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正弦、余弦、正切、余切、正割、余割

## 三角函数的定义
在直角三角形里，以$\angle BAC= \theta$ 为基准，定义其三角函数如下

小提示：对于正切写法：美式是 tan ，苏式是 tg 。 余切美式是 ctan, cot， 苏式是 ctg 。早期我国教材多引自苏联，写作tg，现在多写做 tan

![图片](/uploads/2024-09/4e5cd4.svg)

![图片](/uploads/2024-09/914567.jpg)
 
> 请注意：高考数学只靠正弦、余弦和正切。其它三角函数仅供了解。

## 常见三角函数的值
 ![图片](/uploads/2024-09/bf93d2.jpg)
 
## 三角函数在象限里的符号
根据函数函数的顶用，如果 $P(x, y)$ 是 $\alpha$ 终边上异于原点的任意一点, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, 则 $\sin \alpha=\frac{y}{r}$,

由 $r>0$ 可知, $\sin \alpha$ 的正负与 $\alpha$ 终边上点的纵坐标的符号相同,所以, 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、二象限, 或 $y$ 轴正半轴上时, $\sin \alpha>0$;当且仅当 $\alpha$ 的终边在第三、四象限, 或 $y$ 轴负半轴上时, $\sin \alpha<0$.
用类似方法可以得到:
当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、四象限, 或 $x$ 轴正半轴上时, $\cos \alpha>0$; 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第二、三象限, 或 $x$ 轴负半轴上时, $\cos \alpha<0$.

当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、三象限时, $\tan \alpha>0$; 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第二、四象限时, $\tan \alpha<0$.
以上结果可用下直观表示.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311050e43727.png)

## 三角函数求导与积分表
高考只靠正弦和余弦求导，其它的仅供了解。
 ![图片](/uploads/2024-09/e0f9d4.jpg)

## 三角函数关系图

习惯上, 人们经常借助如下页图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式: 
图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为 1

每一个倒立的绿色正三角形中, 上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方, 即 $\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$ 等.

![图片](/uploads/2023-11/image_2023110589b2010.png)

- 三角函数倒数关系:

$$
\begin{aligned}
& \tan \alpha \cot \alpha=1 \\
& \sin \alpha \csc \alpha=1 \\
& \sec \alpha \cos \alpha=1
\end{aligned}
$$

- 三角函数商数关系：

$$
\begin{aligned}
& \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\
& \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\end{aligned}
$$

- 三角函数平方关系：

$$
\begin{aligned}
& \sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \\
& \tan ^2 \alpha+1=\sec ^2 \alpha \\
& 1+\cot ^2 \alpha=\csc ^2 \alpha
\end{aligned}
$$

## 三角函数的图像

要了解三角函数的图像，请点击 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=134

## 三角函数恒等式
要了解三角函数恒等式，请点击 
http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=130

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