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连续映射与同胚映射

## 连续映射与同胚映射
连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象．

**2.1 连续映射的定义**

和分析学中一样，连续性是一种局部性概念。

**定义1.6** 设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间，$f: X \rightarrow Y$ 是一个映射，$x \in X$ ．如果对于 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一邻域 $V, f^{-1}(V)$ 总是 $x$ 的邻域，则说 $f$ 在 $x$ 处**连续**．

容易看出，如果把定义中＂任一邻域 $V$＂改成＂任一开邻域 $V$＂ （即包含 $f(x)$ 的任一开集 $V$ ），那么定义的意义不变。因此 $f$ 在点 $x$ 处连续也就是＂对包含 $f(x)$ 的每个开集 $V$ ，必存在包含 $x$ 的开集 $U$ ，使得 $f(U) \subset V$＂，这就是 § 1 中连续性定义的开集语言。

**命题1.8** 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一映射，$A$ 是 $X$ 的子集，$x \in A$ ．记 $f_A=f \mid A: A \rightarrow Y$ 是 $f$ 在 $A$ 上的限制，则
（1）如果 $f$ 在 $x$ 连续，则 $f_A$ 在 $x$ 也连续；
（2）若 $A$ 是 $x$ 的邻域，则当 $f_A$ 在 $x$ 连续时，$f$ 在 $x$ 也连续．
证明（1）设 $V$ 是 $f_A(x)=f(x)$ 的邻域，则 $f^{-1}(V)$ 是 $x$ 在 $X$ 中的邻域，即存在开集 $U$ ，使得 $x \in U \subset f^{-1}(V)$ ．而 $f_A^{-1}(V)= A \cap f^{-1}(V) \supset A \cap U$ ，这里 $A \cap U$ 是 $A$ 的包含 $x$ 的开集．这就验证了 $f_A$ 在 $x$ 的连续性．
（2）设 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，根据条件存在 $A$ 中的开集 $U_A$ ，使得 $x \in U_A \subset f_A^{-i}(V)=A \cap f^{-1}(V)$ 。设 $U_A=U \cap A$ ，其中 $U$ 是 $X$ 的开集．则 $U \cap \stackrel{\circ}{A}$ 也是 $X$ 的开集，且 $x \in U \cap \stackrel{\circ}{A} \subset U_A \subset f^{-1}(V)$ ．因此 $f$ 在 $x$ 连续。

此命题的（2）说明 $f$ 在某点 $x$ 处的连续性只与 $f$ 在 $x$ 附近的情形有关。

**定义1.7** 如果映射 $f: X \rightarrow Y$ 在任一点 $x \in X$ 处都连续，则说 $f$ 是连续映射．

连续映射具有＂整体性＂的描述方式。
**定理1.1** 设 $f: X \rightarrow Y$ 是映射，下列各条件互相等价：
（1）$f$ 是连续映射；
（2）$Y$ 的任一开集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的开集；
（3）$Y$ 的任一闭集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的闭集．
证明（1）⟶（2）设 $V$ 是 $Y$ 的开集，$U=f^{-1}(V) . \forall x \in U$ ， $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，由于 $f$ 在 $x$ 连续，$x$ 是 $U$ 的内点．由 $x$ 的任意性，$U=\dot{U}$ 是开集。
（2）⟶（3）设 $F$ 是 $Y$ 的闭集，则 $F^c$ 是开集，因此 $f^{-1}\left(F^c\right)$是 $X$ 的开集。于是 $f^{-1}(F)=\left(f^{-1}\left(F^c\right)\right)^c$ 是 $X$ 的闭集。
（3）⟶（1）要说明 $f$ 在任一点 $x \in X$ 处连续．设 $V$ 是 $f(x)$的邻域，$U=f^{-1}(V)$ 。因为 $f^{-1}(\stackrel{\circ}{V})=\left(f^{-1}\left((\stackrel{\circ}{V})^c\right)\right)^c$ 是开集（闭集 $(\stackrel{\circ}{V})^c$ 的原像 $f^{-1}\left((\stackrel{\circ}{V})^c\right)$ 是闭集 $)$ ，且 $x \in f^{-1}(\stackrel{\circ}{V}) \subset U$ ，所以 $U$ 是 $x$的邻域．由定义，$f$ 在 $x$ 连续．

