最后更新: 2026-04-05 22:34 查看: 201 次纠错评论(0) 课件开VIP

拓扑的性质-T1,T2,T3,T4的分离程度公理

本章介绍几个常用的拓扑性质：分离性、可数性、紧致性和连通性．前两种性质也可以看作拓扑公理的补充；后两种性质在分析学中已出现过，它们有很强的几何直观性，是拓扑学中最基本的性质．

## 分离程度公理

在第一章中已经看到，欧氏空间和度量空间中有些熟知的性质在一般拓扑空间中可能要失去。这说明拓扑公理只是概括了度量拓扑最基本的性质，而不是全部性质．有时，这种不足会带来不方便。分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理的不足。因此它们本身也被称为公理．有两个**可数公理**和一系列**分离公理**．这里介绍这两个可数公理和四个较常用的分离公理：$T_1, T_2, T_3$ 和 $T_4$ 公理．

##  1.1 $T_1$ 公理和 $T_2$ 公理
分离公理都是关于两个点（或闭集）能否用邻域来分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求．
$\boldsymbol{T}_1$ 公理 任何两个不同点 $x$ 与 $y, x$ 有邻域不含 $y, y$ 有邻域不含 $x$ 。
$\boldsymbol{T}_2$ 公理 任何两个不同点有不相交的邻域。
不难看出这里＂邻域＂可改成＂开邻域＂，而公理的含义不变。
显然满足 $T_2$ 公理也一定满足 $T_1$ 公理，但从 $T_1$ 公理推不出 $T_2$ 公理．例如 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 满足 $T_1$ 公理，因为 $x \neq y$ 时， $\boldsymbol{R} \backslash\{y\}$ 就是 $x$ 的邻域，它不包含 $y$ ；而 $\boldsymbol{R} \backslash\{x\}$ 是 $y$ 的不含 $x$ 的邻域．但是 $x$ 与 $y$ 的邻域一定相交（它们都是有限集的余集），因此 $\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 不满足 $T_2$ 公理．

下面的命题更加清楚地阐明了 $T_1$ 公理的意义。
**命题2.1** $X$ 满足 $T_1$ 公理 $\Longleftrightarrow X$ 的有限子集是闭集．
证明 ⟹．只须证单点集是闭集．取 $x \in X$ ．当 $y \neq x$ 时， $T_1$ 公理说 $y$ 有邻域不含 $x$ ，因此 $y \bar{\in} \overline{\{x\}}$ 。于是 $\overline{\{x\}}=\{x\},\{x\}$ 为闭集．

<=  设 $x \neq y$ ，因为 $\{y\}$ 是闭集，所以 $X \backslash\{y\}$ 是 $x$ 的开邻域，它不含 $y$ 。同样，$X \backslash\{x\}$ 是 $y$ 的不含 $x$ 的开邻域。

**推论 若 $X$ 满足 $T_1$ 公理，$A \subset X$ ，点 $x$ 是 $A$ 的聚点，则 $x$ 的任一邻域与 $A$ 的交是无穷集**．

证明 用反证法．设 $x$ 有邻域 $U, U \cap A$ 是有限集，不妨设 $U$ 是开集．记 $B=(U \cap A) \backslash\{x\}$ ，它是有限集，因此是闭集．于是， $U \backslash B=U \cap B^c$ 仍是 $x$ 的开邻域，它不含 $A \backslash\{x\}$ 中点，这与 $x \in A^{\prime}$ 矛盾．

$T_2$ 公理是最重要的分离公理．满足 $T_2$ 公理的拓扑空间称为 豪斯多夫空间 Hausdorff 空间．以后我们会见到它的许多应用．下面的命题表明它在改善序列收敛性方面的作用．

**命题2.2** Hausdorff 空间中，一个序列不会收敛到两个以上的点．

证明 设 Hausdorff 空间 $X$ 中的序列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛到 $x_0$ ，又设 $x \neq x_0$ ，要证明 $x_n \nrightarrow x$ ．取 $x_0$ 和 $x$ 的不相交邻域 $U$ 和 $V$ ．因为 $x_n \rightarrow x_0$ ，所以 $U$ 中含 $\left\{x_n\right\}$ 的几乎所有项．于是 $V$ 最多只能含 $\left\{x_n\right\}$ 的有限个项，从而 $x_n \nrightarrow x$ ．

