最后更新: 2026-04-08 20:34 查看: 288 次纠错评论(0) 课件开VIP

引理Urysohn 及其应用

## 乌雷松Urysohn 引理及其应用

本节介绍从分离公理和可数公理引出的较深刻的结果． Урысон 引理和 Tietze 扩张定理分别给出 $T_4$ 公理的两个等价条件；度量化定理表明，分离公理和可数公理在改善拓扑空间的性质方面已走得多远．

**Урысон 引理（Urysohn 引理）**

Urysohn(音译为乌雷松)是俄罗斯数学家(俄文名Па́вел Самуи́лович Урысо́н), 1898年出生于Odessa, 在莫斯科大学攻读博士时师从Lusin(Лузин, 提出了鲁金定理的那个Lusin), Urysohn引理和Urysohn度量化定理都是他提出的(他另一方面的贡献在维数论), 但1924年在游泳时溺亡, 年仅27岁.
 
 ![图片](/uploads/2026-04/816cfe.jpg){width=100px}
 乌雷松

**定理2.2（Урысон 引理）** 如果拓扑空间 $X$ 满足 $T_4$ 公理，则对于 $X$ 的任意两个不相交闭集 $A$ 和 $B$ ，存在 $X$ 上的连续函数 $f$ ，它在 $A$ 和 $B$ 上分别取值为 0 和 1 ．

证明 记 $\boldsymbol{Q}_1$ 是 $[0,1]$ 中的有理数的集合，它是一个可数集．证明分两步．
（1）用归纳法 (其实是递归法）构造开集族 $\left\{U_r: r \in \boldsymbol{Q}_I\right\}$ ，使得
（i）当 $r<r^{\prime}$ 时， $\bar{U}_r \subset U_{r^{\prime}}$ ；
（ii）$\forall r \in \boldsymbol{Q}_I, A \subset U_r \subset B^c$ ．

作法如下．将 $\boldsymbol{Q}_I$ 随意地排列为 $\left\{r_1, r_2, \cdots\right\}$ ，只须使 $r_1=1, r_2=0$ ．然后对 $n$ 归纳地构造 $U_{r_n}$ ．取 $U_{r_1}=B^c$ ，它是 $A$ 的开邻域。根据命题 2.4 ，可构造 $U_{r_2}$ 是 $A$ 的开邻域， $\bar{U}_{r_2} \subset U_{r_1}$ ．

设 $U_{r_1}, U_{r_2}, \cdots, U_{r_n}$ 已构造，它们满足（i）和（ii）．记 $r_{i(n)}= \max \left\{r_l \mid l \leqslant n, r_l<r_{n+1}\right\}, r_{j(n)}=\min \left\{r_l \mid l \leqslant n, r_l>r_{n+1}\right\}$ ，则 $r_{i(n)}< r_{j(n)}$ ．因此 $\bar{U}_{r_{i(n)}} \subset U_{r_{j(n)}}$ ．作 $U_{r_{n+1}}$ 是 $\bar{U}_{r_{i(n)}}$ 的开邻域，并且 $\bar{U}_{r_{n+1}} \subset U_{r_{j(n)}}$ （见图 2－3）．容易验证 $U_{r_1}, U_{r_2}, \cdots, U_{r_n}, U_{r_{n+1}}$ 仍满足（i）和（ii）．$\left\{U_r\right\}$

![图片](/uploads/2025-12/3539b8.jpg)
 
 的定义完成。
（2）规定函数 $f: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 为：$\forall x \in X$ ，

$$
f(x)=\sup \left\{r \in Q_I \mid x \bar{\in} U_r\right\}=\inf \left\{r \in Q_I \mid x \in U_r\right\} .
$$

这里给出 $f(x)$ 的两个定义式，如果 $\forall r, x \bar{\in} U_r$ ，则用第一式；如果 $\forall r, x \in U_r$ ，则用第二式；余下的情形，两式的值是相等的．因为 $A \subset U_r, \forall r \in \boldsymbol{Q}_I$ ，所以 $f$ 在 $A$ 上各点的值都为 0 ；类似地，$f$ 在 $B$ 上各点取值 1．现在只剩下 $f$ 连续性的验证了，为此只用说明对任何开区间 $(a, b), f^{-1}(a, b)$ 是 $X$ 的开集，即它的每一点都是内点．

