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利用导数判断函数单调性

## 利用导数判断函数单调性
我们已经学过增函数与减函数的概念, 现在要阐明导数的正负与函数的增减的关系。
读者已经知道常量的导数等于零, 现在反过来问：如果函数 $f$ 在给定区间上的导数永远是零, 那么这个函数在这个区间上就是一个常量吗?

### 定理1
如果函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上的每一点的导数等于零, 即 $f^{\prime}(x)=0$, 那么函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上是一个常数.

关于他的证明这里省略，我们仅从几何意义上理解，导数表示的函数的斜率（即曲线的倾斜程度）。如果导数等于零，表示函数的图像倾斜率为零，也就是水平的，因此$f(x)=c$是一个常数。

### 定理2
 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x)> 0$ , 那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格递增。
  
   如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x)< 0$ , 那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格递减。

定理2的几何意义还是很明显的, 参考下图，在左图，在曲线上任意取一点$P$,然后做该点切线，不难发现该点曲线的斜率都大于0.
 同样，在右侧曲线上任取一点做该点斜率，不难发现该点的斜率都小于0.
 
 ![图片](/uploads/2025-04/45a6b5.jpg)

## 利用导数判断函数单调性结论

函数的单调性与导数的关系可用下表表示

![图片](/uploads/2025-05/6a7281.jpg)

`例`用导数研究二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的单调性.
解 对该二次函数求导得 $f^{\prime}(x)=2 a x+b$. 列表如下

![图片](/uploads/2025-04/c9e12d.jpg)
 
 
令 $f^{\prime}(x)=2 a x+b>0$, 则当 $a>0$ 时, $x>-\frac{b}{2 a}$, 当 $a<0$ 时, $x<-\frac{b}{2 a}$.令 $f^{\prime}(x)=2 a x+b<0$, 则当 $a>0$ 时, $x<-\frac{b}{2 a}$, 当 $a<0$ 时, $x>-\frac{b}{2 a}$.故 $a>0$ 时, $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 上单调递减, 在 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上单调递增; $a<0$ 时, $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 上单调递增, 在 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上单调递减.

虽然二次函数的情形比较简单，不用导数也能说清楚函数单调性，但对于许多其他情形，导数的优势就很明显了。

`例`求下列函数的单调区间.
(1)  $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ；
(2) $f(x)=x+ e ^x$.

解 （1）由题意可知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$.
对 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 求导得 $f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x^2}$.
令 $f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x^2}>0$, 解得 $x>2$ 或 $x<-2$.
故函数 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-2)$ 和 $(2,+\infty)$.
令 $f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x^2}<0$, 解得 $-2<x<0$ 或 $0<x<2$.
故函数 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 的单调递减区间为 $(-2,0)$ 和 $(0,2)$.
(2) 由题意可知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$.

对 $f(x)=x+ e ^x$ 求导得 $f^{\prime}(x)=1+ e ^x$ 。
因为 $e ^x>0$ 恒成立，所以 $f^{\prime}(x)=1+ e ^x>0$ 。
故函数 $f(x)=x+ e ^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增.

### 一些结论
1．若函数 $f(x)$ 在 $(a, ~ b)$ 上单调递增，则当 $x \in(a, ~ b)$ 时，$f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 恒成立；若函数 $f(x)$ 在 $(a, ~ b)$ 上单调递减，则当 $x \in(a, ~ b)$ 时，$f^{\prime}(x) \leqslant 0$ 恒成立．

2．若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上存在单调递增区间，则当 $x \in(a, b)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$有解；若函数 $f(x)$ 在 $(a, ~ b)$ 上存在单调递减区间，则当 $x \in(a, ~ b)$ 时， $f^{\prime}(x)<0$ 有解．

下面这道题考察了导数和参数恒成立的问题，请仔细研读其中的区别。

`例`  （1）$f(x)=x^3-a x-1$ 若 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上为减函数，求实数 $a$ 的取值范围．
 （2）$f(x)=x^3-a x-1$ 若 $f(x)$ 的单调减区间为 $(-1,1)$ ，求实数 $a$ 的值．
（3）$f(x)=x^3-a x-1$ 若 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上不具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围．

解：（1）由题意，得 $f(x)=3 x^2-a \leqslant 0$ 在区间 $(-1,1)$ 上恒成立，
即 $a \geqslant 3 x^2$ 在区间 $(-1,1)$ 上恒成立．
因为 $-1<x<1$ ，所以 $3 x^2<3$ ，所以 $a \geqslant 3$ ，
所以实数 $a$ 的取值范围是 $[3,+\infty)$ ．

（2）由例题可知，
$f(x)$ 的单调减区间为 $\left(-\frac{\sqrt{3 a}}{3}, \frac{\sqrt{3 a}}{3}\right)$ ，
所以 $\frac{\sqrt{3 a}}{3}=1$ ，解得 $a=3$ ，
故实数 $a$ 的值为 3 ．

（3）因为 $f(x)=3 x^2-a$ ，且 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上不具有单调性，
所以 $f(x)=0$ 即 $a=3 x^2$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上有解．
当 $x \geqslant 1$ 时， $3 x^2 \geqslant 3$ ，
故实数 $a$ 的取值范围是 $[3,+\infty)$ ．

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