最后更新: 2025-04-12 14:48 查看: 666 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阅读：利用二阶导数判断函数的凸凹性

在[利用导数求极值](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=148) 研究了函数的单调性与极值后，对函数的变化情况有了一定的了解，对描述函数的图形有很大的帮助. 但是有时候我们需要进一步了解函数的凸凹性。

比如图2-44中的曲线弧 $\overparen{A B C}$ 整体是单调上升的，但 $\overparen{A B}$ 是弧段是凸的，而弧段 $\overparen{B C}$ 是凹的，所以不仅要考虑增减性，还需要研究曲线的弯曲方向，下面给出曲线的凹凸性的定义.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221228d33e6be.png)

### 凹弧
**定理** 设函数 $f(x)$ ，在区间 $I$ 上连续，如果对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1$ 、 $x_2$ 、恒有

$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]
$$

则称 $f(x)$ 的图形 (曲线 $y=f(x)$ ) 是凹的（或凹弧） (见图2-45).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228c8b6229.png)

### 凸弧
如果对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1, x_2$ ，恒有

$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]
$$

则称 $f(x)$ 的图形 (曲线 $y=f(x))$ 是凸的 (或凸弧) (见图2-46)

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122815aedb6.png)

从几何图形上，很容易理解图形的凸凹性。

> 请注意区分一阶导数和二阶导数对绘制函数的区别。比如，一阶导数为正表示函数是递增的。二阶导数再判断，递增的是凸弧还是凹弧。换句话说，不管是凸弧还是凹弧，函数都是递增的，这个大方向没有改变。

## 如何确定函数图形的凹凸性呢?
从以下两图可以看出，随着横坐标 $x$ 的增加，凹弧上各点处的切线斜率逐 渐增大，即 $f^{\prime}(x)$ 是单调增加的 (见图2-47) ；而凸弧上各点处的切线斜率 逐渐减小，即 $f^{\prime}(x)$ 是单调减少的（见图2-48) 对于 $f^{\prime}(x)$ 的增减性，可由 $f^{\prime}(x)$ 的导数，即 $f "(x)$ 来判定.

![图片](/uploads

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