最后更新: 2025-12-08 20:04 查看: 580 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

利用导数判断函数单调性 ★★★★★

## 利用导数判断函数单调性
我们已经学过增函数与减函数的概念, 现在要阐明导数的正负与函数的增减的关系。
我们已经知道常量的导数等于零, 现在反过来问：如果函数 $f$ 在给定区间上的导数永远是零, 那么这个函数在这个区间上就是一个常量吗? 下面这个定理会给出答案：是的，是常量。

**定理** 如果函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上的每一点的导数等于零, 即 $f^{\prime}(x)=0$, 那么函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上是一个常数.

关于他的证明这里省略，我们仅从几何意义上理解，导数表示的函数的斜率（即曲线的倾斜程度）。如果导数等于零，表示函数的图像倾斜率为零，也就是水平的，因此$f(x)=c$是一个常数，参考下图。

![图片](/uploads/2025-09/09560b.jpg){width=300px}

## 导数和单调性的关系

参考下面两张图，导数的本质反映的**曲线的切线的斜率**。不难发现

> ① 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x)> 0$ , 那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格递增。  
> ② 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x)< 0$ , 那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格递减。

由此得到导数和单调性的关系记忆口诀：

> **导数为正函数是增函数，导数为负函数是减函**数。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228274407d.png)
 
  函数的单调性与导数的关系可用下表表示

![图片](/uploads/2025-05/6a7281.jpg)

## 利用导数判断函数单调性

利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 $f^{\prime}(x)$ 的临界点（零点）；
第3步，用 $f^{\prime}(x)$ 的零点将 $f(x)$ 的定义域划分为若干个区间，列表给出 $f^{\prime}(x)$ 在各区间上的正负，由此得出函数 $y=f(x)$ 在定义域内的单调性．

`例` 求 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 的单调区间.

要确定函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $ 的单调区间，首先需要求其导数并分析导数的符号。

**步骤 1：求导数**
$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{4}{x} \right) = 1 - \frac{4}{x^2}
$$

**步骤 2：找出临界点**
令导数等于零：
$$
1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2
$$
另外，注意函数在 $ x = 0 $ 处无定义（分母为零），因此 $ x = 0 $ 也是一个关键点。

**步骤 3：分析导数的符号**

函数的定义域为$x \ne 0$，导数的零点是$x= \pm 2$， 因此，函数的整个定义域被分成四块，参考下图

即
①$x<-2$
②$-2<x<0$
③$0<x<2$
④$x>2$

![图片](/uploads/2025-12/041f31.jpg)
  
测试每个区间内导数的符号：

1. 当 $ x < -2 $（例如 $ x = -3 $）：
   $$
   f'(-3) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0
   $$
   所以 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, -2) $ 上单调递增。

2. 当 $ -2 < x < 0 $（例如 $ x = -1 $）：
   $$
   f'(-1) = 1 - \frac{4}{1} = -3 < 0
   $$
   所以 $ f(x) $ 在 $ (-2, 0) $ 上单调递减。

3. 当 $ 0 < x < 2 $（例如 $ x = 1 $）：
   $$
   f'(1) = 1 - \frac{4}{1} = -3 < 0
   $$
   所以 $ f(x) $ 在 $ (0, 2) $ 上单调递减。

4. 当 $ x > 2 $（例如 $ x = 3 $）：
   $$
   f'(3) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0
   $$
   所以 $ f(x) $ 在 $ (2, +\infty) $ 上单调递增。

**步骤 4：列表(可选)**
  如果把区间列成表，如下方便分析

| 区间          | 单调性     |
|---------------|------------|
| $(-\infty, -2)$ | 单调递增   |
| $(-2, 0)$      | 单调递减   |
| $(0, 2)$       | 单调递减   |
| $(2, +\infty)$  | 单调递增   |

**步骤 5：画出草图(可选)**
再取几个特殊值（通常是-1,0,1),下图显示了计算机模拟出来的函数图像

![图片](/uploads/2025-09/441e5e.jpg){width=500px}

`例`求 $f

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