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第七章 导数
利用导数判断函数单调性
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2024-09-11 20:31
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利用导数判断函数单调性
## 利用导数判断函数单调性 (一)函数的增减性 我们已经学过增函数与减函数的概念, 现在要阐明导数的正负与函数的增减的关系。 读者已经知道常量的导数等于零, 现在反过来问:如果函数 $f$ 在给定区间上的导数永远是零, 那么这个函数在这个区间上就是一个常量? ### 定理1 如果函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上的每一点的导数等于零, 即 $f^{\prime}(x)=0$, 那么函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上是一个常数. 关于他的证明这里省略,但是我们知道,导数表示的函数的斜率(即曲线的倾斜程度)。如果导数等于零,表示函数的图像倾斜率为零,也就是水平的,因此即$f(x)=c$是一个常数。 ### 定理2 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续, 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x)> 0$ , 那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格递增。如果$f^{\prime}(x)< 0$,那么那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格递减。 ![图片](/uploads/2024-09/03a2ce.jpg) 定理 2 的几何意义是明显的, $f^{\prime}(x)$ 是函数图象上点 $x$ 处的切线的斜率 $\tan \theta$, 这里 $0 \leq \theta \leq \pi$. 这斜率的符号指出切线是向上或向下倾斜的, 而曲线本身也就随着它向上升或向下降. 如果 $f^{\prime}(x)$ 在个别的 $x$ 值等于零, 其他条件不变, 则定理 2 仍然成立, 这一点很容易证实, 就是把区间 $[a, b]$ 用使 $f^{\prime}(x)=0$ 的点来分成若干个小区间,再在每个小区间上分别应用定理 2. ## 利用导数判断函数单调性结论 (1) 如果在区间 $(a, b)$ 内, $f^{\prime}(x)>0$, 则曲线 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于 0 , 曲线呈上升状态, 因此 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上是增函数 (2) 如果在区间 $(a, b)$ 内, $f^{\prime}(x)<0$, 则曲线 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于 0 , 曲线呈下降状态, 因此 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上是减函数。 **例1** 确定 $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+5$ 的递增区间和递减区间,并画出这个函数图象的草图. 解: $$ f^{\prime}(x)=6 x^2-18 x+12=6(x-1)(x-2) $$ 当 $x<1$ 或 $x>2$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 所以 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 1)$ 和 $(2,+\infty)$内递增; 当 $1<x<2$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 所以 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内递减. 图象的 $y$ 截距 $f(0)=5$, 为确定图象的 $x$ 截距, 根据零点,计算其值的结果 $$ f(-1)=-18, \quad f(1)=10, \quad f(2)=9, \quad f(+\infty)>0 $$ 得知 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 和 $(2,+\infty)$ 内没有零点, 即图象在 $x>1$ 的范围内与 $x$ 轴不相交:由于 $f(x)$ 在 $x<1$ 的区间内递增, 并且 $f(-1) \cdot f(0)<0$, 故 $f(x)$ 的图象在 $x<1$ 的范围内与 $x$ 轴只有一个交点, 它的横坐标在区间 $(-1,0)$ 内.把 $f(x)$ 的递增、递减情况列成下表, 就更加醒目. ![图片](/uploads/2024-09/f817d8.jpg) 画出其图形如下: ![图片](/uploads/2024-09/af67f4.jpg) **例2** 讨论函数 $f(x)=a \ln x+x$ 的单调性, 其中 $a$ 为实常数. 解 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$. 因为 $f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+1$, 令 $f^{\prime}(x)>0$, 可得 $\frac{a}{x}+1>0$, 即 $x>-a$, 所以 当 $-a \leqslant 0$, 即 $a \geqslant 0$ 时, $f^{\prime}(x)>0$ 恒成立, 此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增; 当 $-a>0$, 即 $a<0$ 时, $f^{\prime}(x)>0$ 的解为 $x>-a$, 此时 $f(x)$ 在 $(0,-a]$ 上单调递减, 在 $[-a,+\infty)$ 上单调递增. **例3** 求证当 $x>0$ 时, 有 $e^x>1+\ln (1+x)$. 证明:设 $f(x)=e^x-1-\ln (1+x)(x>0)$ ,则 $$ f^{\prime}(x)=e^x-\frac{1}{1+x}, \quad f^{\prime \prime}(x)=e^x+\frac{1}{(1+x)^2} $$ 显然, 当 $x>0$ 时, $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上连续, 由定理 $2, f^{\prime}(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上递增,所以 $$ f^{\prime}(x)>f^{\prime}(0)=e^0-\frac{1}{1+0}=0 \quad(x>0) $$ 又 $f(x)$ 在 $[0, \infty)$ 连续, 同理 $f(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上递增, 所以当 $x>0$ 时, 有 $$ f(x)>f(0)=e^0-1-\ln (1+0)=0 $$ 即: $$ e^x-1-\ln (1+x)>0 \text { 或 } e^x>1+\ln (1+x) $$ 注意:本题通过利用二阶导数来研究函数的性质,在课本里,仅介绍一阶导数,但在高考数学压轴题里,通常需要利用二阶导数来研究函数的性质。具体请参考 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=149
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