最后更新: 2025-04-12 14:48 查看: 180 次反馈刷题

阅读：自然常数e

## 复息与自然常数e

我们假设有一家银行，这家银行的活期存款利率是 $100 \%$ . 如果我们有 1 块钱，存入银行里，那么一年之后，我可以取出 2 块钱.

但是如果我们勤快一些，半年的时候把钱先取出来一次，这时可以取出 $1 \times(1+100 \% / 2)=1.5$ 块钱. 这时我们在把这 1.5 块钱都存入到银行里，半年之后再取出，那么就可以取出 $1.5 \times(1+100 \% / 2)=2.25$ 块钱. 这样，我们仅仅时多跑了一次银行，赚到的利息就比原来多了 $25 \%$ 。

如果我们再勤快一些，每个月都进行一次这样的操作，那么一年之后，我们一共能取出 $1 \times(1+100 \% / 12)^{12} \approx 2.61$ 块钱. 这样我们就可以获得更高的收益了.

假如你不甘心，还想再获取更高的收益，你还可以每天进行一次这样的操作，这样在一年之后，你将获得 $1 \times(1+100 \% / 365)^{365} \approx 2.71$ 块钱. 我们的收益又多了.

自然地，我们就有一个想法: 如果我存取钱的次数足够多（比如我每秒钟存取一次），那我的收益是多少? 会是无穷多么?

这个问题用数学的语言来描述，就是要求在 $n \rightarrow+\infty$ 时， $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 的极限.

从前面的例子中，我们其实可以看出，当 $n$ 从 $12$ 变到 $265$ 的时候， $a_n$ 的增长比 $n$ 从 2 变到 12 的时候还要小. 可以预见，当 $n$ 越来越大的时候， $a_n$ 的增长会越来越小. 因此我们可以猜测， $a_n$ 的增长并不是无限的.

事实上，要想严格的证明需要用到高等数学的知识。但是我们会发现，当$n \rightarrow+\infty$ 时，这个值接近2.71828... 
我们用字母$e$来表示这个数，即$e \simeq2.71828...$
这是一个无限不循环的超越数，并命名他为自然对数，也叫自然对数。
即

$ e=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

自然对数有非常良好的性质，例如$(e^x)'=e^x$，这使得他在工程数学里应用极其广泛。

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【数学分析】数 e

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