根据 $f$ 的定义，$\forall r \in \boldsymbol{Q}_I$ ，（a）若 $x \in U_r$ ，则 $f(x) \leqslant r$ ；（b）若 $x \bar{\in} U_r$ ，则 $f(x) \geqslant r$ 。从 $f$ 的定义还可看出， $0 \leqslant f(x) \leqslant 1, \forall x \in X$ 。

设 $x \in f^{-1}(a, b)$ ，即 $a<f(x)<b$ ．要证 $x$ 有开邻域包含在 $f^{-1}(a, b)$ 中。

如果 $f(x) \neq 0,1$ ，则可取 $r, r^{\prime}, r^{\prime \prime} \in \boldsymbol{Q}_I$ ，使得 $a<r^{\prime}<r^{\prime \prime}<f(x) <r<b$ 。由（a）知，$x \bar{\in} U_{r^{\prime \prime}}$ ，从而 $x \bar{\in} \bar{U}_{r^{\prime}}$ ；由（b）知，$x \in U_r$ ，因此 $U_r \cap \bar{U}_r^c$ 是 $x$ 的开邻域．$\forall y \in U_r \cap \bar{U}_r^c,(\mathrm{a})$ 与（b）说明 $a<r^{\prime} \leqslant f(y) \leqslant r<b$ ，因此 $U_r \cap \bar{U}_r^c \subset f^{-1}(a, b)$ ．

如果 $f(x)=0$ ，则 $a<0$ ，取 $r<b$ ，则 $x \in U_r \subset f^{-1}(a, b)$ ．
如果 $f(x)=1$ ，则 $b>1$ ，取 $a<r^{\prime}<r^{\prime \prime}$ ，则 $x \in \bar{U}_{\prime}^c \subset f^{-1}(a, b)$ ．
显然，当对于 $A, B$ 有定理中所说的连续函数时，$A, B$ 有不相交的邻域。因此 Урысон 引理的结论是 $T_4$ 公理的等价条件．

## 理解：乌雷松引理
通俗的说乌雷松引理是说
> **在什么样的空间里，我们能用一个“连续变化的温度计”来区分两个互不相交的“封闭区域”？**

下面分几个层次来通俗解释：

### 1. 直观场景：两个不接触的封闭集合

想象一个橡皮平面（数学上叫**正规空间**，比如实数轴、平面、球面等）。  
平面上有两个互不相交的封闭区域（比如两个不相交的圆盘 A 和 B）。  
我们想定义一个连续函数 $ f(x)$，使得：
- 在 A 上，$ f(x) = 0$（比如“温度 0 度”）
- 在 B 上，$ f(x) = 1$（比如“温度 1 度”）
- 在中间区域，$ f(x)$ 从 0 连续变化到 1。

**乌雷松引理** 说：只要空间是**正规空间**（即满足 T4 分离公理：任意两个不相交的闭集可以用开集分离），这样的连续函数就**一定存在**。

### 2. 为什么这很神奇？

在没有度量（距离）的拓扑空间里，“连续”是依靠开集定义的，没有“距离”可用。  
乌雷松引理告诉我们：即使没有距离，只要空间足够“规整”（正规），仍然可以造出一个像“距离”那样的连续函数，把两个闭集清晰地分开。

这意味着：**正规空间中的闭集，就像可以用一把连续标尺去测量它们之间的距离一样（即使没有真实的度量）**。

### 3. 一个生活化的例子

假设你有一个国家（正规空间），里面有两个不接壤的封闭省份 A 和 B。  
政府想画一张“高度图”：
- A 省所有点高度为 0 米
- B 省所有点高度为 1000 米
- 中间地区高度平滑过渡（没有悬崖）

乌雷松引理说：**只要这个国家的地形在拓扑意义上是“正常的”（正规），这样的高度图一定存在**。  
你不必担心出现跳变，总能平滑地从 0 升到 1000。

### 4. 函数的作用

这个函数 $ f$ 不一定是“距离”，但可以理解为一种**连续标尺**。  
比如：
- $ f^{-1}([0, 0.5])$ 是包含 A 的一个开集
- $ f^{-1}((0.5, 1])$ 是包含 B 的一个开集  
并且它们不重叠。

