最后更新: 2025-05-29 18:22 查看: 1489 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割

## 三角函数的定义
在直角三角形里，以$\angle BAC= \theta$ 为基准，定义各个三角函数为

![图片](/uploads/2024-09/4e5cd4.svg){width=300px}
 
 正弦：$\sin A= \dfrac{a}{c}$
 
 余弦：$\cos A= \dfrac{b}{c}$
 
 正切：$\tan A= \dfrac{a}{b}$
 
 余切：$\cot A= \dfrac{b}{a}$
 
 正割：$\sec A= \dfrac{c}{a}$
 
 余割：$\csc A= \dfrac{b}{a}$
 
 
 
### 基本关系
根据上面关系，结合勾股定理的性质，不难得到下面的关系

① $\sin^2 A+\cos^2 A=1$

② $\tan A= \dfrac{\sin A}{\cos A}$
 
③ $\cot A= \dfrac{1}{\tan A}$

④ $\sec A= \dfrac{1}{\sin A}$

⑤$\csc A= \dfrac{1}{\cos A}$
 
上面的定义可以推广到任意角。

> **请注意：高考数学只考正弦、余弦和正切。其它三角函数仅供了解**

![图片](/uploads/2024-09/914567.jpg)
 
 
 
## 扩展三角函数定义
上面是使用初中三角函数锐角定义得到的，可以证明，上面的公式适合任意角的三角函数。
如图 5．2－1，在平面上建立直角坐标系．以锐角 $\alpha$ 的顶点为原点 $O$ ， 我们取$OP$长度为$r$，$OP$ 的坐标为$(x,y)$

![图片](/uploads/2025-04/36da5f.jpg){width=300px}
  
我们定义三角函数为 
$$
\sin \alpha=\dfrac{y}{r}, \cos \alpha=\dfrac{x}{r}, \tan \alpha=\dfrac{y}{x} .
$$
这里 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，且$r>0$

以上三个比值分别称为角 $\alpha$ 的正弦，余弦，正切． 
在正弦，余弦里，他定义域为任意实数$R$。 而正切定义里，要求分母不能为零，所以$  \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\  $， 如下所示
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline \text { 三角函数 } & \text { 定义域 } \\
\hline y=\sin \alpha & R \\
\hline y=\cos \alpha & R \\
\hline y=\tan \alpha & \left\{\alpha \left\lvert\, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\right., k \in Z \right\} \\
\hline
\end{array}
$$
 
 
 
## 三角函数在象限里的符号
根据三角函数定义，点 $P(x, y)$ 斜边长 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 永远大于零，所以，其三角函数值，主要由坐标值确定。 
 
  ![图片](/uploads/2025-04/3850c2.jpg){width=500px}

## 三角

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