## 1.2 $ T_3$ 公理和 $T_4$ 公理
$\boldsymbol{T}_3$ 公理 任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域。

$\boldsymbol{T}_4$ 公理 任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域．
（当 $A \subset \stackrel{\circ}{U}$ 时，说 $U$ 是集合 $A$ 的邻域）。
如果 $X$ 满足 $T_1$ 公理，则它的单点集是闭集，因此 $T_3$ 公理推出 $T_2$ 公理，$T_4$ 公理推出 $T_3$ 公理．然而没有 $T_1$ 公理的前提时，上述关系不成立。例如在 $(\boldsymbol{R}, \tau)(\tau=\{(-\infty, a) \mid-\infty \leqslant a \leqslant+\infty\})$ 中，任何两个非空闭集都相交．因此若 $A$ 与 $B$ 是不相交的闭集，则其中有一为空集，设 $B=\varnothing$ ，于是 $\boldsymbol{R}$ 与 $\varnothing$ 是它们的不相交邻域。这说明了 $(\boldsymbol{R}, \tau)$ 满足 $T_4$ 公理，而它不满足 $T_1 、 T_2$ 和 $T_3$ 公理（请读者自己检验）。

**命题2.3** 度量空间（ $X, d$ ）满足 $T_i$ 公理（ $i=1,2,3,4$ ）。
证明 显然（ $X, d$ ）中单点集（从而有限集）是闭集，因此它满足 $T_1$ 公理．只须再验证它满足 $T_4$ 公理．

设 $A, B$ 是不相交闭集，不妨设它们都不是 $\varnothing . \forall x \in X$ ，则 $d(x, A)+d(x, B)>0$（见第一章 § 2 习题第 12 题）．规定 $X$ 上连续函数 $f$ 为

$$
f(x)=\frac{d(x, A)}{d(x, A)+d(x, B)} .
$$

则当 $x \in A$ 时，$f(x)=0 ; x \in B$ 时，$f(x)=1$ ．任取实数 $t \in(0,1)$ ，则 $f^{-1}((-\infty, t))$ 和 $f^{-1}((t,+\infty))$ 是 $A$ 和 $B$ 的不相交邻域。

下面是 $T_3, T_4$ 公理的另一种描述形式，它们在许多场合用起来更方便。

命题 2.4 （1）满足 $T_3$ 公理 ⟹ 任意点 $x$ 和它的开邻域 $W$ ，存在 $x$ 的开邻域 $U$ ，使得 $\bar{U} \subset W$ 。
（2）满足 $T_4$ 公理 ⟹ 任意闭集 $A$ 和它的开邻域 $W$ ，有 $A$的开邻域 $U$ ，使得 $\bar{U} \subset W$ 。

证明（1）和（2）的证明方法是相同的．下面只给出（2）的证明．

$\Longleftarrow$ 设 $A$ 与 $B$ 是不相交的闭集，则 $B^c$ 是 $A$ 的开邻域．由条件，存在 $A$ 的开邻域 $U, U \subset B^c$ 。记 $V=(\bar{U})^c$ ，则 $V$ 是开集，$B \subset V$ ，并且 $U \cap V=\varnothing$（见图2－1（a））．

![图片](/uploads/2025-12/86973e.jpg)
 
 $\Longrightarrow$ ．记 $B=W^c$ ，则 $A$ 与 $B$ 为不相交的闭集．由 $T_4$ 公理，存在 $A$ 与 $B$ 的不相交的开邻域 $U$ 与 $V$ ．则 $U$ 即为所求（因为 $\overline{U \subset} V^c \subset B^c=W$ ，见图2－1（b））．

许多拓扑书里有正规空间和正则空间的概念，但它们的含义是不统一的．有的书中把满足 $T_4\left(T_3\right)$ 公理的拓扑空间称为正规 （则）空间，而另一些书则还要求满足 $T_1$ 公理．本书中将避开这两个术语．

## 理解：T1,T2,T3,T4 分离公理

在拓扑学中，**T1、T2、T3、T4** 是描述空间“分离程度”的一组公理（T 代表“Trennungsaxiom”，德语“分离公理”）。数字越大，分离性越强（T4 最强，T1 最弱）。

下面给你一个**非常通俗的解释**，用“点与点”“点与闭集”“闭集与闭集”能否被开集分开来描述。

---

### 1. T1 公理（可区分点）
> **任意两个不同的点，每个点都有一个开集包含自己但不包含对方。**

通俗讲：  
- 两个不同的人，每个人都有一个“私人领域”把对方排除在外。  
- 等价性质：**单点集是闭集**。  
- 平凡例子：有限补拓扑满足 T1 但不一定满足 T2。

---

### 2. T2 公理（Hausdorff 空间）
> **任意两个不同的点，存在两个不相交的开集，分别包含这两个点。**

通俗讲：  
- 任何两个人，能找到两个完全不重叠的“泡泡”分别包住他们。  
- 这是最常见的分离性，多数“好”的空间（如实数轴、度量空间）都是 T2。  
- T2 ⇒ T1。

