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连续映射与同胚映射

## 连续映射与同胚映射

§ 2 连续映射与同胚映射

连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象．
2.1 连续映射的定义

和分析学中一样，连续性是一种局部性概念。
。定义1．6 设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间，$f: X \rightarrow Y$ 是一个映射，$x \in X$ ．如果对于 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一邻域 $V, f^{-1}(V)$ 总是 $x$ 的邻域，则说 $f$ 在 $x$ 处连续．

容易看出，如果把定义中＂任一邻域 $V$＂改成＂任一开邻域 $V$＂ （即包含 $f(x)$ 的任一开集 $V$ ），那么定义的意义不变。因此 $f$ 在点 $x$ 处连续也就是＂对包含 $f(x)$ 的每个开集 $V$ ，必存在包含 $x$ 的开集 $U$ ，使得 $f(U) \subset V$＂，这就是 § 1 中连续性定义的开集语言。

命题1．8 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一映射，$A$ 是 $X$ 的子集，$x \in A$ ．记 $f_A=f \mid A: A \rightarrow Y$ 是 $f$ 在 $A$ 上的限制，则
（1）如果 $f$ 在 $x$ 连续，则 $f_A$ 在 $x$ 也连续；
（2）若 $A$ 是 $x$ 的邻域，则当 $f_A$ 在 $x$ 连续时，$f$ 在 $x$ 也连续．
证明（1）设 $V$ 是 $f_A(x)=f(x)$ 的邻域，则 $f^{-1}(V)$ 是 $x$ 在 $X$ 中的邻域，即存在开集 $U$ ，使得 $x \in U \subset f^{-1}(V)$ ．而 $f_A^{-1}(V)= A \cap f^{-1}(V) \supset A \cap U$ ，这里 $A \cap U$ 是 $A$ 的包含 $x$ 的开集．这就验证了 $f_A$ 在 $x$ 的连续性．
（2）设 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，根据条件存在 $A$ 中的开集 $U_A$ ，使得 $x \in U_A \subset f_A^{-i}(V)=A \cap f^{-1}(V)$ 。设 $U_A=U \cap A$ ，其中 $U$ 是 $X$ 的开集．则 $U \cap \AA$ 也是 $X$ 的开集，且 $x \in U \cap \stackrel{\circ}{A} \subset U_A \subset f^{-1}(V)$ ．因此 $f$ 在 $x$ 连续。

此命题的（2）说明 $f$ 在某点 $x$ 处的连续性只与 $f$ 在 $x$ 附近的情形有关。

定义 1.7 如果映射 $f: X \rightarrow Y$ 在任一点 $x \in X$ 处都连续，则说 $f$ 是连续映射．

连续映射具有＂整体性＂的描述方式。
定理 1.1 设 $f: X \rightarrow Y$ 是映射，下列各条件互相等价：
（1）$f$ 是连续映射；
（2）$Y$ 的任一开集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的开集；
（3）$Y$ 的任一闭集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的闭集．
证明（1）⟶（2）设 $V$ 是 $Y$ 的开集，$U=f^{-1}(V) . \forall x \in U$ ， $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，由于 $f$ 在 $x$ 连续，$x$ 是 $U$ 的内点．由 $x$ 的任意性，$U=\dot{U}$ 是开集。
（2）⟶（3）设 $F$ 是 $Y$ 的闭集，则 $F^c$ 是开集，因此 $f^{-1}\left(F^c\right)$是 $X$ 的开集。于是 $f^{-1}(F)=\left(f^{-1}\left(F^c\right)\right)^c$ 是 $X$ 的闭集。
（3）⟶（1）要说明 $f$ 在任一点 $x \in X$ 处连续．设 $V$ 是 $f(x)$的邻域，$U=f^{-1}(V)$ 。因为 $f^{-1}(\stackrel{\circ}{V})=\left(f^{-1}\left((\stackrel{\circ}{V})^c\right)\right)^c$ 是开集（闭集 $(\stackrel{\circ}{V})^c$ 的原像 $f^{-1}\left((\stackrel{\circ}{V})^c\right)$ 是闭集 $)$ ，且 $x \in f^{-1}(\stackrel{\circ}{V}) \subset U$ ，所以 $U$ 是 $x$的邻域．由定义，$f$ 在 $x$ 连续．

虽然拓扑空间中也有序列收敛的概念，但不能用它来刻画连续性。事实上，如果 $f: X \rightarrow Y$ 在 $x \in X$ 处连续，则当 $x_n \rightarrow x$ 时，必有 $f\left(x_n\right) \rightarrow f(x)$（习题6）．但逆命题不成立．例如设 $f: X \rightarrow Y$ 是单映射，其中 $X$ 是具有余可数拓扑的不可数空间，$Y$ 是离散拓扑空间。于是，当 $X$ 中序列 $x_n \rightarrow x$ 时，对充分大的 $n$ ，有 $x_

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