科数网
学习首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
赞助
在线教程
高中数学
解析几何(圆锥曲线)
双曲线方程与性质
最后更新:
2024-05-10 22:41
查看:
62
次
下载
编辑本文
科数网
双曲线方程与性质
## 双曲线的标准方程和形状 **定义**:平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数(常数小于两定点间的距离)的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做焦距. 根据双曲线的定义,我们来求它的方程: ![图片](/uploads/2024-05/2d53d1.jpg) 设$F_1$、$F_2$是双曲线的两个焦点,取射线$F_1F_2$的方向作 为$X$轴的正方向,$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$Y$轴(图6.6). 若$\overline{F_1F_2}=2c$, 则两焦点的坐标分别为$F_1(-c,0)$, $F_2 (c,0)$. 再设$P(x,y)$是双曲线上任一点,则由双曲线的定义 有 $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a $ 因$\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$, $\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$, 代入上式,得方程 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a $ 去根号,整理得 $$ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) $$ 这个式子和上节得到的椭圆方程(6.1)在外形上完全一样, 这里,由双曲线的定义$2c>2a$, 即 $ c > a $ 所以$a^2-c^2<0$, 故设$a^2-c^2=-b^2\; (b>0)$, 代入(6.1) 式得 $-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2 $ 两边同除$-a^2b^2$得 $$ {\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1} $$ 由上述推导过程说明,凡在双曲线上的点,它的坐标一定满足方程(6.5); 反过来,设$P_1(x_1,y_1)$的坐标满足方程(6.5), 则 $$ \begin{split} \frac{x^2_1}{a^2}-\frac{y^2_1}{b^2}&=1\\ \overline{P_1F_1}&=\sqrt{(x_1+c)^2+y_1^2} \end{split} $$ 但 $y^2_1=b^2\left(\frac{x_1^2}{a^2}-1\right)=(c^2-a^2)\left(\frac{x_1^2}{a^2}-1\right) $ 代入上式,化简可得 $$ \overline{P_1F_1}=\left|\frac{c}{a}x_1+a\right| $$ 同理可求 $$ \overline{P_1F_2}=\left|\frac{c}{a}x_1-a\right| $$ 因为$c>a$, $|x|\ge a$, 所以$\left|\frac{c}{a}x_1\right|>a$, $\frac{c}{a}x_1+a$及$\frac{c}{a}x_1-a$与$\frac{c}{a}x_1$同号. 当$x_1>0$时 $\overline{P_1F_1}=\frac{c}{a}x_1+a,\qquad \overline{P_1F_2}=\frac{c}{a}x_1-a $ 因此, $\overline{P_1F_1}-\overline{P_1F_2}=2a $ 当$x_1<0$时, $\overline{P_1F_1}=-\left(\frac{c}{a}x_1+a\right),\qquad \overline{P_1F_2}=-\left(\frac{c}{a}x_1-a\right) $ 因此, $\overline{P_1F_1}-\overline{P_1F_2}=-2a $ 这就证明了,凡坐标适合方程(6.5)的点都在双曲线上,由以上证明,所以方程(6.5)是所求的双曲线的方程,并且我们把方程(6.5)叫做\textbf{双曲线的标准方程},它所表示的双曲线的焦点在$X$轴上,焦点是$F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$.这里$c^2=a^2+b^2$. 如果取$F_1$、$F_2$的连线作为$Y$轴,取$F_1F_2$的垂直平分 线作为$X$轴,在这一坐标系中,仿上面的方法可得双曲线的 方程为 $$ {\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1} $$ 只要将方程(6.5)中的$x$与$y$对调就可得到方程(6.8), 这一方程也叫做双曲线的标准方程,它表示双曲线的焦点在$Y$轴上,焦点是$F_1(0,-c)$, $F_2(0,c)$, $c^2=a^2+b^2$. 下面我们用双曲线的标准方程研究它的几何形状. 首先,与椭圆方程一样,方程(6.5)中只含有$x$、$y$的 平方,故把其中一个坐标变号,对于方程没有影响,这就表 明,如果点$M(x,y)$在双曲线上,那么$M_1(x,-y)$、$M_2(-x, -y)$、$M_3(-x,y)$等也都在双曲线上,所以,双曲线是以 $X$轴或$Y$轴为对称轴的轴对称图形,又是以坐标原点为对称 中心的中心对称图形,对称中心又叫做双曲线的中心,其 次,由方程(6.5)得 $\frac{x^2}{a^2}\ge 1,\qquad x^2\ge a^2 $ 则$x\ge a$或$x\le -a$.