最后更新: 2025-07-29 16:46 查看: 1091 次反馈同步训练

利用导数求极值与绘制函数图像

## 函数的极值
一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，设 $x_0 \in D$ ，如果对于 $x_0$ 附近的任意不同于 $x_0$ 的 $x$ ，都有
（1）$f(x)<f\left(x_0\right)$ ，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个极大值点，且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取**极大值**；
（2）$f(x)>f\left(x_0\right)$ ，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个极小值点，且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取**极小值**．

极大值点与极小值点都称为**极值点**，极大值与极小值都称为**极值**．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小

### 导数与极值的关系
假设有一条光滑的曲线，如下图，在每一点，可以做他的切线。
![d.gif](/uploads/2025-01/d9b587.gif)

我们观察每一点切线的变换情况 
![图片](/uploads/2025-01/6dca3b.jpg)

如果取一段曲线进行研究并局部放大

![图片](/uploads/2025-01/86a908.jpg){width=400px}

可以发现，函数的“极值”出现在切线水平的位置。而切线就是函数的导数，因此，我们说：

> **当 $f'(x)=0$ 时，函数取得极值。**

现在再来看一个复杂的函数图像，不难发现$A,B,C,D$ 都是函数的极值点。

![图片](/uploads/2025-05/2b1e02.jpg){width=300px}

对于可导函数$f(x)$，"$f'(x_0)＝0$"是“函数f(x)在$x＝x_0$处有极值”的必要不充分条件.

即 如果函数取到极值点，该点的导数为零。但是如果函数的导数为零，不代表就是他的极值点。

一般地，设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ．
（1）如果对于 $x_0$ 左侧附近的任意 $x$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ，对于 $x_0$ 右侧附近的任意 $x$ ，都有 $f^{\prime}(x)<0$ ，那么此时 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点．
（2）如果对于 $x_0$ 左侧附近的任意 $x$ ，都有 $f^{\prime}(x)<0$ ，对于 $x_0$ 右侧附近的任意 $x$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ，那么此时 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点．
（3）如果 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则 $x_0$ 一定不是 $y=f(x)$ 的极值点．

>**注意：上面的结论很绕，建议自己画一个 $y=x^2$ 和 $y=-x^2$ 利用 $x=0$ 有极值来理解上面的结论**

参考下图 $y=x^2, y=-x^2,y=x^3$ 在 $x=0$ 时的极值情况，进行记忆
 
 ![图片](/uploads/2025-07/0b58c9.jpg)

### 两个特列
为了理解极值和导数的关系，请看两个特列：

#### 特例1：$y=x^3$
对于 $y=x^3$， 他在$x=0$ 处导数为$y'=2x^2$为零，但左右导数符号相同（均为正），故无极值。 因此我们不能说 导数为零，就是函数的极值。 但是在高中阶段，在很多情况下我们不用考虑这么细，直接认为导数为零，就是他的极值是可以的。 事实上函数在$x=0$处取得值为0，但是在负数处，函数值是负数，比零小，所以，零不可能是他的极值。

![图片](/uploads/2025-05/08cd1c.jpg){width=300px}

#### 特例2：$y=|x|$
 对于不可导的函数，不可导点也可能是极值，比如 $y=|x|$, 其图形如下
 ![图片](/uploads/2025-05/5fc989.jpg){width=300px}
 
 在$x=0$ 处不可导，但是他就在$x=0$处取到极值。

**鞍点(驻点,零点)**
若一个一元函数 $y=f(x)$ 在某区间内处处可导 ，若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f^{\prime}\left(x_i\right)=0$  ，这样的点被称为鞍点，也叫做驻点或零点。

![图片](/uploads/2023-10/5bf874.svg){width=350px}

> 对于一个函数$f(x)$，直接求导$f'(x)$，然后零导数为零，就可以求出他的极值点，请看下面例题。

`例`试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点。
(1) $f(x)=x^4$ ；
(2) $f(x)=x^5$.

解 (1) 对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=4 x^3$ 。
令 $f^{\prime}(x)=0$, 即 $4 x^3=0$, 解得 $x=0$, 它是此函数的唯一驻点.
当 $x<0$ 时 $f^{\prime}(x)=4 x^3<0$, 此时函数 $f(x)$ 单调递减;
当 $x>0$ 时 $f^{\prime}(x)=4 x^3>0$, 此时函数 $f(x)$ 单调递增。
因此 $x=0$ 为此函数的极小值点.
(2) 对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=5 x^4$.

令 $f^{\prime}(x)=0$, 即 $5 x^4=0$, 解得 $x=0$, 它是此函数的唯一驻点.
当 $x<0$ 时 $f^{\prime}(x)=5 x^4>0$, 此时函数 $f(x)$ 单调递增;
当 $x>0$ 时仍有 $f^{\prime}(x)=5 x^4>0$, 此时函数 $f(x)$ 也单调递增。
因此 $x=0$ 不是此函数的极值点.

##  函数图像的绘制
利用导数可以求出函数的极值，利用极值就可以画出函数大致的图像。
对于一个函数，起决定性作用的就是几个关键点（极值点），只要先求出关键点，然后把关键点链接起来就能完成函数图像的绘制。 怎么画出他的图像呢？下面给出大致步骤。

如果函数 $y=f(x)$ 在某个区间内有导数，就可按下列步骤求它的极值：
(1) 求导数 $f^{\prime}(x)$.
(2) 求 $f(x)$ 的驻点, 即求方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的解.
(3) 对于方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的每一个解 $x_0$, 分析 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧的符号(即讨论$f(x)$的单调性)，确定极值点。
 ①若 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 两侧的符号为 "左正右负", 则 $x_0$ 为极大值点;
 ②若 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 两侧的符号为 "左负右正"，则 $x_0$ 为极小值点。
(4) 求出各极值点的函数值, 就得到函数 $y=f(x)$ 的全部极值.
(5)把各个点连接起来，就完成了函数图像的绘制

## 例题
 
`例`求函数 $g(x)=x^2(3-x)$ 的极大值和极小值.
解 求导得 $g^{\prime}(x)=6 x-3 x^2$ 。
令 $g^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=2$ 。
当 $x$ 变化时， $g^{\prime}(x)$ 和 $g(x)$ 的变化情况如下表所示：
 ![图片](/uploads/2024-12/68ac7a.jpg)
 
 故 $g(x)$ 有极大值点 $x=2$, 对应的极大值为 $g(2)=4$; $g(x)$ 有极小值点 $x=0$, 对应的极小值为 $g(0)=0$ 。
上述结论也可从 $g(x)=x^2(3-x)$ 的图象得到直观验证。

![图片](/uploads/2024-12/05441c.jpg)
 
 
 
`例` 已知 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-x+2$ ，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间和极值．

解 对函数求导，得 $f^{\prime}(x)=x^2-1$ ．令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得两个驻点 $x_1=-1, x_2=1$ ．列表如下：
 ![图片](/uploads/2025-04/3a3c10.jpg)
 
 因此，函数 $y=f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty,-1)$ 及 $(1,+\infty)$ ，单调减区间为 $(-1,1), y=f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=$ $\frac{8}{3}$ ，在 $x=1$ 处取得极小值 $\int(1)=\frac{4}{3

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