbol{R}$ ）．取 $x \bar{\in} A$ ，则 $x$ 是 $A$ 的聚点，但 $A$ 中任一序列不可能收敛到 $x$ 。

由于拓扑空间中的序列收敛性出现这些不正常现象，它也就失去了重要性．

## 理解：闭集、导集、闭包

## 1. 闭集（Closed Set）
一句话：
**包含了所有“极限点”的集合。**

更口语：
- 你在集合里取一串点，无限靠近某个点
- 如果这个**极限点也必须在集合里**
- 那这个集合就是**闭集**

例子：
- 闭区间 [0,1] 是闭集：所有逼近出来的点都在里面
- 开区间 (0,1) 不是闭集：逼近 0、1 这两个点不在里面
- 整个平面、一条直线、一个实心圆都是闭集

直观记忆：
**闭集 = 把边界也包进去了，不“漏”极限点。**

---

## 2. 导集（Derived Set）
记成：$A'$

一句话：
**集合 A 所有的“极限点”构成的集合。**

通俗说：
- 你在 A 里随便取一串点，能无限逼近到的所有点
- 这些点合起来，就是 **A 的导集**

注意：
- 导集里的点**不一定在 A 里**
- 比如 A=(0,1)，它的导集就是 [0,1]

记忆：
**导集 = 被 A“无限靠近”能到达的所有点。**

---

## 3. 闭包（Closure）
记成：$\overline{A}$

一句话：
**集合 A 本身 + 它的导集**
也就是：
$$
\overline{A}=A\cup A'
$$

更通俗：
- 把 A 本身所有点
- 再加上那些“被 A 无限逼近但不在 A 里”的点
- 全部合在一起，就是**闭包**

直观：
**把 A 补完整，补成一个“闭集”，补完的结果就是闭包。**

例子：
- A=(0,1)，闭包就是 [0,1]
- A=有理数集 $\mathbb Q$，闭包是整个实数集 $\mathbb R$

---

## 一句话串起来
- **闭集**：本身就已经完整，不漏极限点
- **导集**：只看那些被无限逼近出来的点
- **闭包**：把原集合 + 被逼近出来的点合在一起，变成闭集

## 理解：拓扑三公理
先把话说在前面：
**拓扑三公理，本质就是：规定“什么样的子集可以叫开集”，只要满足这三条，就叫一个拓扑空间。**
不用管开集长什么样，**只看规则**。

---

### 拓扑三公理（通俗人话版）
设全集为 $X$，规定了一堆子集叫**开集**，记为 $\tau$。
只要满足下面 3 条，$(X,\tau)$ 就是一个**拓扑空间**。

---

### 1. 全集和空集都是开集
> 整个空间 $X$ 是开集
> 空集 $\emptyset$ 也是开集

人话：
**最大的那个集合、最小的那个空集合，必须算开集。**
这是“打底”的两条。

---

### 2. 任意多个开集的并，还是开集
不管你拿**多少个**开集（有限个、无限个都可以）
把它们并在一起，结果**仍然是开集**。

人话：
**开集随便“合并”，永远还是开集。**

---

### 3. 有限个开集的交，还是开集
只能取**有限个**开集相交
结果仍然是开集。

⚠️ 重点：
**不能无限交！无限交不一定是开集。**

人话：
**开集可以有限次“重叠”，还是开集；无限叠就不行了。**

---

### 超简口诀版
1. **全、空都是开集**
2. **随便并，还是开集**
3. **有限交，还是开集**

满足这三条，就叫**拓扑**。

---

### 为什么要这三条？（深层直觉）
- 第一条：保证**最基本的两个集合**有身份
- 第二条：保证**“大范围合并”**行为良好
- 第三条：保证**“局部相交”**行为良好

拓扑学不关心形状、长度、角度，只关心**哪些子集算开集**，
而开集的规则，就是这三公理。

## 具体例子
那就用咱们最熟悉的**实数轴 $\mathbb R$** 当全集，
用**普通开区间 $(a,b)$** 来定义开集，
一步步**验证拓扑三公理**，你一下就懂了。

### 场景
- 全集 $X = \mathbb R$（整条直线）
- 规定：**所有开区间 $(a,b)$，以及它们的任意并**，都叫开集。

下面一条一条看。

---

### 公理1：全集 $X$ 和空集 $\emptyset$ 都是开集
1. **全集 $\mathbb R$**
   可以写成：
  
 $$
   \mathbb R = \bigcup_{n=1}^\infty (-n,n)
$$
   这是一堆开区间的并，按规定是开集。

2. **空集 $\emptyset$**
   拓扑里直接约定它是开集，
   相当于“没有任何点的开集”。

✅ 第一条满足。

---

### 公理2：任意多个开集的并，仍是开集
随便拿一堆开集：
$$
U_1,\ U_2,\ U_3,\ \dots
$$
每个 $U_i$ 本身就是若干开区间的并。
那它们的并
$$
\bigcup_{\lambda} U_\lambda
$$
还是**一堆开区间的并**，仍然是开集。

人话：
开区间拼来拼去，拼得再大、再碎，
**只要是“合并”，就还是开集。**

✅ 第二条满足。

---

### 公理3：有限个开集的交，仍是开集
只看**有限个**：
比如两个开集 $U=(1,3)$，$V=(2,4)$
$$
U\cap V = (2,3)
$$
还是开区间，是开集。

再比如三个：
$$
(0,5)\cap(1,4)\cap(2,3)=(2,3)
$$
依然是开集。

### 为什么必须强调“有限”？
举个反例：**无限交就不是开集了**
$$
\bigcap_{n=1}^\infty\left(-\frac1n,\frac1n\right) = \{0\}
$$
最后只剩一个点 $\{0\}$，
在普通实数轴上，单点**不是开集**。

所以公理只要求：
**有限交才保证是开集，无限交不管。**

✅ 第三条满足。

---

### 最终结论
在实数轴上，用“开区间及其任意并”做开集，
**完美满足拓扑三公理**，
所以 $(\mathbb R, \tau)$ 是一个合法的**拓扑空间**。

---

### 极简总结（背这个就行）
1. **全、空是开集**
2. **随便并，还是开集**
3. **有限交，还是开集**

只要你指定一堆子集，满足这三句，
你就**自己定义了一个拓扑**。

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