最后更新: 2026-04-03 08:37 查看: 197 次纠错评论(0) 课件开VIP

子空间

## 子空间

设 $A$ 是拓扑空间 $(X, \tau)$ 的一个非空子集．
**定义1.5** 规定 $A$ 的子集族

$$
\tau_A:=\{U \cap A \mid U \in \tau\} .
$$

容易验证 $\tau_A$ 是 $A$ 上的一个拓扑，称为 $\tau$ 导出的 $A$ 上的**子空间拓扑**，称 $\left(A, \tau_A\right)$ 为 $(X, \tau)$ 的**子空间**。

以后，对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间，即子空间。
现在设 $A$ 是拓扑空间 $(X, \tau)$ 的子集，$B$ 又是 $A$ 的子集．于是 $B$

有两个途径得到子空间拓扑：直接作为 $X$ 的子空间和看作 $\left(A, \tau_A\right)$的子空间．事实上它们是一样的，记 $\left(\tau_A\right)_B$ 是 $\tau_A$ 导出的 $B$ 上的拓扑，则

$$
\begin{aligned}
\left(\tau_A\right)_B & =\left\{V \bigcap B \mid V \in \tau_A\right\}=\{(U \cap A) \cap B \mid U \in \tau\} \\
& =\{U \cap B \mid U \in \tau\}=\tau_B .
\end{aligned}
$$

对于度量空间 $(X, d)$ 的子集 $A$ ，也有两种途径得到拓扑：一种途径是直接看作 $\left(X, \tau_d\right)$ 的子空间；另一种途径是由 $d$ 在 $A$ 上的限制得到 $A$ 上的度量 $d_A$ ，它决定 $A$ 的度量拓扑。这两个拓扑也是相同的（证明略）。

对于子空间 $A$ 的子集 $U$ ，笼统地说 $U$ 是不是开集意义就不明确了，必须说明在 $A$ 中看还是在全空间中看，这两者是不同的。例如， $\boldsymbol{E}^1$ 是 $\boldsymbol{E}^2$ 的子空间，开区间 $(0,1)$ 在 $\boldsymbol{E}^1$ 中是开集，而在 $\boldsymbol{E}^2$ 中不是开集。因此开集概念是相对概念。同样，闭集、邻域、内点、内部、聚点和闭包等等概念也都是相对概念．

**命题1.6** 设 $X$ 是拓扑空间，$C \subset A \subset X$ ，则 $C$ 是 $A$ 的闭集 $\Longleftrightarrow C$ 是 $A$ 与 $X$ 的一个闭集之交集．

证明 $C$ 是 $A$ 的闭集 $\Longleftrightarrow A \backslash C$ 是 $A$ 的开集
⟺ 存在 $X$ 中开集 $U$ ，使得 $A \backslash C=U \cap A$
⟺ 存在 $X$ 中开集 $U$ ，使得 $C=U^c \cap A$
$\Longleftrightarrow C$ 是 $X$ 中一个闭集与 $A$ 之交集。

**命题1.7** 设 $X$ 是拓扑空间，$B \subset A \subset X$ ，则
（1）若 $B$ 是 $X$ 的开（闭）集，则 $B$ 也是 $A$ 的开（闭）集；
（2）若 $A$ 是 $X$ 的开（闭）集，$B$ 是 $A$ 的开（闭）集，则 $B$ 也是 $X$的开（闭）集．

证明（1）$B=B \cap A$ ，因此当 $B$ 是 $X$ 的开（闭）集时，根据子空间拓扑的定义（命题1．6），$B$ 也是 $A$ 的开（闭）集。
（2）设 $B$ 是 $A$ 的开（闭）集，根据子空间拓扑的定义（命题 1.6 ），存在 $X$ 的开（闭）集 $U$ ，使得 $B=U \cap A$ 。而 $A$ 也是 $X$ 中开 （闭）集，因此 $B$ 是 $X$ 的开（闭）集．