---

### 3. T3 公理（正则空间，前提是 T1）
> **T1 + 任意一个点和一个不包含该点的闭集，可以用不相交的开集分开。**

通俗讲：  
- 一个人（点）与一个和他**完全不相邻的区域**（闭集）可以划清界限：  
  用两个不交的开集，一个包住人，一个包住那个区域。  
- 注意：T3 定义中通常先要求 T1，这样单点集是闭集，点和闭集分开才有意义。  
- 度量空间是 T3（其实更强，是 T4）。

---

### 4. T4 公理（正规空间，前提是 T1）
> **T1 + 任意两个不相交的闭集，可以用不相交的开集分开。**

通俗讲：  
- 两片互不相交的封闭区域，可以各自用完全不相交的“模糊外衣”（开集）包住。  
- T4 是这里最强的，度量空间（如 Rⁿ）都是 T4。  
- 但 T4 不一定推出 T3 吗？——注意：T4 包含 T1 + 正规性，T3 包含 T1 + 正则性，两者一般不直接比较强弱，但在 T1 前提下，T4 ⇒ T3。

---

### 直观对照表（关键区分）

| 公理 | 分离对象                      | 条件                                   | 例子（常见）     |
|------|-----------------------------|----------------------------------------|----------------|
| T1   | 点与点（单向可区分）           | 每个点闭                               | 有限补拓扑       |
| T2   | 点与点（双向用不交开集分开）     | 更强                                   | 实数轴 ℝ         |
| T3   | 点与闭集（不包含该点）         | T1 + 正则性                            | ℝ 的子空间       |
| T4   | 闭集与闭集（不相交）           | T1 + 正规性                            | ℝ, [0,1]        |

---

### 一句话口诀（帮你记忆）

- **T1**：点都能分开（但不一定用不交开集，T1 只要求每个点有开集不包含对方）——其实不对，上面 T1 定义已更正。更简单的 T1 口诀：**单点是闭的**。
- **T2**：点与点用不交开集分。  
- **T3**：点与闭集用不交开集分。  
- **T4**：闭集与闭集用不交开集分。

## 如何理解：单点集是闭集为什么不说单点集是开集

可以这样理解：

---

### 1. 先看“开集”与“闭集”在分离性中的角色

在 T1 公理中，我们想要表达的是：  
> **任意两个不同的点，可以互相“分离”到不包含对方的开集里。**

更精确的 T1 定义是：  
对任意 $ x \neq y $，存在开集 $ U $ 使得 $ x \in U $ 但 $ y \notin U $。

注意这个定义**不对称**——它只要求 $ x $ 能找到一个开集排除 $ y $，并没有同时要求 $ y $ 也能排除 $ x $（虽然对称性可由对换 $ x, y $ 自然得到）。  
所以 T1 本质是：**每一点可以被开集“单独挑出来”不被其他点混入**。

---

### 2. 为什么这等价于“单点集是闭集”？

- 如果单点集 $\{x\}$ 是闭集，那么它的补集 $X \setminus \{x\}$ 是开集。  
  对任意 $ y \neq x $，取 $ U = X \setminus \{x\} $，则 $ y \in U $，$ x \notin U $。  
  反过来，如果 T1 成立，可以证明每个单点集是闭集（证明略，需要用到任意有限交仍是闭集）。

所以“单点集是闭集”是 T1 的一个**等价说法**。

---

### 3. 为什么不要求“单点集是开集”？

因为那样太强了，会导致一个很特殊的空间：

- 如果 **每个单点集都是开集**，那么任意子集都是开集（任意并），这就是**离散拓扑**。  
  离散拓扑当然满足 T1，但 T1 不要求这么强——很多重要空间（如 Zariski 拓扑、有限补拓扑）满足 T1，但单点集不是开集。

所以 T1 故意只要求“单点是闭的”，不要求“单点是开的”，这样才能包含更多例子。

---

### 4. 直观比喻

想象一个**网**（点集），T1 空间就像：  
> 你可以在任意一个点周围画一个小圈，这个圈能**排斥**任何其他特定的一个点。

但这个小圈**不一定很小**——它可能很大，只是把某个特定邻居排除在外。  
而“单点是开集”意味着你可以画一个**极小的圈，只包含自己，不包含任何人**——这是更强、更严格的“孤立点”性质。

T1 允许点不是孤立的（比如实数轴上的点，没有孤立点），但仍满足单点是闭的。

---

### 总结一句话

> **“单点是闭集”是说：去掉一个点后剩下的仍是开集，这保证了你总能用一个开集把另一点排除出去，而不要求每个点都被一个只含它自己的开集包住（那是离散拓扑）。**

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