这说明双曲线在两条直线$x=a$, $x=-a$所夹平面区域的外侧,最后我们讨论双曲线在第I象限内的性态,在第I象限,方程(6.5)可写为 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\qquad (x\ge a) $ 当$x=a$时,$y=0$, 当$x$由$a$递增且趋向$\infty$, $y$也由0递 增趋向,方程的轨迹趋向无穷远(图6.7),但由于 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}=\frac{b}{a}x\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}<\frac{b}{a}x $ 即 $\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}>0 $ 所以,当$x$由$a$趋向$\infty$时,相应的$y$值愈来愈接近$\frac{b}{a}x$, 而 又不会大于$\frac{b}{a}x$, 这说明,双曲线在第I象限的部分永远在 射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$的下方并且逐渐接近于射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$. 由对称性,可推知双曲线在其它象限的性态(图6.7). ![图片](/uploads/2024-05/d5ff63.jpg) 直线$y=\frac{b}{a}x$和$y=-\frac{b}{a}x$叫做**双曲线的渐近线**. 令$y=0$, $x=\pm a$, 点$A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$叫 做双曲线的顶点,$\overline{A_1A_2}$叫做双曲线的\textbf{实轴},它的长等于 $2a$, $a$叫做双曲线的实半轴长. 令$x=0$, $y=\pm b\sqrt{-1}$, 这说明双曲线和$Y$轴没有 交点.在$Y$轴上作$B_1(0,-b)$, $B_2(0,b)$, $\overline{B_1B_2}$叫做双 曲线的虚轴,它的长等于$2b$, $b$叫做双曲线虚半轴长(图6 .7).实轴和虚轴等长的双曲线叫做**等轴双曲线** 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴所得到的双曲 线叫做原双曲线的**共轭双曲线**.由这个定义可知,双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ 是互为共轭双曲线(图6.8). ![图片](/uploads/2024-05/b4cac4.jpg) 作为练习,请同学证明:双曲线和它的共轭双曲线有相 词的渐近线. 和定义椭圆的离心率$e$一样,对于双曲线,比值 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2} $ 也叫做双曲线的离心率,因为$c>a$, 所以双曲线的离心率 $e>1$, 容易看出,$\frac{b}{a}$越大,$e$越大;反之,$e$越大, $\frac{b}{a}$也越大,渐近线$y=\pm \frac{b}{a}x$的斜率的绝对值也越大,这时双曲 线的开口增大越快. #### 例1 设双曲线两焦点间的距离等于8, 顶点间的距离 等于6, 实轴在$X$轴上,求双曲线的标准方程,离心率,渐 近线方程并画草图. 解:依题意$2c=8$, $2a=6$, 所以$c=4$, $a=3$, $ b^2=c^2-a^2=16-9=7,\qquad b=\sqrt{7} $ 所求双曲线方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1 $ 离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$,渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{7}}{3}x,\qquad y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x $ 作图:如图6.9所示 \begin{enumerate} \item 在$X$轴上作$A_1(-3, 0)$, $A_2(3,0)$, 在$Y$轴上作$B_1(0,-\sqrt{7})$、$B_2(0, \sqrt{7})$, 过$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$作矩形$ABCD$, 直线$OA$, $OB$为双曲线的渐近线. 算出一些满足所求双曲线方程的点的坐标: ![图片](/uploads/2024-05/488a17.jpg) 描点连线,使曲线与渐近线逐渐接近,就可得到双曲线的草图 ![图片](/uploads/2024-05/44a5ad.jpg) #### 例2 证明:双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积等于常数$\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$ 解: 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,它的两条渐近线方程为 $\ell_1:\; bx+ay=0,\qquad \ell_2:\; bx-ay=0 $ 设$P(x_1,y_1)$为双曲线上任一点,$P$到$\ell_1$的距离记为$d_1$,$P$ 到$\ell_2$的距离记为$d_2$,则: $d_1=\frac{|bx_1+ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad d_2=\frac{|bx_1-ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}} $ $d_1\cdot d_2=\frac{|bx_1+ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \frac{|bx_1-ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b^2x^2_1-a^2y^2_1|}{{a^2+b^2}} $ 但 $|b^2x^2_1-a^2y^2_1|=a^2b^2 $ 所以 $d_1\cdot d_2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $
上一篇:
椭圆方程与性质
下一篇:
抛物线方程与性质
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程,点击顶部的
编辑本文
来完善本文,如果本文对您有用,也欢迎
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记