最后更新: 2025-12-30 14:33 查看: 157 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分离公理

本章介绍几个常用的拓扑性质：分离性、可数性、紧致性和连通性．前两种性质也可以看作拓扑公理的补充；后两种性质在分析学中已出现过，它们有很强的几何直观性，是拓扑学中最基本的性质．
§ 1 分离公理与可数公理

在第一章中已经看到，欧氏空间和度量空间中有些熟知的性质在一般拓扑空间中可能要失去。这说明拓扑公理只是概括了度量拓扑最基本的性质，而不是全部性质．有时，这种不足会带来不方便。分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理的不足。因此它们本身也被称为公理．有两个可数公理和一系列分离公理．这里介绍这两个可数公理和四个较常用的分离公理：$T_1, T_2, T_3$ 和 $T_4$ 公理．

1． $1 T_1$ 公理和 $T_2$ 公理
分离公理都是关于两个点（或闭集）能否用邻域来分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求．
$\boldsymbol{T}_1$ 公理 任何两个不同点 $x$ 与 $y, x$ 有邻域不含 $y, y$ 有邻域不含 $x$ 。
$\boldsymbol{T}_2$ 公理 任何两个不同点有不相交的邻域。
不难看出这里＂邻域＂可改成＂开邻域＂，而公理的含义不变。
显然满足 $T_2$ 公理也一定满足 $T_1$ 公理，但从 $T_1$ 公理推不出 $T_2$ 公理．例如 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 满足 $T_1$ 公理，因为 $x \neq y$ 时， $\boldsymbol{R} \backslash\{y\}$ 就是 $x$ 的邻域，它不包含 $y$ ；而 $\boldsymbol{R} \backslash\{x\}$ 是 $y$ 的不含 $x$ 的邻域．但是 $x$ 与 $y$ 的邻域一定相交（它们都是有限集的余集），因此 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 不满足 $T_2$ 公理．

下面的命题更加清楚地阐明了 $T_1$ 公理的意义。
命题2．1 $X$ 满足 $T_1$ 公理 $\Longleftrightarrow X$ 的有限子集是闭集．
证明 ⟹．只须证单点集是闭集．取 $x \in X$ ．当 $y \neq x$ 时， $T_1$ 公理说 $y$ 有邻域不含 $x$ ，因此 $y \bar{\in} \overline{\{x\}}$ 。于是 $\overline{\{x\}}=\{x\},\{x\}$ 为闭集．

こ．设 $x \ne

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：乘积空间与拓扑基

下一篇：可数公理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)