## 如何理解子空间？
理解拓扑空间的**子空间**，核心在于一句话：

> 子空间是将原空间的“开集”用**交**的方式，限制到子集上。

### 1. 定义回顾

设 $(X, \mathcal{T})$ 是拓扑空间，$Y \subseteq X$ 是子集。  
定义 **$Y$ 上的子空间拓扑**为：

$$
\mathcal{T}_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal{T} \}
$$

即：$Y$ 中的开集 = 原空间的开集与 $Y$ 的交集。

---

### 2. 理解关键点

（1）为什么不能直接取 $Y$ 中原有的点构成的“开集”？
因为 $Y$ 本身未必是 $X$ 的开集。如果只用 $X$ 的开集中完全含于 $Y$ 的部分，就会丢失很多合理信息。  
而用“交”的方式，可以保证 $Y$ 上的开集是由 $X$ 的拓扑“自然诱导”而来。

（2）比喻：把原空间“切”出一块
想象 $X$ 是平面 $\mathbb{R}^2$，$Y$ 是一条直线 $y=0$（即 $x$-轴）。  
$\mathbb{R}^2$ 的开集如开圆盘，与 $x$-轴相交得到 $x$-轴上的开区间（因为开圆盘与直线交出来是直线上的一个开线段）。  
这样 $x$-轴上的开集正好是通常的 $\mathbb{R}^1$ 的拓扑。

（3）子空间中的“开”依赖于原空间
- 同一个子集 $Y$，放在不同拓扑空间里，可能得到不同的子空间拓扑。
- 例子：$Y = [0,1)$。
  - 作为 $\mathbb{R}$ 的子空间：$[0,1)$ 中的开集是 $\mathbb{R}$ 的开集与它的交，比如 $(0,1)$ 在 $Y$ 中是开的，$[0, 0.5)$ 也是开的（因为 $(-0.5,0.5) \cap Y = [0,0.5)$）。
  - 如果 $Y$ 本身作为一个独立空间，但取不同的拓扑，则不一样。

### 3. 重要性质

（1）子空间中的闭集
$$
F \subseteq Y \text{ 是子空间闭集} \iff F = C \cap Y,\ C \text{ 是 } X \text{ 中的闭集}.
$$

（2）子空间中的邻域
$A$ 在 $Y$ 中是 $y$ 的邻域 $\iff$ 存在 $U$ 是 $y$ 在 $X$ 中的邻域，使 $U \cap Y \subseteq A$。

（3）相对拓扑与嵌入
映射 $i: Y \to X$（包含映射）是**连续**的，而且子空间拓扑是使包含映射连续的最粗拓扑。

（4）子空间保持某些性质，但不是全部
- **保持**：第一/第二可数、Hausdorff、正则等（这些是遗传性质）。
- **不保持**：连通性（子空间可能不连通）、紧致性（需要 $Y$ 是闭集才在一般情形保持紧致）。

### 4. 容易混淆的点
 
 误区：$Y$ 中的开集 = $X$ 中开集且包含于 $Y$
错。实际上 $U \cap Y$ 中的 $U$ 可以是 $X$ 中很大的开集，只要交出来落在 $Y$ 中。

例子：$X = \mathbb{R},\ Y = [0,1]$。  
$U = (-0.5, 0.5)$，则 $U \cap Y = [0,0.5)$，这虽然包含端点 0，但它确实是子空间的开集。而在 $\mathbb{R}$ 中，$[0,0.5)$ 不是开集。  
所以子空间的开集**不一定是**原空间的开集。

### 5. 总结一句话

> 子空间拓扑就是在子集上，用“与原空间开集相交”的方式定义开集，使得包含映射连续且尽可能自然。

理解好这个“交”的构造，就能处理大部分子空间相关的问题（比如判断子空间是否连通、是否紧致、闭包计算等）。如果你有具体例子（比如实数集子集、平面曲线、离散拓扑的子空间等），我可以陪你一起分析。

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