虽然拓扑空间中也有序列收敛的概念，但不能用它来刻画连续性。事实上，如果 $f: X \rightarrow Y$ 在 $x \in X$ 处连续，则当 $x_n \rightarrow x$ 时，必有 $f\left(x_n\right) \rightarrow f(x)$（习题6）．但逆命题不成立．例如设 $f: X \rightarrow Y$ 是单映射，其中 $X$ 是具有余可数拓扑的不可数空间，$Y$ 是离散拓扑空间。于是，当 $X$ 中序列 $x_n \rightarrow x$ 时，对充分大的 $n$ ，有 $x_n=x$ ，从而 $f\left(x_n\right) \rightarrow f(x)$ 。但 $f$ 在 $x$ 并不连续，$\{f(x)\}$ 是 $f(x)$ 的邻域，但其原像为 $\{x\}$（因为 $f$ 是单的），并不是 $x$ 的邻域．

## 2.2 连续映射的性质

先指出几个简单而常见的连续映射．
显然，**恒同映射** id ：$X \rightarrow X$（即 $\operatorname{id}(x)=x, \forall x \in X$ ）是连续映射．

设 $A$ 是 $X$ 的子空间，记 $i: A \rightarrow X$ 是**包含映射**（即 $i(a)=a$ ， $\forall a \in A)$ ，则 $i$ 是连续映射，因为当 $U$ 是 $X$ 的开集时，$i^{-1}(U)= A \cap U$ 是 $A$ 的开集．

如果 $f: X \rightarrow Y$ 是**常值映射**，即 $f(X)$ 是 $Y$ 中一点 $y_0$ ，则 $f$ 连续，因为 $f^{-1}(V)=X$（若 $y_0 \in V$ ），或 $f^{-1}(V)=\varnothing$（若 $y_0 \bar{\in} V$ ）．

如果 $X$ 是离散拓扑空间，或 $Y$ 是平凡拓扑空间，则 $f: X \rightarrow Y$一定是连续的．

**命题1.9** 设 $X, Y$ 和 $Z$ 都是拓扑空间，映射 $f: X \rightarrow Y$ 在 $x$处连续，$g: Y \rightarrow Z$ 在 $f(x)$ 处连续，则复合映射 $g \circ f: X \rightarrow Z$ 在 $x$处连续．

证明 $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ ．对于它的任一邻域 $W$ ，由于 $g$在 $f(x)$ 处连续，$g^{-1}(W)$ 是 $f(x)$ 的邻域；又由于 $f$ 在 $x$ 处连续， $f^{-1}\left(g^{-1}(W)\right)=(g \circ f)^{-1}(W)$ 是 $x$ 的邻域。这就证明了结论。

由此命题推出，两个连续映射的复合也是连续映射。用此结论可给出命题1．8中（1）的另一个证明．$f$ 在 $A$ 上的限制 $f_A=f \circ i$ ，由 $f$ 和 $i$ 的连续得到 $f_A$ 连续．

设 $\mathscr{C} \subset 2^X$ 是拓扑空间 $X$ 的子集族，称 $\mathscr{C}$ 是 $X$ 的一个**覆盖**，如果 $\bigcup_{C \in \mathscr{C}} C=X$（即 $\forall x \in X$ 至少包含在 $\mathscr{C}$ 的一个成员中）．如果覆盖 $\mathscr{C}$ 的每个成员都是开（闭）集，则称 $\mathscr{C}$ 为**开（闭）覆盖**；覆盖 $\mathscr{C}$只包含有限个成员时，称 $\mathscr{C}$ 是**有限覆盖**。

### 粘接引理
**定理1.2（粘接引理）** 设 $\left\{A_1, A_2, \cdots, A_n\right\}$ 是 $X$ 的一个有限闭覆盖。如果映射 $f: X \rightarrow Y$ 在每个 $A_i$ 上的限制都是连续的，则 $f$ 是连续映射。

