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可数公理

1． 3 可数公理
可数公理有两个：第一可数公理和第二可数公理，分别简称 $\boldsymbol{C}_1$ 公理和 $\boldsymbol{C}_2$ 公理（也有称作 $A_1$ 公理和 $A_2$ 公理）．满足 $C_i$ 公理的拓扑空间称为 $C_i$ 空间．$C_2$ 空间也称完全可分空间．

为了定义 $C_1$ 公理，先要介绍邻域基的概念。
设 $x \in X$ 。把 $x$ 的所有邻域的集合称为 $x$ 的邻域系，记作 $\mathscr{N}(x) . \mathscr{N}(x)$ 的一个子集（即 $x$ 的一族邻域） $\mathscr{U}$ 称为 $x$ 的一个邻域基，如果 $x$ 的每个邻域至少包含 $\mathscr{U}$ 中的一个成员。例如 $\mathscr{N}(x)$本身是 $x$ 的一个邻域基；$x$ 的所有开邻域构成 $x$ 的一个邻域基；若 $\mathscr{B}$ 是拓扑空间 $X$ 的拓扑基，则 $\mathscr{U}=\{B \in \mathscr{B} \mid x \in B\}$ 也是 $x$ 的邻域
基．对于度量空间 $(X, d)$ ，以 $x$ 为心的全部球形邻域的集合 $\{B(x, \varepsilon) \mid \varepsilon>0\}$ 是 $x$ 的邻域基；$\{B(x, q) \mid q$ 为正有理数 $\}$ 和 $\{B(x, 1 / n) \mid n$ 为自然数\}也都是 $x$ 的邻域基．
$C_1$ 公理 任一点都有可数的邻域基．
例如度量空间满足 $C_1$ 公理，$\{B(x, q) \mid q$ 是正有理数 $\}$ 和 $\{B(x, 1 / n) \mid n$ 是自然数 $\}$ 都是 $x$ 的可数邻域基．$\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 不是 $C_1$空间。设 $x \in \boldsymbol{R}$ ，则 $x$ 的任何可数邻域族 $\mathscr{U}$ 都不是 $x$ 的邻域基 $(\forall U \in \mathscr{U}$ 都是有限集的余集，因此 $\bigcup_{U \in \mathscr{U}} U^c$ 是可数集，取 $y \bar{\in} \bigcup_{U \in \mathscr{U}} U^c$ 且 $y \neq x$ ，则 $\forall U \in \mathscr{U}, y \in U$ ．于是 $\boldsymbol{R} \backslash\{y\}$ 是 $x$ 的开邻域，它不包含任一 $U \in \mathscr{U}$ ．）．

命题2．5 如果 $X$ 在 $x$ 处有可数邻域基，则 $x$ 有可数邻域基 $\left\{V_n\right\}$ ，使得 $m>n$ 时，$V_m \subset V_n$ ．

证明 先任取 $x$ 的一个可数邻域基 $\left\{U_n\right\}$ ．规定 $V_n=\bigcap_{i=1}^n U_i$ ， $\forall n \in N$ ．则 $V_n \subset U_n$ ，从而 $\left\{V_n\right\}$ 也是可数邻域基．显然，$m>n$ 时， $V_m \subset V_n$ ．

命题 2.6 若 $X$ 是 $C_1$ 空间，$A \subset X, x \in \bar{A}$ ，则 $A$ 中存在收敛到 $x$ 的序列．
证明 取 $x$ 处的可数邻域基 $\left\{V_n\right\}$ ，使得 $m>n$ 时，$V_m \subset V_n$（见命题2．5）。因为 $x \in \bar{A}$ ，所以 $V_n \cap A \neq \varnothing$ 。取 $x_n \in V_n \cap A, \forall n$ ，得到 $A$

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