所以这个函数不仅能数值上区分 A 和 B，还能用它的**水平集**生成分离它们的一系列开集。

### 5. 总结一句话

> **乌雷松引理：在正规拓扑空间中，任意两个不相交的闭集都可以被一个连续函数“平滑地分开”，一个取 0，另一个取 1。**

这是点集拓扑中连接“分离公理”与“连续函数存在性”的一座桥梁，也为后面的单位分解、度量化和一些分析学定理奠定了基础。

## 乌雷松引理 3个具体例子（从直观到核心）
我会从**有距离的平凡例子**（我们能直接算），过渡到**无距离的核心例子**（乌雷松真正解决的问题），最后给一个**反例**，让你彻底看清它的适用边界。

---

###   例1：实数轴上的两个闭区间（最易计算）
这是所有例子里最简单的，能写出完整的显式函数表达式。
#### 设定
- 空间：实数轴 $X=\mathbb{R}$（天然是正规空间）
- 两个不相交闭集：$A=[0,1]$（0℃区间），$B=[3,4]$（1℃区间）
- 目标：找连续函数 $f:\mathbb{R}\to[0,1]$，满足 $f(A)=\{0\}$，$f(B)=\{1\}$

#### 构造（度量空间通用方法：距离比）
$$
f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}
$$
其中 $d(x,S)$ 是点 $x$ 到集合 $S$ 的最短距离。

#### 分段显式表达式
| x的范围 | f(x)的值 | 直观解释 |
|---------|----------|----------|
| $x\leq0$ | $\frac{-x}{3-2x}$ | 离A越远，温度从0缓慢上升 |
| $0\leq x\leq1$ | $0$ | A内部永远0℃ |
| $1<x<3$ | $\frac{x-1}{2}$ | 中间地带**线性平滑过渡** |
| $3\leq x\leq4$ | $1$ | B内部永远1℃ |
| $x\geq4$ | $\frac{x-1}{2x-5}$ | 离B越远，温度从1缓慢下降 |

#### 验证连续性
- 断点处左右极限相等：比如 $x=1$ 时，左极限=0，右极限=$\frac{1-1}{2}=0$；$x=3$ 时，左极限=$\frac{3-1}{2}=1$，右极限=1
- 所有分段都是初等函数，因此 $f(x)$ 在整个实数轴上**处处连续**

##   例2：平面上的两个闭圆盘（最直观的几何例子）
#### 设定
- 空间：欧氏平面 $X=\mathbb{R}^2$
- 两个不相交闭集：
  - $A$：圆心在 $(0,0)$，半径1的闭圆盘（$x^2+y^2\leq1$）
  - $B$：圆心在 $(3,0)$，半径1的闭圆盘（$(x-3)^2+y^2\leq1$）
- 两圆盘中心距=3，半径和=2，因此完全不相交

#### 构造同样用距离比
$$
f(x,y)=\frac{d((x,y),A)}{d((x,y),A)+d((x,y),B)}
$$

#### 几个具体点的温度值
| 点坐标 | 到A的距离 | 到B的距离 | f(x,y)（温度） |
|--------|-----------|-----------|----------------|
| $(0,0)$（A中心） | 0 | 3 | 0 |
| $(1,0)$（A边界） | 0 | 2 | 0 |
| $(1.5,0)$（两圆盘中点） | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
| $(1.5,1)$（中点正上方） | $\sqrt{0.5^2+1^2}\approx1.118$ | $\approx1.118$ | 0.5 |
| $(2,0)$（B边界） | 2 | 0 | 1 |
| $(3,0)$（B中心） | 3 | 0 | 1 |