证明 只要验证 $Y$ 的每个闭集的原像是闭集．设 $B$ 是 $Y$ 的闭集，记 $f_{A_i}$ 是 $f$ 在 $A_i$ 上的限制，则

$$
f^{-1}(B)=\bigcup_{i=1}^n\left(f^{-1}(B) \cap A_i\right)=\bigcup_{i=1}^n f_{A_i}^{-1}(B) .
$$

$\forall i, f_{A_i}$ 是连续的，因此 $f_{A_i}^{-1}(B)$ 是 $A_i$ 的闭集．又因为 $A_i$ 是 $X$ 的闭集，所以 $f_{A_i}^{-1}(B)$ 也是 $X$ 的闭集（命题1．7中（2））．$f^{-1}(B)$ 作为有限个闭集的并集也是闭集．

> 粘接引理是判断映射连续性的一种有效方法，它还是分片地构造连续映射的依据．

## 2.3 同胚映射

**定义1.8** 如果 $f: X \rightarrow Y$ 是一一对应，并且 $f$ 及其逆 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 都是连续的，则称 $f$ 是一个**同胚映射**，或称**拓扑变换**，或简称**同胚**．当存在 $X$ 到 $Y$ 的同胚映射时，就称 $X$ 与 $Y$ 同胚，记作 $X \cong Y$ ．

值得提醒的是同胚映射中条件 $f^{-1}$ 连续不可忽视，它不能从一一对应和 $f$ 连续推出。例如设 $S^1$ 是复平面上的单位圆周，规定 $f:[0,1) \rightarrow S^1$ 为 $f(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi t}$ ．则 $f$ 是一一对应，并且连续，但 $f^{-1}$不连续。譬如 $\left[0, \frac{1}{2}\right)$ 是 $[0,1)$ 的开集，但是 $\left(f^{-1}\right)^{-1}\left(\left[0, \frac{1}{2}\right)\right)= f\left(\left[0, \frac{1}{2}\right)\right)$ 是包含 1 的上半圆， 1 不是它的内点，因此不是开集 （图 1－2）．

![图片](/uploads/2025-12/e99a45.jpg)
 
在全体拓扑空间集合内的同肧关系是一个等价关系，其自反性、对称性与传递性分别基于以下明显事实：恒同映射 id ：$X \rightarrow X$是同胚映射；如果 $f$ 是同胚映射，则 $f^{-1}$ 也是同胚映射；两个同胚映射的复合也是同胚映射。

现在举几个同肧映射的例子。

`例`开区间（作为 $\boldsymbol{E}^1$ 的子空间）同胚于 $\boldsymbol{E}^1$ ．
如 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 到 $\boldsymbol{E}^1$ 的同胚映射 $f$ 可规定为：

$$
f(x)=\tan x, \quad \forall x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .
$$

`例`$ \boldsymbol{E}^n$ 中的单位球体 $D^n:=\left\{x \in \boldsymbol{E}^n \mid\|x\|{ }^{(1)} \leqslant 1\right\}$ 的内部 $\stackrel{\circ}{D}^n$同胚于 $\boldsymbol{E}^n$ ．同肧映射 $f: \stackrel{\circ}{D}^n \rightarrow \boldsymbol{E}^n$ 可规定为：$f(x)=\frac{x}{1-\|x\|}$ ， $\forall x \in \stackrel{\circ}{D}^n$ ．它的逆映射为：
$$
f^{-1}(y)=\frac{y}{1+\|y\|}, \quad \forall y \in E^n .
$$

`例`$ \boldsymbol{E}^n \backslash\{O\} \cong \boldsymbol{E}^n \backslash D^n$（ $O$ 为原点）。
（1）$\|x\|$ 表示 $E^n$ 中的点 $x$ 的范数，即 $x$ 到原点 $O$ 的距离．

规定 $f: \boldsymbol{E}^n \backslash\{O\} \rightarrow \boldsymbol{E}^n \backslash D^n$ 为 $f(x)=x+\frac{x}{\|x\|}$ ．其几何意义为每一点背向原点 $O$ 移动单位长，则 $f$是一一对应，并且连续．$f^{-1}$ 是每一点朝 $O$ 移动单位长，也是连续的 （图 1－3）。

