最后更新: 2025-12-08 20:37 查看: 1233 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数的极大值与极小值 ★★★★★

## 函数的极大值与极小值
①设函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有定义，$x_0$ 是区间 $(a, b)$ 内的一个点，若点 $x_0$ **附近**的函数值都小于或等于 $f\left(x_0\right)$（即 $f(x) \leqslant f\left(x_0\right)$ ），就说 $f\left(x_0\right)$是函数 $y=f(x)$ 的一个**极大值**，此时 $x_0$ 称为 $f(x)$ 的一个**极大值点**．

② 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有定义，$x_0$ 是区间 $(a, b)$ 内的一个点，若点 $x_0$ **附近**的函数值都大于或等于 $f\left(x_0\right)$（即 $f(x) \geqslant f\left(x_0\right)$ ），就说 $f\left(x_0\right)$是函数 $y=f(x)$ 的一个**极小值**，此时 $x_0$ 称为 $f(x)$ 的一个**极小值点**．

极大值点与极小值点都称为**极值点**，极大值与极小值都称为**极值**．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小

![img-text](/uploads/2023-10/5bf874.svg){width=400px}

### 驻点(也叫鞍点,临界点)
若一个一元函数 $y=f(x)$ 在某区间内处处可导 ，若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f^{\prime}\left(x_i\right)=0$  ，这样的点被称为鞍点，也叫做驻点或临界点。
现在再来看一个复杂的函数图像，不难发现$A,B,C,D$ 都是函数的驻点。

![图片](/uploads/2025-05/2b1e02.jpg){width=300px}

> **注意：函数的极值是局部区间上的最值**

考虑函数图像如下， $x_1, x_3, x_5$ 都是函数 $y= f(x)$ 的极大值点，$x_2, x_4$ 都是函数 $y=f(x)$ 的极小值点。从图还可以看出，函数的某些极大值有时比其他极大值小，如 $f\left(x_1\right)<f\left(x_3\right)$ ，甚至可能比一些极小值还小，如 $f\left(x_1\right)<f\left(x_4\right)$ 。

![图片](/uploads/2025-09/ab44be.jpg){width=400px}

## 极值与导数的关系
我们知道导数反映的是曲线的切线斜率。假设有一条光滑的曲线，如下图，在每一点，可以做他的切线。
![d.gif](/uploads/2025-01/d9b587.gif)

我们观察每一点切线的变换情况 
![图片](/uploads/2025-01/6dca3b.jpg)

可以发现，函数的“极值（不管是极大值还是极小值）”出现在切线水平的位置，此时导数为零。

![图片](/uploads/2025-01/86a908.jpg){width=400px}

因此，我们说：

> **函数的极值出现点在导数为零的地方**

但是，这句话反过来说，并不一定对，即如果说 当 $f'(x)=0$ 时，函数取得极值，并不对，比如 例如，函数 $f(x)=x^3$ 的导函数 $f^{\prime}(x)=3 x^2$有零点，但 $f(x)=x^3$ 是增函数，没有极值点，如下图．可见，导函数的零点可能不是函数的极值点．也就是说，若 $f^{\prime}(c)$ 存在，则 $f^{\prime}(c)=0$ 是 $f(x)$ 在 $x=c$ 处取到极值的必要条件，但不是充分条件．

> **虽然“导数为零的点是函数的极值点”这句话不算对，但是基本上，如果是其它学科，比如是物理学科，要求函数的极值，直接令导数为零进行求解就可以得到函数极值，这种做法是正确的，只有数学科会较真。**

![图片](/uploads/2025-09/9d61ba.jpg){width=300px}

## 函数极值的判定

### 极值的判定
如果函数 $y=f(x)$ 在某个区间内有导数，就可按下列步骤求它的极值：
（1）求导数 $f^{\prime}(x)$ ．
（2）求 $f(x)$ 的驻点，即求方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的解．
（3）对于方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的每一个解 $x_0$ ，分析 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧的符号（即讨论 $f(x)$ 的单调性），确定极值点：
| 临界点 $x = c$ 处的情况 | 点 $c$ 左侧 $(x < c)$ | 点 $c$ 右侧 $(x > c)$ | **结论** |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **情况一** | $f'(x) > 0$ **(递增)** | $f'(x) < 0$ **(递减)** | $f(c)$ 是 **极大值** |
| **情况二** | $f'(x) < 0$ **(递减)** | $f'(x) > 0$ **(递增)** | $f(c)$ 是 **极小值** |
| **情况三** | $f'(x) > 0$ **(递增)** | $f'(x) > 0$ **(递增)** | $f(c)$ **不是极值点** (函数增长变缓点) |
| **情况四** | $f'(x) < 0$ **(递减)** | $f'(x) < 0$ **(递减)** |

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