#### 直观图像
- 等温线是**到A和B距离比为常数**的曲线，是一系列圆（阿波罗尼斯圆）
- 温度从A的0℃，沿着所有方向平滑过渡到B的1℃，没有任何突变

###   例3：无距离的抽象正规空间（乌雷松的核心贡献）
**这才是乌雷松引理真正伟大的地方**：上面两个例子都依赖“距离”，但在一般拓扑空间里根本没有“距离”这个概念！乌雷松证明了：**只要能被开集分开，就一定能被连续函数分开**。

#### 设定
- 空间：任意一个正规空间 $X$（定义：任意两个不相交闭集有不相交开邻域）
- 两个不相交闭集：$A$（0℃区），$B$（1℃区）
- 没有距离，只有开集、闭集、包含关系

#### 构造步骤（无限嵌套开集法）
我们用“修围墙”的方式，把温度刻度一点点刻在空间上：
1.  **第一步（0和1刻度）**
    因为X正规，存在开集 $U_0\supseteq A$，使得 $cl(U_0)\cap B=\emptyset$（$cl$ 表示闭包）。
    现在我们有：$A\subseteq U_0\subseteq cl(U_0)\subseteq X\setminus B$

2.  **第二步（0.5刻度）**
    再对 $cl(U_0)$ 和 $X\setminus U_0$ 应用正规性，存在开集 $U_{1/2}$，使得：
    $$
    cl(U_0)\subseteq U_{1/2}\subseteq cl(U_{1/2})\subseteq X\setminus B
    $$
    这就是0.5℃的“围墙”，把中间地带分成了两半。

3.  **第三步（无限细分）**
    重复这个过程，对所有**二进有理数** $r=\frac{k}{2^n}$（$k=1,2,\dots,2^n-1$，$n=1,2,3,\dots$），都定义一个开集 $U_r$，满足：
    > 如果 $r<s$，那么 $cl(U_r)\subseteq U_s$

最终我们得到一个**无限嵌套的开集族**：

$$
 A\subseteq U_0\subseteq cl(U_0)\subseteq U_{1/4}\subseteq cl(U_{1/4})\subseteq U_{1/2}\subseteq cl(U_{1/2})\subseteq U_{3/4}\subseteq cl(U_{3/4})\subseteq\dots\subseteq X\setminus B
$$

4.  **定义乌雷松函数**
    对任意点 $x\in X$，定义：
    $$
    f(x)=\inf\left\{r\in\mathbb{Q}_2\mid x\in U_r\right\}
    $$
    其中 $\mathbb{Q}_2$ 是[0,1]中的所有二进有理数，$\inf$ 表示下确界（最大下界）。

#### 函数值的直观解释
- 若 $x\in A$：x在所有 $U_r$ 里，所以下确界是0 → $f(x)=0$
- 若 $x\in B$：x不在任何 $U_r$ 里，所以下确界是1 → $f(x)=1$
- 若 $x\in U_{1/2}$ 但不在 $U_{1/4}$ 里：包含x的最小开集是 $U_{1/2}$ → $f(x)=1/2$
- 若 $x\in U_{3/4}$ 但不在 $U_{1/2}$ 里：$f(x)=3/4$

### 关键结论
乌雷松严格证明了：**这样定义的函数f(x)一定是连续的**！
- 整个过程没有用到任何“距离”或“度量”
- 只用到了正规空间的定义（能修不相交的隔离带）
- 这是拓扑学第一个真正非平凡的结果，把“拓扑分离”和“分析分离”等价了起来

###  反例：不正规空间里乌雷松引理不成立
#### 经典反例：Tychonoff板
- 空间：$X=[0,\omega_1]\times[0,\omega]\setminus\{(\omega_1,\omega)\}$（$\omega_1$ 是第一个不可数序数，$\omega$ 是第一个可数序数）
- 两个不相交闭集：
  - $A=\{\omega_1\}\times[0,\omega)$（右边的竖线）
  - $B=[0,\omega_1)\times\{\omega\}$（底边的横线）
- 结论：**不存在任何连续函数 $f:X\to[0,1]$ 使得 $f(A)=0$ 且 $f(B)=1$**

#### 直观原因
任何在A上恒为0的连续函数，由于序数的不可数性，必然在某个“尾巴” $[\alpha,\omega_1)\times\{\omega\}$ 上也恒为0，而这个尾巴和B相交，因此f在B上不可能恒为1。

###   一句话总结例子的意义
- 度量空间里的乌雷松函数是“显然的”，用距离比就能构造
- 乌雷松引理的真正价值在于：**它把这个“显然”的结论推广到了所有正规空间**，哪怕这个空间根本没有“距离”的概念
- 这是拓扑学和分析学之间的第一座桥梁，后续的单位分解、度量化定理、流形上的积分，全都是建立在它的基础之上

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