![图片](/uploads/2025-12/5cbfb0.jpg)

`例` 球面 $S^2{ }^{(1)}$ 去掉一点后与 $\boldsymbol{E}^2$ 同胚．球极投射就是把去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射（见图 1－4），它的分析表达式为
$f(x, y, z)=\left(\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z}\right) .$

![图片](/uploads/2025-12/bc20ea.jpg)
 
 （1）$S^2$ 是 $E^3$ 中的单位球面，$S^2:=\left\{(x, y, z) \in E^3 \mid x^2+y^2+z^2=1\right\}$ ．
 
 
 `例` 任何凸多边形（包含内部）都互相同胚．
以一个五边形 $A B C D E$ 与三角形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 为例，同胚映射可规定如下：连结 $B D$ 和 $B E$ ，在 $A^{\prime} C^{\prime}$ 上取两点 $E^{\prime}$ 和 $D^{\prime}$ ，连结 $B^{\prime} D^{\prime}$ 和 $B^{\prime} E^{\prime}$ ．于是五边形和三角形都被分割为三个三角形．它们分别记作 $X_1, X_2, X_3$ 和 $Y_1, Y_2, Y_3$（见图1－5）．由相应点对的对应关系（ $A$到 $A^{\prime}$ 等等），建立仿射变换 $f_i$ ，把 $X_i$ 变为 $Y_i(i=1,2,3)$ ．它们在公共部分（线段 $B D$ 或 $B E$ ）上是一致的，因此可用它们规定 $A B C D E$到 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的一一对应 $f$ ．根据粘接引理，$f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续的．

![图片](/uploads/2025-12/6405a4.jpg)

`例` 凸多边形与 $D^2$ 同胚。
因为凸多边形都是互相同胚的，只须证一个特殊的凸多边形与 $D^2$ 同胚．如图 1－6 中的四边形 $A B C D$ ．

![图片](/uploads/2025-12/cf45cd.jpg)

由 $(x, y) \mapsto(\sqrt{x}, \sqrt{y})$ 给出 $\triangle O A B$ 到扇形 $O A B$ 的同胚映射．利用这个同胚和图形的对称性容易建立其他三个三角形到相应扇形的同胚映射．这四个同胚映射拼接成
 
四边形 $A B C D$ 到圆 $O$ 的同胚．

如果 $f: X \rightarrow Y$ 是单的连续映射，并且 $f: X \rightarrow f(X)$ 是同胚映射，就称 $f: X \rightarrow Y$ 是嵌入映射．例如，包含映射 $i: A \rightarrow X$ 是**嵌入映射**。

有了同胚映射（拓扑变换）的概念，就可像引言中那样规定拓扑性质概念了。

**定义1.9** 拓扑空间的在同胚映射下保持不变的概念称为**拓扑概念**，在同胚映射下保持不变的性质叫**拓扑性质**．

当 $f: X \rightarrow Y$ 是同胚映射时，$X$ 的每个开集 $U$ 的 $f$ 像 $f(U)$ 是 $Y$ 的开集，而 $Y$ 的开集 $V$ 的 $f$ 原像是 $X$ 的开集。因此开集概念在同肧映射下是保持不变的，它是拓扑概念，由它规定的闭集、闭包、邻域、内点等等概念都是拓扑概念。用开集或其派生的拓扑概念来刻画的性质都是拓扑性质。例如可分性是拓扑性质。

研究拓扑空间的同胚分类问题是拓扑学的一个基本问题。拓扑性质对它起了重要作用。例如 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 是可分的，$\left(\boldsymbol{R}, \tau_c\right)$ 不是可分的，从而它们不同胚．

