最后更新: 2025-12-30 14:30 查看: 172 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

乘积空间与拓扑基

§ 3 乘积空间与拓扑基

设 $\mathscr{B}$ 是 $X$ 的一个子集族，规定新子集族
$\overline{\mathscr{B}}:=\{U \subset X \mid U$ 是 $\mathscr{B}$ 中若干成员的并集 $\}$
$=\{U \subset X \mid \forall x \in U$ ，存在 $B \in \mathscr{B}$ ，使得 $x \in B \subset U\}$ 。
称 $\overline{\mathscr{B}}$ 为 $\mathscr{B}$ 所生成的子集族。显然 $\mathscr{B} \subset \overline{\mathscr{B}}, \varnothing \in \overline{\mathscr{B}}$ 。
设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个集合，记 $X_1 \times X_2$ 为它们的笛卡儿积：

$$
X_1 \times X_2=\left\{\left(x_1, x_2\right) \mid x_i \in X_i\right\} .
$$

规定 $j_i: X_1 \times X_2 \rightarrow X_i$ 为 $j_i\left(x_1, x_2\right)=x_i(i=1,2)$ ，称 $j_i$ 为 $X_1 \times X_2$到 $X_i$ 的投射。如果 $A_i \subset X_i(i=1,2)$ ，则 $A_1 \times A_2 \subset X_1 \times X_2$ 。容易验证：当 $A_i \subset X_i, B_i \subset X_i(i=1,2)$ 时，

$$
\left(A_1 \times A_2\right) \cap\left(B_1 \times B_2\right)=\left(A_1 \cap B_1\right) \times\left(A_2 \cap B_2\right) .
$$

对于＂$\cup$＂运算，类似等式不成立．
3.1 乘积空间

设 $\left(X_1, \tau_1\right)$ 和 $\left(X_2, \tau_2\right)$ 是两个拓扑空间．现在要在笛卡儿积 $X_1 \times X_2$ 上规定一个与 $\tau_1, \tau_2$ 密切相关的拓扑 $\tau$ ．具体地说，$\tau$ 要使 $j_1$和 $j_2$ 都连续．并且是满足此要求的最小拓扑．

在具体给出 $\tau$ 的定义之前，我们先来考察 $\tau$ 应该含有哪些集合？
$\forall U_i \in \tau_i$ ，由于 $j_i$ 连续，$j_i^{-1}\left(U_i\right) \in \tau$（定理1．1）．若 $U_1 \in \tau_1, U_2 \in \tau_2$ ，则

$$
U_1 \times U_2=\left(U_1 \times X_2\right) \cap\left(X_1 \times U_2\right)=j_1^{-1}\left(U_1\right) \cap j_2^{-1}\left(U_2\right) \in \tau .
$$

构造 $X_1 \times X_2$ 的子集族 $\mathscr{B}=\left\{U_1 \times U_2 \mid U_i \in \tau_i\right\}$ ，则所要构造的拓扑 $\tau$ 包含 $\mathscr{B}$ 。根据拓扑公理（2），$\tau$ 也一定包含 $\overline{\mathscr{B}}$ ，因此 $\tau$ 就是包含 $\overline{\mathscr{B}}$的最小拓扑．

命题 $1.10 \overline{\mathscr{B}}$ 是 $X_1 \times X_2$ 上的一个拓扑．
证明 显然 $\overline{\mathscr{B}}$ 满足拓扑公理（1）。
由 $\overline{\mathscr{S}}$ 的定义看出，$\overline{\mathscr{B}}$ 中成员的任意并仍在 $\overline{\mathscr{B}}$ 中，因此拓扑公理（2）也满足．下面验证满足拓扑公理（3）。

设 $W, W^{\prime} \in \overline{\mathscr{B}}$ ，要证明 $W \cap W^{\prime} \in \overline{\mathscr{B}} . \forall\left(x_1, x_2\right) \in W \cap W^{\prime}$ ，则 $\left(x_1, x_2\right) \in W$ ，从而有 $U_i \in \tau_i(i=1,2)$ ，使得 $\left(x_1, x_2\right) \in U_1 \times U_2 \subset W$ ；同样，有 $U_i^{\prime} \in \tau_i$ ，使得 $\left(x_1, x_2\right) \in U_1^{\prime} \times U_2^{\prime} \subset W^{\prime}$ 。于是 $\left(x_1, x_2\right) \in \left(U_1 \times U_2\right) \cap\left(U_1^{\prime} \times U_2^{\prime}\right) \subset W \cap W^{\prime}$ ，而

$$
\left(U_1 \times U_2\right) \cap\left(U_1^{\prime} \times U_2^{\prime}\right)=\left(U_1 \cap U_1^{\prime}\right) \times\left(U_2 \cap U_2^{\prime}\right) \in \mathscr{B} .
$$

由 $\overline{\mathscr{B}}$ 的定义，$W \cap W^{\prime} \in \overline{\mathscr{B}}$ ．公理（3）满足．
命题1．10说明 $\overline{\mathscr{S}}$ 就是我们所要构造的拓扑 $\tau$ 。
定义 1.10 称

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