## 疑难解答

> 如何理解 粘接引理？

**粘接引理（Gluing/Pasting Lemma）** 是拓扑学的核心工具，通俗讲：**只要分段函数在各段都连续、且在交界处“无缝对接”，拼起来整体就一定连续**。

### 一、一句话大白话
你把定义域切成几块（**开集**，或**有限个闭集**）：
- 每块上各自的函数 **都连续**
- 两块重叠的地方，**函数值完全一样**（没有断点、台阶）

那么：**把它们粘成一个整体函数，整个函数必连续**。

### 二、最常用版本（2块）
设：
- 空间 $ X = A \cup B$
- $ A,B$ 都是 **开集**，或 **都是闭集**（且有限）
- $ f:A \to Y$、$ g:B \to Y$ 都连续
- 在重叠区：**对所有 $ x \in A \cap B$，$ f(x)=g(x)$**

则：
$$
h(x)=
\begin{cases}
f(x), & x\in A \\
g(x), & x\in B
\end{cases}
$$
**$ h:X \to Y$ 连续**。

### 三、生活类比：拼拼图
- 每块拼图（$ A,B$）**图案本身是连续的**（像函数连续）
- 两块**边缘严丝合缝、图案完全接上**（像 $ f=g$ 在重叠区）
- 结果：**整幅图是连续、无断裂的画面**

### 四、简单例子（数轴）
设
$$
h(x)=
\begin{cases}
x, & x\le 0 \\
x^2, & x\ge 0
\end{cases}
$$
判断 $h:\mathbb R\to\mathbb R$ 是否连续。

步骤1：拆分定义域
令
$$
A=(-\infty,0],\quad B=[0,+\infty)
$$
- $A,B$ 都是 **闭集**
- $\mathbb R = A\cup B$（覆盖整个数轴）

步骤2：分别看两段函数
在 $A$ 上：$f(x)=x$，显然**连续**
在 $B$ 上：$g(x)=x^2$，显然**连续**

步骤3：看交界处（重叠部分）
重叠部分：
$$
A\cap B=\{0\}
$$
在这一点上：
$$
f(0)=0,\quad g(0)=0^2=0
$$
所以 **$f(x)=g(x)$ 在重叠处成立**。
 
 步骤4：用粘接引理下结论
- 两个闭集覆盖 $\mathbb R$
- 两段都连续
- 交界处函数值一致

由**粘接引理**：
$$
h(x) \text{ 在 } \mathbb R \text{ 上连续}
$$
 
  再给你一个“反面例题”（不满足粘接引理）
$$
h(x)=
\begin{cases}
1, & x<0 \\
0, & x\ge 0
\end{cases}
$$

> 如何理解 同胚映射  
一句话：**两个图形如果能通过“捏、拉、压”变形变到对方，而且不撕裂、不粘连，它们就是同胚的，这个变形过程就是同胚映射。**

### 1. 最直观的比喻
你有一块**橡皮泥**：
- 可以揉圆、拉长、压扁、扭一扭
- 只要**不扯破**、**不把两个点粘成一个点**
- 最后变出来的形状，和原来就是**同胚**

最经典例子：
**茶杯 ≅ 甜甜圈**
它们是同胚的——把茶杯的杯身慢慢捏成圈，就能变成甜甜圈，不用撕也不用粘。

### 2. 数学上的严格人话
一个映射$f:X\rightarrow Y$ 是**同胚**，需要同时满足 3 件事：
1. **一一对应**：每个点只对应一个点，不重叠、不遗漏
2. **双向连续**：
   - 从 X 变到 Y 是连续的（不撕裂）
   - 从 Y 变回去 X 也是连续的（不粘连）
3. **逆映射存在**

满足这些，就说 **X 和 Y 同胚**，它们在拓扑学里**本质是同一个东西**。

---

## 3. 哪些算同胚？哪些不算？
  ✅ 同胚
- 正方体 ↔ 球体
- 圆柱侧面 ↔ 长方形
- 甜甜圈 ↔ 咖啡杯
- 任意多边形 ↔ 圆

❌ 不同胚
- 圆 ↔ 线段（圆封死，线段有端点，撕不开）
- 球 ↔ 甜甜圈（球没有洞，甜甜圈有洞，打洞=撕裂）
- “8”字形 ↔ 圆（8字有交叉点，粘过）

### 4. 拓扑学的灵魂
拓扑学不关心**长短、大小、形状**，
只关心**有没有洞、是不是连通、点怎么连在一起**。

**同胚 = 拓扑意义下的相等**

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